Second-order optimality conditions

Second-order optimality conditions with the envelope-like effect for
nonsmooth vector optimization in infinite dimensions
Second-order optimality conditions are of great interest, since they refine first-order conditions with second-order
information which is much helpful to recognize optimal solutions as well as to design numerical algorithms for computing
them. The nature of this second-order information is the following. Roughly speaking, first-order optimality conditions say
that at a minimizer the directional derivative of the map, composed from the objective and constraints, does not belong
to the interior of the (composite) negative cone in the product of the image spaces. This directional derivative may lie on
the boundary of the mentioned cone. In this case, second-order conditions provide additional information. In general, this
information is that the second directional derivative of the Lagrangian is nonnegative. However, Kawasaki [1] discovered
that, when one considers the closure of the mentioned negative cone, the second derivative of the Lagrangian may be strictly
negative if the encountered first-order directional derivative of the mentioned composite map lies on a particular part of
the boundary of the mentioned negative cone. He called this phenomenon the envelope-like effect. A number of researchers
still do not pay attention to this effect, and some made mistakes related to this phenomenon. Many authors consider
only the mentioned negative cone, not its closure, and hence no envelope-like effect occurs. There have been significant

Kết quả (Việt) 1:

Second-order optimality conditions with the envelope-like effect fornonsmooth vector optimization in infinite dimensionsSecond-order optimality conditions are of great interest, since they refine first-order conditions with second-orderinformation which is much helpful to recognize optimal solutions as well as to design numerical algorithms for computingthem. The nature of this second-order information is the following. Roughly speaking, first-order optimality conditions saythat at a minimizer the directional derivative of the map, composed from the objective and constraints, does not belongto the interior of the (composite) negative cone in the product of the image spaces. This directional derivative may lie onthe boundary of the mentioned cone. In this case, second-order conditions provide additional information. In general, thisinformation is that the second directional derivative of the Lagrangian is nonnegative. However, Kawasaki [1] discoveredthat, when one considers the closure of the mentioned negative cone, the second derivative of the Lagrangian may be strictlynegative if the encountered first-order directional derivative of the mentioned composite map lies on a particular part ofthe boundary of the mentioned negative cone. He called this phenomenon the envelope-like effect. A number of researchersstill do not pay attention to this effect, and some made mistakes related to this phenomenon. Many authors considerchỉ là hình nón phủ định được đề cập, không đóng cửa, và do đó không có phong bì như hiệu ứng xảy ra. Đã có đáng kể

Kết quả (Việt) 2:

Bậc hai điều kiện tối ưu với tác phong bì như cho
nonsmooth tối ưu hóa vector trong kích thước vô hạn
bậc hai điều kiện tối ưu là những quan tâm, kể từ khi họ tinh chỉnh điều kiện đầu tiên đặt hàng với bậc hai
thông tin đó là rất hữu ích để nhận ra các giải pháp tối ưu là tốt như để thiết kế thuật toán số để tính toán
cho họ. Bản chất của thông tin thứ hai-thứ tự này là sau đây. Nói đại khái, thứ tự đầu tiên điều kiện tối ưu nói
rằng tại một minimizer đạo hàm hướng của bản đồ, bao gồm từ mục tiêu và ràng buộc, không thuộc
vào bên trong (composite) nón tiêu cực trong các sản phẩm của các không gian ảnh. Phái sinh hướng này có thể nằm trên
ranh giới của hình nón đã đề cập. Trong trường hợp này, điều kiện thứ hai để cung cấp thêm thông tin. Nói chung, điều này
thông tin là đạo hàm hướng thứ hai của Lagrange là không âm. Tuy nhiên, Kawasaki [1] phát hiện ra
rằng, khi người ta xem xét việc đóng cửa của hình nón tiêu cực nêu trên, hàm bậc hai của Lagrange có thể nghiêm
tiêu cực nếu gặp bậc hàm hướng của bản đồ đề cập tổng hợp nằm trên một phần riêng biệt của
các ranh giới của hình nón tiêu cực đề cập. Ông gọi hiện tượng này là hiệu ứng phong bì giống. Một số nhà nghiên cứu
vẫn không chú ý đến hiệu ứng này, và một số sai phạm liên quan đến hiện tượng này. Nhiều tác giả xem xét
chỉ nón tiêu cực đã đề cập, không đóng cửa của nó, và do đó không có tác dụng phong bì giống như xảy ra. Đã có ý nghĩa