4.5.3 Why the Alon-Matias-Szegedy A

4.5.3 Why the Alon-Matias-Szegedy Algorithm Works
We can prove that the expected value of any variable constructed as in Sec- tion 4.5.2 is the second moment of the stream from which it is constructed. Some notation will make the argument easier to follow. Let e(i) be the stream element that appears at position i in the stream, and let c(i) be the number of times element e(i) appears in the stream among positions i,i + 1,...,n.
Example 4.9: Consider the stream of Example 4.7. e(6) = a, since the 6th position holds a. Also, c(6) = 4, since a appears at positions 9, 13, and 14, as well as at position 6. Note that a also appears at position 1, but that fact does not contribute to c(6). 2 The expected value of 2 × X.value + 1 is the average over all positions i between 1 and n of n×(2×c(i)−1), that is E(2×X.value + 1) = 1 n n X i=1 n×(2×c(i)−1)
We can simplify the above by canceling factors 1/n and n, to get
E(2×X.value + 1) =
n X i=12c(i)−1

However, to make sense of the formula, we need to change the order of summation by grouping all those positions that have the same element. For instance, concentrate on some element a that appears ma times in the stream. The term for the last position in which a appears must be 2×1−1 = 1. The term for the next-to-last position in which a appears is 2 × 2 − 1 = 3. The positions with a before that yield terms 5, 7, and so on, up to 2ma −1, which is the term for the first position in which a appears. That is, the formula for the expected value of 2×X.value + 1 can be written: E(2×X.value + 1) =X a 1 + 3 + 5 +···+ (2ma −1) Note that 1+3+5+···+(2ma−1) = (ma)2. The proof is an easy induction on the number of terms in the sum. Thus, E(2×X.value + 1) = Pa(ma)2, which is the definition of the second moment.

Kết quả (Việt) 1:

4.5.3 tại sao các công trình thuật toán Alon-Matias-Szegedy
chúng tôi có thể chứng minh rằng giá trị kỳ vọng của bất kỳ biến xây dựng như trong Sec-tion 4.5.2 là thời điểm thứ hai của dòng mà từ đó nó được xây dựng. Một số ký hiệu sẽ làm cho các đối số dễ dàng hơn để làm theo. Cho phép e(i) là phần tử dòng xuất hiện ở vị trí tôi trong dòng, và để cho c(i) là số lần yếu tố e(i) xuất hiện trong dòng giữa các vị trí tôi, i 1,..., n.
ví dụ 4.9: xem xét stream ví dụ 4.7. e(6) = một, kể từ khi nắm giữ vị trí thứ 6 một. Ngoài ra, c(6) = 4, kể từ khi một xuất hiện tại vị trí 9, 13, và 14, cũng như tại vị trí số 6. Lưu ý rằng một cũng xuất hiện ở vị trí 1, nhưng đó là thực tế không tham gia vào để c(6). 2 giá trị kỳ vọng của 2 × X.giá trị 1 là trung bình trên tất cả các vị trí tôi giữa 1 và n của n×(2×c(i)−1), mà là E(2×X.value 1) = 1 n n X tôi = 1 × n (2 × c (i) −1)
chúng tôi có thể đơn giản hóa ở trên bằng cách huỷ yếu tố 1/n và n, để có được
E (2×X.value 1) =
n X tôi = −1 12 c (i)
Tuy nhiên, để làm cho tinh thần của công thức, chúng tôi cần phải thay đổi thứ tự của tổng kết bằng cách nhóm tất cả những vị trí đó có các yếu tố tương tự. Ví dụ, tập trung vào một số yếu tố một mà xuất hiện ma lần trong dòng. Một thuật ngữ để cuối cùng vị trí trong đó một xuất hiện phải là 2 × 1−1 = 1. Một thuật ngữ để tiếp theo để cuối cùng vị trí trong đó một xuất hiện là 2 x 2 − 1 = 3. Các vị trí với một trước khi đó sản lượng điều khoản 5, 7, và như vậy, lên đến 2ma −1, mà là một thuật ngữ cho vị trí chính trong đó một xuất hiện. Đó là công thức cho giá trị kỳ vọng của 2×X.value 1 có thể được viết: E (2×X.value 1) = X 1 3 5 ··· (2ma −1) Lưu ý rằng 1 3 5 ··· (2ma−1) = (ma) 2. Bằng chứng là một cảm ứng dễ dàng về số lượng các điều khoản trong tổng. Vì vậy, E (2×X.value 1) = Pa (ma) 2, mà là definition thời điểm thứ hai.

Kết quả (Việt) 2:

4.5.3 Tại sao Alon-Matias-Szegedy Thuật toán Công trình
Chúng tôi có thể chứng minh rằng giá trị kỳ vọng của bất kỳ biến xây dựng như trong Sec-tion 4.5.2 là thời điểm thứ hai của dòng mà từ đó nó được xây dựng. Một số ký hiệu sẽ đưa ra lập luận dễ dàng hơn để làm theo. Cho e (i) là yếu tố dòng xuất hiện ở vị trí i trong dòng, và để cho c (i) là số lần thành phần điện tử (i) xuất hiện trong dòng giữa các vị trí i, i + 1, ..., . n
Ví dụ 4.9: Xem xét các dòng Ví dụ 4.7. e (6) = a, từ vị trí thứ 6 nắm giữ. Ngoài ra, c (6) = 4, từ một xuất hiện tại các vị trí 9, 13, và 14, cũng như ở vị trí 6. Lưu ý rằng cũng xuất hiện ở vị trí 1, nhưng thực tế là không đóng góp cho c (6). 2 Giá trị kỳ vọng của 2 × X.value + 1 là trung bình trên tất cả các vị trí i từ 1 đến n của n × (2 × c (i) -1), đó là E (2 × X.value + 1) = 1 nn X i = 1 n × (2 × c (i) -1)
Chúng ta có thể đơn giản hóa việc trên bằng cách hủy bỏ các yếu tố 1 / n và n, để có được
E (2 × X.value + 1) =
n X i = 12c (i) -1?
Tuy nhiên, để làm cho tinh thần của công thức, chúng ta cần phải thay đổi thứ tự tổng kết của nhóm tất cả những vị trí có cùng một nguyên tố. Ví dụ, tập trung vào một số yếu tố xuất hiện một ma lần trong dòng. Thời hạn cho vị trí cuối cùng trong đó một xuất hiện phải có 2 × 1-1 = 1. Thời hạn cho các vị trí tiếp theo đến cuối cùng trong đó một xuất hiện là 2 × 2 - 1 = 3. Các vị trí với các điều khoản trước đó năng suất 5, 7, và như vậy, lên đến 2mA -1, mà là thuật ngữ cho vị trí đầu tiên trong đó một xuất hiện. Đó là, công thức cho giá trị kỳ vọng của 2 × X.value + 1 có thể được viết: E (2 × X.value + 1) = X 1 + 3 + 5 + · · · + (2mA -1) Lưu ý rằng 1 +3 +5 + · · · + (2mA-1) = (ma) 2. Bằng chứng là một cảm ứng dễ dàng trên các số từ ngữ trong tổng. Do đó, E (2 × X.value + 1) = Pa (ma) 2, đó là định nghĩa của thời điểm thứ hai.