Thus, the value of any feasible flo

Thus, the value of any feasible flow in a network cannot exceed the capacity of any cut in that network.

Let v∗ be the value of a final flow x∗ obtained by the augmenting-path method. If we now find a cut whose capacity is equal to v∗, we will have to conclude, in view of inequality (10.13), that (i) the value v∗ of the final flow is maximal among all feasible flows, (ii) the cut’s capacity is minimal among all cuts in the network, and
the maximum-flow value is equal to the minimum-cut capacity.
To find such a cut, consider the set of vertices X∗ that can be reached from the

source by following an undirected path composed of forward edges with positive unused capacities (with respect to the final flow x∗) and backward edges with positive flows on them. This set contains the source but does not contain the sink: if it did, we would have an augmenting path for the flow x∗, which would contradict the assumption that the flow x∗ is final. Consider the cut C(X∗, X∗). By the definition of set X∗, each edge (i, j ) from X∗ to X∗ has zero unused capacity, i.e., xij∗ = uij , and each edge (j, i) from X∗ to X ∗ has the zero flow on it (otherwise, j would be in X∗). Applying equality (10.12) to the final flow x∗ and the set X∗ defined above, we obtain

Kết quả (Việt) 1:

Do đó, giá trị của bất kỳ dòng chảy khả thi trong một mạng không thể vượt quá khả năng của bất cứ cắt giảm trong mạng đó.Để v∗ là giá trị của một x∗ cuối cùng dòng chảy thu được bằng phương pháp đường dẫn augmenting. Nếu chúng tôi bây giờ tìm thấy một cắt giảm sức chứa mà là tương đương với v∗, chúng tôi sẽ có để kết luận, theo quan điểm của bất đẳng thức (10.13), v∗ (i) các giá trị của dòng cuối cùng là tối đa trong số tất cả khả thi chảy, (ii) việc cắt giảm sức chứa là tối thiểu trong số tất cả các vết cắt trong mạng, và giá trị tối đa luồng là tương đương với khả năng cắt giảm tối thiểu.Để tìm một cắt, xem xét các thiết lập của đỉnh X∗ có thể được đạt đến từ cácnguồn bằng cách làm theo một con đường vô hướng bao gồm cạnh phía trước với khả năng không sử dụng tích cực (đối với x∗ cuối cùng dòng chảy) và lạc hậu cạnh với các dòng chảy tích cực trên chúng. Thiết lập này có nguồn gốc nhưng không chứa bồn rửa chén: nếu nó đã làm, chúng tôi sẽ có một con đường thông cho dòng chảy x∗, mà sẽ mâu thuẫn với giả định rằng dòng chảy x∗ là cuối cùng. Xem xét việc cắt giảm C (X∗, X∗). Theo định nghĩa thiết lập X∗, mỗi cạnh (i, j từ X∗ để X∗) có khả năng không sử dụng không, ví dụ, xij∗ = uij, và mỗi cạnh (j, tôi) từ X∗ để X ∗ có dòng chảy không vào nó (nếu không, j sẽ trong X∗). Áp dụng bình đẳng (10,12) cho x∗ cuối cùng dòng chảy và bộ X∗ định nghĩa ở trên, chúng tôi có được

Kết quả (Việt) 2:

Như vậy, giá trị của bất cứ lưu lượng khả thi trong một mạng không thể vượt quá khả năng của bất kỳ cắt trong mạng đó. Hãy v * là giá trị của một dòng x thức * thu được bằng phương pháp làm tăng-path. Nếu bây giờ chúng ta tìm thấy một nhát cắt có công suất tương đương với v *, chúng tôi sẽ phải kết luận, trong quan điểm của bất đẳng thức (10.13), rằng (i) giá trị v * của dòng cuối cùng là tối đa trong tất cả các dòng có tính khả thi, (ii) năng lực của cắt là nhỏ nhất trong số tất cả các vết cắt trong mạng, và các giá trị tối đa luồng bằng với công suất tối thiểu cắt. Để tìm một vết cắt như vậy, hãy xem xét tập các đỉnh X * có thể đạt được từ các nguồn bằng cách làm theo một con đường vô hướng gồm phía trước cạnh với khả năng tích cực chưa sử dụng (đối với các dòng thức x *) và cạnh ngược với dòng chảy tích cực vào chúng. Bộ này chứa nguồn nhưng không chứa các bồn rửa: nếu nó đã làm, chúng ta sẽ có một con đường làm tăng cho dòng x *, mà sẽ mâu thuẫn với giả định rằng các dòng x * là cuối cùng. Hãy xem xét việc cắt giảm C (X *, X *). Theo định nghĩa của tập X *, mỗi cạnh (i, j) từ X * để X * có không khả năng không sử dụng, ví dụ, xij * = uij, và mỗi cạnh (j, i) từ X * để X * có zero chảy vào nó (nếu không, sẽ là j trong X *). Áp dụng bình đẳng (10,12) để cuối cùng dòng x * và tập X * định nghĩa ở trên, chúng ta có được