The Chinese remainder theorem descr

The Chinese remainder theorem describes the solutions to a system of simultaneous linear congruences. The simplest situation is a system of two congruences,
x ≡ a (mod m) and x ≡ b (mod n), (2.3)
with gcd(m,n) = 1, in which case the Chinese remainder theorem says that there is a unique solution modulo mn.
The first recorded instance of a problem of this type appears in a Chinese mathematical work from the late third or early fourth century. It actually deals with the harder problem of three simultaneous congruences.
We have a number of things, but we do not know exactly how many. If we count them by threes, we have two left over. If we count them by fives, we have three left over. If we count them by sevens, we have two left over. How many things are there? [Sun Tzu Suan Ching (Master Sun’s Mathematical Manual) circa 300 AD, volume 3, problem 26.]
The Chinese remainder theorem and its generalizations have many applications in number theory and other areas of mathematics. In Section 2.9 we will see how it can be used to solve certain instances of the discrete logarithm problem. We begin with an example in which we solve two simultaneous congruences. As you read this example, notice that it is not merely an abstract statement that a solution exists. The method that we describe is really an algorithm that allows us to find the solution.
Example 2.24. We look for an integer x that simultaneously solves both of the congruences
x ≡ 1 (mod 5) and x ≡ 9 (mod 11). (2.4)
The first congruence tells us that x ≡ 1 (mod 5), so the full set of solutions to the first congruence is the collection of integers
x = 1 + 5y, y ∈ Z. (2.5)
Substituting (2.5) into the second congruence in (2.4) gives
1 + 5y ≡ 9 (mod 11), and hence 5y ≡ 8 (mod 11). (2.6)
We solve for y by multiplying both sides of (2.6) by the inverse of 5 modulo 11. This inverse exists because gcd(5,11) = 1 and can be computed using the procedure described in Proposition 1.13 (see also Remark 1.15). However, in this case the modulus is so small that we find it by trial and error; thus 5 • 9 = 45 ≡ 1 (mod 11).
In any case, multiplying both sides of (2.6) by 9 yields
y ≡ 9 • 8 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11).
Finally, substituting this value of y into (2.5) gives the solution
x = 1 + 5 • 6 = 31
to the original problem.
The procedure outlined in Example 2.24 can be used to derive a general formula for the solution of two simultaneous congruences (see Exercise 2.20), but it is much better to learn the method, rather than memorizing a formula. This is especially true because the Chinese remainder theorem applies to systems of arbitrarily many simultaneous congruences.

Kết quả (Việt) 1:

Định lý Trung Quốc còn lại mô tả giải pháp cho một hệ thống đồng thời hình tuyến tính. Tình hình đơn giản nhất là một hệ thống hai hình, x ≡ (mod m) và x ≡ b (mod n), (2,3)với gcd(m,n) = 1, trong đó trường hợp định lý Trung Quốc còn lại nói là một giải pháp độc đáo theo modulo mn.Trường hợp được ghi nhận đầu tiên của một vấn đề của loại này xuất hiện trong một nghiên cứu toán học Trung Quốc từ đầu thế kỷ thứ ba/thứ tư. Nó thực sự đề cập đến vấn đề khó khăn hơn của ba hình đồng thời.Chúng tôi có một số điều, nhưng chúng tôi không biết chính xác bao nhiêu. Nếu chúng tôi truy cập chúng bởi ba, chúng tôi có hai trái hơn. Nếu chúng tôi truy cập chúng bởi fives, chúng tôi có ba trái hơn. Nếu chúng tôi truy cập chúng bởi sevens, chúng tôi có hai trái hơn. Bao nhiêu những điều đang có? [Sun Tzu Suan Ching (Master Sun của toán học hướng dẫn sử dụng) vào khoảng năm 300 quảng cáo, tập 3, vấn đề 26.]Định lý Trung Quốc còn lại và chung chung của nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và các khu vực khác của toán học. Trong phần 2,9 chúng tôi sẽ xem làm thế nào nó có thể được sử dụng để giải quyết các trường hợp nhất định của vấn đề lôgarit rời rạc. Chúng tôi bắt đầu với một ví dụ mà chúng tôi giải quyết hai đồng thời hình. Khi bạn đọc ví dụ này, thông báo rằng nó không phải là chỉ đơn thuần là một tuyên bố trừu tượng một giải pháp tồn tại. Phương pháp mà chúng tôi mô tả thực sự là một thuật toán mà cho phép chúng tôi để tìm ra giải pháp.Ví dụ 2,24. Chúng tôi tìm kiếm một số nguyên x đồng thời giải quyết cả hai của các hình x ≡ 1 (mod 5) và x ≡ 9 (mod 11). (2,4)Congruence đầu tiên cho chúng ta biết rằng x ≡ 1 (mod 5), do đó, toàn bộ thiết lập của giải pháp để congruence đầu tiên là tập hợp các số nguyên x = 1 + 5y, y ∈ Z. (2,5)Thay thế (2,5) vào congruence thứ hai ở (2.4) cho 1 + 5y ≡ 9 (mod 11), và do đó 5y ≡ 8 (mod 11). (2.6)Chúng tôi giải quyết cho y bằng cách nhân cả hai bên (2,6) nghịch đảo của 5 theo modulo 11. Nghịch đảo này tồn tại bởi vì gcd(5,11) = 1 và có thể được tính toán bằng cách sử dụng các thủ tục được mô tả trong Döï Luaät 1.13 (xem thêm nhận xét 1.15). Tuy nhiên, trong trường hợp này mô đun nhỏ như vậy mà chúng tôi tìm thấy nó bằng cách thử và lỗi; do đó 5 • 9 = 45 ≡ 1 (mod 11).Trong bất kỳ trường hợp nào, cách nhân cả hai bên (2,6) sản lượng 9 y ≡ 9 • 8 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11).Cuối cùng, thay thế các giá trị này của y vào (2,5) cung cấp cho các giải phápx = 1 + 5 • 6 = 31cho vấn đề ban đầu.Các thủ tục được đề cập trong ví dụ 2,24 có thể được sử dụng để lấy được một công thức chung cho các giải pháp của hai hình đồng thời (xem tập thể dục 2,20), nhưng nó là tốt hơn để tìm hiểu phương pháp, chứ không phải ghi nhớ một công thức. Điều này đặc biệt là đúng bởi vì Trung Quốc còn lại định lý áp dụng cho hệ thống tự ý nhiều đồng thời hình.

Kết quả (Việt) 2:

Các lý phần còn lại của Trung Quốc mô tả các giải pháp cho một hệ thống đồng dư tuyến tính đồng thời. Tình hình đơn giản là một hệ thống của hai đồng dư,
x ≡ a (mod m) và x ≡ b (mod n), (2.3)
với gcd (m, n) = 1, trong trường hợp mà các lý phần còn lại của Trung Quốc nói rằng có một giải pháp mn modulo độc đáo.
Các ví dụ đầu tiên được ghi một vấn đề của loại này xuất hiện trong một tác phẩm toán học Trung Quốc từ cuối thứ ba hoặc đầu thế kỷ thứ tư. Nó thực sự giao dịch với các vấn đề khó khăn hơn trong ba đồng dư đồng thời.
Chúng tôi có một số việc, nhưng chúng ta không biết chính xác có bao nhiêu. Nếu chúng ta đếm bằng ba, chúng ta có hai trái hơn. Nếu chúng ta đếm bằng fives, chúng tôi đã ba còn lại. Nếu chúng ta đếm bằng bảy, chúng ta có hai trái hơn. Làm thế nào nhiều điều đang có? [Sun Tzu Suan Ching (Manual Thạc sĩ Toán học Sun) vào khoảng năm 300 AD, khối lượng 3, vấn đề 26.]
Các lý phần còn lại của Trung Quốc và những khái quát của nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và các khu vực khác của toán học. Trong mục 2.9 chúng tôi sẽ xem làm thế nào nó có thể được sử dụng để giải quyết một số trường hợp của bài toán logarit rời rạc. Chúng ta bắt đầu với một ví dụ mà chúng ta giải quyết hai đồng dư đồng thời. Khi bạn đọc ví dụ này, nhận thấy rằng nó không chỉ là một tuyên bố trừu tượng mà là một giải pháp tồn tại. Phương pháp mà chúng tôi mô tả thực sự là một thuật toán cho phép chúng tôi để tìm giải pháp.
Ví dụ 2.24. Chúng tôi tìm kiếm một số nguyên x mà đồng thời giải quyết được cả hai đồng dư
x ≡ 1 (mod 5) và x ≡ 9 (mod 11). (2.4)
Các chất đồng đẳng đầu tiên cho chúng ta biết rằng x ≡ 1 (mod 5), vì vậy toàn bộ các giải pháp để các chất đồng đẳng đầu tiên là tập hợp các số nguyên
x = 1 + 5y, y ∈ Z. (2.5)
Thay (2.5) vào các chất đồng đẳng thứ hai trong (2.4) cho
1 + 5y ≡ 9 (mod 11), và do đó 5y ≡ 8 (mod 11). (2.6)
Chúng tôi giải quyết cho y bằng cách nhân cả hai bên (2.6) bằng nghịch đảo của 5 modulo 11. nghịch đảo này tồn tại vì gcd (5,11) = 1 và có thể được tính bằng cách sử dụng các thủ tục được mô tả trong Dự 1,13 (xem thêm nhận xét 1,15). Tuy nhiên, trong trường hợp này các môđun là quá nhỏ mà chúng tôi tìm thấy nó bằng cách thử và sai; do đó 5 • 9 = 45 ≡ 1 (mod 11).
Trong mọi trường hợp, nhân cả hai bên (2.6) 9 sản lượng
y ≡ 9 • 8 ≡ 72 ≡ 6 (mod 11).
Cuối cùng, thay thế giá trị này của y vào ( 2.5) cho các giải pháp
x = 1 + 5 = 6 • 31
đến vấn đề ban đầu.
Các thủ tục nêu tại Ví dụ 2.24 có thể được sử dụng để lấy được một công thức chung cho các giải pháp của hai đồng dư đồng thời (xem bài tập 2.20), nhưng nó là nhiều tốt hơn để học phương pháp, chứ không phải học thuộc lòng một công thức. Điều này đặc biệt đúng bởi vì các lý phần còn lại của Trung Quốc áp dụng cho các hệ thống tự ý nhiều đồng dư đồng thời.