Then, expanding the product, we find

Then, expanding the product, we find
f = ‹z„(±" _ sm-1 + . . . + (-1)"s„),
where si denotes s¿(0z1,... ,a.„).
A polynomial in 81,. .. ,sn can clearly be rew1'itten as a symmetric
polynomial in tl, . .. ,tw The converse is also true, a fact first proved by
Newton:
Theorcm 1.12. Let R be a ring. Then every symmetrźc polynomial in
R[t1, .. . ,t„] is eacpressźble as a polynomial with cocfiicients in R in the
elementary symmetržc polynomžals 81, . . . , 8,1.
Proof: We shall demonstrate 8. specific technique for reducing a. symrnetric
polynomial into elementary ones. First We order the monomíals if* . . .t§"

Kết quả (Việt) 1:

Sau đó, mở rộng sản phẩm, chúng tôi nhiềuf = ‹z„(±" _ sm-1 + . . . + (-1)"s„),nơi si là bắt s¿(0z1,..., một. ").Một đa thức trong 81. .. , sn rõ ràng có thể rew1'itten như là một đối xứngđa thức trong tl. .. , tw các trò chuyện là cũng đúng, một vòng thực tế đã chứng minh bởiNewton:Theorcm 1.12. Giả sử R là một vòng. Sau đó mỗi symmetrźc đa thức trongR [t1,..., t "] là eacpressźble như một đa thức với cocfiicients trong R trong cáctiểu học symmetržc polynomžals 81,..., 8,1.Bằng chứng: Chúng tôi sẽ chứng minh 8. specific kỹ thuật để giảm thiểu a. symrnetricđa thức thành những tiểu học. Lần đầu tiên chúng tôi đặt hàng nếu monomíals *... t§ "

Kết quả (Việt) 2:

Sau đó, mở rộng các sản phẩm, chúng tôi fi nd
f = <z "(±" _ sm-1 +... + (-1) "S"),
nơi si biểu thị s¿ (0z1, ..., a. ") .
Một đa thức trong 81 ,. .., Sn rõ ràng có thể được rew1'itten như một đối xứng
đa thức trong tl,. .., Tw The ngược lại cũng đúng, một thực tế đầu tiên fi chứng minh bằng
Newton:
Theorcm 1.12. Hãy để R là vành. Sau đó, mỗi đa thức symmetrźc trong
R [t1, ... , t "] là eacpressźble là một đa thức với icients fi coc trong R trong
polynomžals symmetržc tiểu 81. . . , 8,1.
Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh 8. Speci fi c kỹ thuật để giảm một. symrnetric
đa thức thành những tiểu. Đầu tiên chúng ta đặt các monomíals nếu *. . .t§ "