(a) By Prop. 1.4.1(b), the relative

(a) By Prop. 1.4.1(b), the relative interior of a convex set is a convex set. We
only need to show that ri(C) is a cone. Let y ∈ ri(C). Then, y ∈ C and since C
is a cone, αy ∈ C for all α > 0. By the Line Segment Principle, all the points on
the line segment connecting y and αy, except possibly αy, belong to ri(C). Since
this is true for every α > 0, it follows that αy ∈ ri(C) for all α > 0, showing that
ri(C) is a cone.
(b) Consider the linear transformation A that maps (α 1 ,...,α m ) ∈ ? m into
? m
i=1 α i x i
∈ ? n . Note that C is the image of the nonempty convex set

Kết quả (Việt) 1:

(a) bởi Prop. 1.4.1(b), nội thất tương đối của một tập hợp lồi là một tập hợp lồi. Chúng tôichỉ cần để hiển thị ri(C) đó là một hình nón. Hãy để y ∈ ri(C). Sau đó, y ∈ C và từ Clà một hình nón, αy ∈ C cho tất cả α > 0. Bởi nguyên tắc phân đoạn đường dây, tất cả các điểm trênđoạn đường nối y và αy, ngoại trừ có thể αy, thuộc về ri(C). Kể từ khiĐiều này đúng cho mỗi α > 0, sau đó αy ∈ ri(C) cho tất cả α > 0, thấy rằngri(C) là một hình nón.(b) xem xét sự biến đổi tuyến tính có một bản đồ (α 1,..., α m) ∈? m vào? mi = 1 α tôi x i∈ ? s S Lưu ý rằng C là hình ảnh của các thiết lập lồi nonempty

Kết quả (Việt) 2:

(a) Bằng Prop. 1.4.1 (b), nội thất tương đối của một tập lồi là tập lồi. Chúng tôi
chỉ cần để cho thấy rằng ri (C) là một hình nón. Hãy để y ∈ ri (C). Sau đó, y ∈ C và từ C
là một hình nón, αy ∈ C cho tất cả các α> 0. Phân đoạn đường tắc, tất cả các điểm trên
đường thẳng nối giữa y và αy, ngoại trừ có thể αy, thuộc ri (C). Kể từ khi
điều này là đúng cho mọi α> 0, nó sau đó αy ∈ ri (C) cho tất cả các α> 0, cho thấy rằng
ri (C) là một hình nón.
(B) Xem xét việc chuyển đổi tuyến tính A mà bản đồ (α 1,. .., α m) ∈? m vào
? m
i = 1 α IXI
∈? n. Lưu ý rằng C là hình ảnh của các tập lồi khác rỗng