Pairwise distances between points A

Pairwise distances between points A1, . . . , An is greater than 2. Prove that any

figure whose area is smaller than π can be shifted by a vector not longer than 1 so that it would not contain points A1, . . . , An.

In a circle of radius 16 there are placed 650 points. Prove that there exists a ring (annulus) of inner radius 2 and outer radius 3 which contains not less than 10 of the given points.
There are given n figures in plane. Let Si1...ik be the area of the intersection of figures indexed by i1, . . . , ik and S be the area of the part of the plane covered by the given
figures; Mk the sum of all the Si1...ik . Prove that:
S = M1 − M2 + M3 − • • • + (−1)n+1Mn;
S ≥ M1 − M2 + M3 − • • • + (−1)m+1Mm for m even and S ≤ M1 − M2 + M3 − • • • + (−1)m+1Mm for m odd.

a) In a square of area 6 there are three polygons of total area 3. Prove that among them there are two polygons such that the area of their intersection is not less than 1.

b) In a square of area 5 there are nine polygons of total area 1. Prove that among them there are two polygons the area of whose intersection is not less than 19 .

On a rug of area 1 there are 5 patches the area of each of them being not less than 0.5. Prove that there are two patches such that the area of their intersection is not less than 0.2.


Solutions

21.1. Let us take three vertical lines and nine horizontal lines. Let us consider only intersection points of these lines. Since there are only 23 = 8 variants to paint three points two colours, there are two horizontal lines on which lie similarly coloured triples of points. Among three points painted two colours there are, by Dirichlet’s principle, two similarly

388 CHAPTER 21. DIRICHLET’S PRINCIPLE

coloured points. The vertical lines passing through these points together with the two horizontal lines selected earlier are the ones to be found.

Kết quả (Việt) 1:

Cử khoảng cách giữa điểm A1,..., An là lớn hơn 2. Chứng minh rằng bất kỳcon số có diện tích nhỏ hơn so với π có thể được chuyển bởi một vector không dài hơn 1, do đó nó sẽ không chứa điểm A1,..., An. Trong một vòng tròn bán kính 16 có đặt 650 điểm. Chứng minh rằng có tồn tại một vòng (vòng) của bên trong bán kính 2 và bên ngoài bán kính 3 chứa không ít hơn 10 điểm nhất định. Có được cho n số liệu trong máy bay. Hãy để Si1... ik là khu vực ngã tư của số liệu, lập chỉ mục của i1,..., ik và S là diện tích phần của chiếc máy bay được bao phủ bởi các nhất địnhsố liệu; Mk tổng Si1... ik. Chứng minh rằng: S = M1 − M2 + M3 − • • • + (−1) n + 1Mn; S ≥ M1 − M2 + M3 − • • • + (−1) m + 1 Mm cho thậm chí m và S ≤ M1 − M2 + M3 − • • • + (−1) m + 1 Mm cho m lẻ. a) trong một hình vuông của khu vực 6 có là ba đa giác tổng diện tích 3. Chứng minh rằng trong số đó có hai đa giác mà khu vực giao lộ của họ không phải là ít hơn 1.b) trong một hình vuông của khu vực 5 có là các đa giác chín tổng diện tích 1. Chứng minh rằng trong số đó có hai đa giác khu vực giao lộ mà không phải là ít hơn 19. Trên một tấm thảm của khu vực 1 có những bản vá lỗi 5 diện tích của mỗi người trong số họ là không nhỏ hơn 0,5. Chứng minh rằng có hai như vậy mà khu vực giao lộ của họ không phải là ít hơn 0,2.Giải pháp21.1. Hãy để chúng tôi có ba đường dọc và đường ngang chín. Chúng ta hãy xem xét việc chỉ giao điểm của những dòng này. Kể từ khi có chỉ 23 = 8 phiên bản vẽ ba điểm hai màu sắc, có hai đường ngang trên đó nói dối tương tự như ba màu của các điểm. Trong số ba điểm sơn hai màu sắc hiện có, bằng nguyên tắc Dirichlet, hai tương tự 388 CHƯƠNG 21. NGUYÊN TẮC DIRICHLETmàu điểm. Dọc đường đi qua những điểm này cùng với hai đường ngang được chọn trước đó là những người được tìm thấy.

Kết quả (Việt) 2:

Khoảng cách giữa các cặp điểm A1,. . . , An lớn hơn 2. Chứng minh rằng bất kỳ

hình có diện tích nhỏ hơn π có thể được thay đổi bởi một vector không dài hơn 1 để nó sẽ không chứa điểm A1,. . . , An.

Trong một vòng tròn bán kính 16 có được đặt 650 điểm. Chứng minh rằng có tồn tại một vòng (annulus) bán kính bên trong 2 và bán kính ngoài 3, trong đó có không ít hơn 10 trong những điểm nhất định.
Có được đưa ra con số n trong máy bay. Hãy SI1 ... ik là khu vực của các giao điểm của các nhân vật được lập chỉ mục bởi i1,. . . , Ik và S là diện tích của phần mặt phẳng được bao phủ bởi các trao
số; Mk tổng của tất cả các SI1 ... ik. Chứng minh rằng:
S = M1 - M2 + M3 - • • • + (-1) n + 1 triệu;
S ≥ M1 - M2 + M3 - • • • + (-1) m + 1mm cho m thậm chí và S ≤ M1 - M2 + M3 -. • • • + (-1) m + 1mm cho m lẻ

a) trong một hình vuông có diện tích 6 có ba đa giác của tổng diện tích 3. Chứng minh rằng trong đó có hai đa giác như vậy mà các khu vực của họ giao nhau là không ít hơn 1.

b) trong một hình vuông có diện tích 5 có chín đa giác của tổng diện tích 1. Chứng minh rằng trong đó có hai đa giác lĩnh vực mà giao nhau là không ít hơn 19.

Trên một tấm thảm của 1 khu vực có 5 bản vá lỗi các khu vực của mỗi nước là không nhỏ hơn 0,5. Chứng minh rằng có hai bản vá lỗi như vậy mà các khu vực giao nhau của họ không phải là ít hơn 0.2.


Giải pháp

21.1. Chúng ta hãy lấy ba đường dọc và chín đường ngang. Chúng ta hãy xem xét chỉ điểm giao nhau của những dòng này. Vì chỉ có 23 = 8 biến thể vẽ ba điểm hai màu sắc, có hai đường ngang trên mà nói dối tương tự màu gấp ba điểm. Trong số ba điểm sơn hai màu sắc có, bởi nguyên tắc Dirichlet, hai tương tự

NGUYÊN TẮC 388 CHƯƠNG 21. Dirichlet 's

điểm màu. Đường thẳng đứng đi qua những điểm này cùng với hai đường ngang đã chọn trước đó là những người được tìm thấy.