the last one matches two previously

the last one matches two previously free vertices—one from each of the sets V
and U. Therefore, the total number of iterations cannot exceed n/2 + 1, where
n = |V | + |U| is the number of vertices in the graph. The time spent on each
iteration is in O(n + m), where m = |E| is the number of edges in the graph. (This
assumes that the information about the status of each vertex—free or matched and
the vertex’ mate if the latter—can be retrieved in constant time, e.g., by storing it in
an array.) Hence, the time efficiency of the algorithm is in O(n(n + m)). Hopcroft
and Karp [Hop73] showed how the efficiency can be improved to O(
√
n(n + m))
by combining several iterations into a single stage to maximize the number of
edges added to the matching with one search.
We were concerned in this section with matching the largest possible number
of vertex pairs in a bipartite graph. Some applications may require taking into account
the quality or cost of matching different pairs. For example, workers may
execute jobs with different efficiencies, or girls may have different preferences for
their potential dance partners. It is natural to model such situations by bipartite
graphs with weights assigned to their edges. This leads to the problem of maximizing
the sum of the weights on edges connecting matched pairs of vertices. This
problem is called maximum-weight matching. We encountered it under a different
name—the assignment problem—in Section 3.4. There are several sophisticated
algorithms for this problem, which are much more efficient than exhaustive
search (see, e.g., [Pap82], [Gal86], [Ahu93]).We have to leave them outside of our
discussion, however, because of their complexity, especially for general graphs.

Kết quả (Việt) 1:

cuối cùng phù hợp với hai đỉnh trước đó-một từ mỗi của các tập hợp Vvà U. Do đó, tổng số lặp đi lặp lại không thể vượt quá n/2 + 1, nơin = | V | + | U| là số đỉnh trong đồ thị. Thời gian chi cho mỗilặp đi lặp lại là ở O (n + m), nơi m = | E| laø soá löôïng cạnh trong đồ thị. (Điều nàygiả định rằng các thông tin về tình trạng của mỗi đỉnh-miễn phí hoặc phù hợp vàđỉnh ' giao phối nếu sau này-có thể được lấy trong thời gian liên tục, ví dụ, bằng cách lưu trữ nó trongmột mảng.) Do đó, hiệu quả thời gian của các thuật toán là ở O (n (n + m)). Hopcroftvà Karp [Hop73] cho thấy làm thế nào hiệu quả có thể được cải thiện để O)√n (n + m))bằng cách kết hợp một số lặp đi lặp lại vào một giai đoạn duy nhất để tối đa hóa số lượngcạnh thêm vào kết hợp với một tìm kiếm.Chúng tôi đã được quan tâm trong phần này với kết hợp có thể có số lớn nhấtđỉnh cặp trong một đồ thị hai phía. Một số ứng dụng có thể yêu cầu tham gia vào tài khoảnchất lượng hoặc chi phí phù hợp với cặp khác nhau. Ví dụ, người lao động có thểthực hiện công việc với hiệu quả khác nhau, hoặc cô gái có thể có các tùy chọn khác nhau chotiềm năng đối tác múa của họ. Nó là tự nhiên để mô hình tình huống như vậy bởi hai phíađồ thị với trọng lượng được chỉ định để cạnh của họ. Điều này dẫn đến vấn đề của tối đa hóaTổng trọng lượng trên cạnh kết nối kết hợp cặp của đỉnh. Điều nàyvấn đề được gọi là phù hợp với trọng lượng tối đa. Chúng tôi gặp phải nó dưới một khác nhautên-vấn đề chuyển nhượng — trong phần 3.4. Có rất nhiều tinh vithuật toán cho vấn đề này, có nhiều hơn nữa hiệu quả hơn đầy đủTìm kiếm (xem, ví dụ: [Pap82], [Gal86], [Ahu93]). Chúng tôi đã để lại cho họ ở bên ngoài của chúng tôithảo luận, Tuy nhiên, do phức tạp của họ, đặc biệt là cho đồ thị chung.

Kết quả (Việt) 2:

người cuối cùng phù hợp với hai đỉnh ai trước đây miễn phí từ các bộ V
và U. Vì vậy, tổng số lần lặp lại không thể vượt quá? n / 2? + 1, trong đó
n = | V | + | U | là số đỉnh của đồ thị. Thời gian dành cho mỗi
lần lặp là O (n + m), trong đó m = | E | là số cạnh của đồ thị. (Điều này
giả định rằng các thông tin về tình trạng của mỗi đỉnh-free hoặc khớp và
'bạn đời đỉnh nếu sau này-có thể được lấy ra trong thời gian liên tục, ví dụ, bằng cách lưu trữ nó trong
một mảng.) Do đó, thời gian hiệu quả của thuật toán là trong O (n (n + m)). Hopcroft
và Karp [Hop73] đã cho thấy làm thế nào hiệu quả có thể được cải thiện để O
(√
n (n + m))
bằng cách kết hợp một số lần lặp vào một giai đoạn duy nhất để tối đa hóa số lượng
cạnh thêm vào khớp với một tìm kiếm.
Chúng tôi đã được quan tâm trong phần này có phù hợp với số lượng lớn nhất có thể
của các cặp đỉnh trong một đồ thị hai phía. Một số ứng dụng có thể yêu cầu có tính đến
chất lượng hoặc chi phí phù hợp với các cặp khác nhau. Ví dụ, người lao động có thể
thực hiện công việc có hiệu quả khác nhau, hoặc trẻ em gái có thể có sở thích khác nhau cho
các đối tác tiềm năng vũ đạo của họ. Nó là tự nhiên để mô hình tình huống như vậy bởi hai phía
đồ thị với trọng lượng chỉ định cho các cạnh của họ. Điều này dẫn đến các vấn đề tối đa hóa
tổng các trọng số trên các cạnh nối các cặp kết hợp của đỉnh. Điều này
vấn đề được gọi là phù hợp tối đa trọng lượng. Chúng tôi gặp nó dưới một khác nhau
tên-chuyển nhượng vấn tại mục 3.4. Có một số phức tạp
thuật toán cho vấn đề này, đó là hiệu quả hơn nhiều so với thấu đáo
tìm kiếm (xem, ví dụ, [Pap82], [Gal86], [Ahu93]). Chúng tôi có để lại cho họ bên ngoài của chúng tôi
thảo luận, tuy nhiên, vì họ phức tạp, đặc biệt là cho các đồ thị nói chung.