solution to the problem. The ideas

solution to the problem. The ideas have found use in many areas of mathematics,
science, and engineering, and remain a very active area of research.
One simple approach to discrete wavelet analysis is through the mechanism of a
filter bank. A properly designed filter bank naturally gives rise to a discrete wavelet
transform (DWT) similar to the discrete Fourier transform. The "discrete wavelets"
appear as basic waveforms associated to the DWT, just as the exponential basic
waveforms arise from the DFT matrix. In order to get to applications and Matlab
experimentation sooner, we defer the topic of filter design for filter banks until
Section 6.7. Indeed, if the reader is content to use "off-the-shelf" filters, that section
can be omitted, though the mathematics of filter design ties in nicely with the wavelet
analysis of Chapter 7.
To build up some intuition, we'll begin by examining the very simplest kind of
filter bank, the Haar filter bank.
6.2 THE HAAR FILTER BANK
One of the key features of the Fourier transform is that it allows us to decompose
a signal into constituent frequencies and then deal with the signal one frequency at
a time. The filter bank method also adopts this approach by splitting the signal into
various frequency bands. In the simplest case, that of a single-stage two-channel filter
bank, we merely separate the signal into high and low frequencies by filtering with
the methods of Chapter 4.
6.2.1 The One-stage Two-channel Filter Bank
In what follows we'll consider bi-infinite signals in the space L2(Z), although many
of the ideas extend to signals in L°°(Z).
Consider a pair of vectors t and h in L2(Z), to be used as low-and high-pass filters
for a signal ÷ e L2(Z). The vectors I and h act by convolution with x, via equation
(4.22). We will assume that I and h are finite impulse response (FIR) filters as defined
in Section 4.5.6. In this case the infinite sum defining the convolution of either filter
with ÷ € L2(Z) converges, and in fact both ÷ * t and ÷ * h will also be elements of
L2(Z) (recall Exercise 4.29).
For simplicity, let us first consider the familiar two-point averaging and differencing
filters with components
It was shown in Example 4.5 that I acts as a low-pass filter, whereas Exercise 4.34
shows that h is a high-pass filter. In the context of filter banks these are called the
Haar filters.

Kết quả (Việt) 2:

giải pháp cho vấn đề. Những ý tưởng đã từng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học,
khoa học, và kỹ thuật, và vẫn là một khu vực rất tích cực của nghiên cứu.
Một phương pháp đơn giản để phân tích wavelet rời rạc là thông qua các cơ chế của một
ngân hàng lọc. Một ngân hàng bộ lọc được thiết kế đúng cách tự nhiên đưa đến một wavelet rời rạc
transform (DWT) tương tự như đổi Fourier rời rạc. Các "wavelets rời rạc"
xuất hiện như dạng sóng cơ bản liên quan đến DWT, chỉ là cơ bản theo cấp số nhân
dạng sóng phát sinh từ các ma trận DFT. Để có được các ứng dụng và Matlab
thử nghiệm sớm hơn, chúng ta trì hoãn các chủ đề của thiết kế bộ lọc cho lọc các ngân hàng cho đến khi
phần 6.7. Thật vậy, nếu người đọc là nội dung để sử dụng "off-the-shelf" bộ lọc, phần đó
có thể được bỏ qua, mặc dù các quan hệ toán học thiết kế bộ lọc độc đáo với các wavelet
phân tích của Chương 7.
Để xây dựng một số trực giác, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng cách kiểm tra các loại rất đơn giản nhất của
ngân hàng lọc, Haar lọc ngân hàng.
6.2 NGÂN HÀNG Haar LỌC
Một trong những tính năng chính của biến đổi Fourier là nó cho phép chúng tôi để phân hủy
một tín hiệu vào tần số thành phần và sau đó đối phó với các tín hiệu tần số một tại
một thời điểm. Phương pháp lọc ngân hàng cũng áp dụng phương án này bằng cách tách tín hiệu thành
các băng tần khác nhau. Trong trường hợp đơn giản nhất, mà của một tầng lọc hai kênh
ngân hàng, chúng tôi chỉ đơn thuần là tách các tín hiệu vào tần số cao và thấp bằng cách lọc với
các phương pháp của Chương 4.
6.2.1 The One-Two-giai đoạn kênh Lọc Ngân hàng
Trong những gì sau chúng ta sẽ xem xét các tín hiệu bi-vô hạn trong không gian L2 (Z), mặc dù nhiều người
trong những ý tưởng mở rộng đến các tín hiệu trong L °° (Z).
Hãy xem xét một cặp vectơ t và h trong L2 (Z), được sử dụng như các bộ lọc thấp và cao-pass
cho một tín hiệu L2 ÷ e (Z). Các vectơ tôi và h hành bởi convolution với x, thông qua phương trình
(4.22). Chúng tôi sẽ cho rằng tôi và h là đáp ứng xung hữu hạn (FIR) các bộ lọc như quy định
tại mục 4.5.6. Trong trường hợp này tổng vô hạn định chập của hai bộ lọc
với ÷ € L2 (Z) hội tụ, và trong thực tế cả hai ÷ * t và h ÷ * cũng sẽ là yếu tố của
L2 (Z) (recall 4.29 Tập thể dục).
Để đơn giản, để chúng tôi đầu tiên xem xét hai điểm trung bình và Differencing quen thuộc
bộ lọc với các thành phần
này được hiển thị trong Ví dụ 4.5 mà tôi hoạt động như một bộ lọc thấp qua, trong khi tập thể dục 4,34
cho thấy h là một bộ lọc cao-pass. Trong bối cảnh các ngân hàng bộ lọc này được gọi là các
bộ lọc Haar.