Quadratic Equations3.1 Introduction

Quadratic Equations
3.1 Introduction
Linear equations and methods for their solution were introduced in the previous
chapter. As we have seen, the graphs of linear functions are straight lines and
therefore their slopes are constant. This means that the function changes by a
constant amount whenever the dependent variable changes by the same fixed
value. This type of behaviour is not always observed in real-life applications in
economics. It is, therefore, necessary to introduce an added level of sophistication
to the mathematical modelling. This is achieved through the introduction
of nonlinear functions. The simplest nonlinear function is the quadratic function.
This function takes the general form
f(x) = ax2 + bx + c, (3.1)
where a = 0, b and c are constants. The condition a = 0 is to prevent the
occurrence of the degenerate case in which (3.1) reduces to a linear function.
If the profit function for a firm is given by a quadratic expression, then one
can determine the level of output for which the firm breaks even by solving a
quadratic equation. Additionally, one can determine the maximum profit and
the level of output for which it is attained by algebraically manipulating the
expression for the function. For more general nonlinear functions, the maximum
and/or minimum values of a function can be determined using the techniques
of calculus (see Chapter 7), but for a quadratic function this can be achieved
using algebra.
49
50 Elements of Mathematics for Economics and Finance
Certain total cost and total revenue functions are examples of quadratic
functions and are defined in terms of a quadratic expression involving the demand.
3.2 Graphs of Quadratic Functions
In the case of a linear function of the form f(x) = dx+e, the parameters d and
e can be interpreted in terms of properties of the graph of the function. The
value of d, the coefficient of x, gives the slope or gradient of the function, and
the value of e, the constant term, tells us where the straight line intercepts the
y-axis. A natural question to ask is whether the parameters in the expression
defining the general quadratic function f(x) = ax2 + bx + c can be interpreted
in a similar way in order to help us sketch its graph.
If we evaluate the function f(x) = ax2 + bx + c when x = 0 we obtain
f(0) = c. Therefore, the quadratic function intercepts the y-axis at the location
y = c. The values of the other parameters cannot be interpreted in such a
simple manner. However, the sign of the parameter a tells us something about
the shape of the graph. If a > 0, then the graph of f(x) has a  shape, whereas
if a < 0 the graph of f(x) has a  shape. This information gives us a rough
idea of what the graph of a quadratic function looks like. An additional aid is to
tabulate the function at a sequence of integer values of x and to draw a smooth
curve through the set of points. For example, let us sketch the graph of the
quadratic function f(x) = x2 for −3 ≤ x ≤ 3. If we compare the coefficients of
this function with those of the general quadratic function, we find that a = 1,
and b = c = 0. Therefore, the graph of this function intercepts the y-axis at
the origin as c = 0 and has a  shape as a > 0. The values of this function are
tabulated in Table 3.1 for integer values of x for which −3 ≤ x ≤ 3, and the
graph of the function is shown in Fig. 3.1.
Now consider the function f(x)=2x2 + 3x − 2. Again comparison with the
general quadratic function (3.1) shows that a = 2, b = 3, and c = −2. The
graph is again of a  shape since a > 0 and it intercepts the y-axis at y = −2.
The values of this function for integer values of x between −4 and 2 are shown
Table 3.1 Table of values of the function f(x) = x2 for integer values of
x for which −3 ≤ x ≤ 3. The graph of this function is shown in Fig. 3.1.
x −3 −2 −10123
f(x) 9 4 10149
3. Quadratic Equations 51
x -3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
y 9
Figure 3.1 The graph of the function f(x) = x2 for −3 ≤ x ≤ 3.
in Table 3.2, and the graph of the function is shown in Fig. 3.2. The graph of
this function crosses the x-axis in two places, at x = −2 and x = 1/2. These
values of x satisfy the quadratic equation 2x2 + 3x − 2 = 0 since y = f(x)=0
at these two points. The values of x that satisfy the equation f(x) = 0 are
known as the roots or solutions of the equation. These two terms are used
interchangeably. Therefore, we say that x = −2 and x = 1/2 are the roots or
solutions of the quadratic equation 2x2 + 3x − 2 = 0.
The next function we consider is f(x)=2x − x2. This function has a
Table 3.2 Table of values of the function f(x)=2x2 + 3x − 2 for integer
values of x for which −4 ≤ x ≤ 2. The graph of this function is shown in Fig.
3.2.
x −4 −3 −2 −1012
2x2 32 18 8 2 0 2 8
3x −12 −9 −6 −3036
−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2
f(x) 18 7 0 −3 −2 3 12
52 Elements of Mathematics for Economics and Finance
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
5
10
15
y
Figure 3.2 The graph of the function f(x)=2x2 + 3x−2 for −4 ≤ x ≤ 2.
negative coefficient of x2. In term

Kết quả (Việt) 1:

Phương trình bậc hai3.1 giới thiệuPhương trình tuyến tính và các phương pháp cho các giải pháp của họ đã được giới thiệu trong trước đóchương. Như chúng ta đã thấy, các đồ thị của chức năng tuyến tính là đường thẳng vàVì vậy, sườn dốc của họ là liên tục. Điều này có nghĩa rằng những thay đổi chức năng của mộthằng số tiền bất cứ khi nào phụ thuộc vào biến thay đổi bởi cùng một cố địnhgiá trị. Đây là loại hành vi không luôn luôn quan sát trong các ứng dụng cuộc sống thực tạikinh tế. Đó là, do đó, cần thiết để giới thiệu thêm một cấp tinh tếvới mô hình toán học. Điều này đạt được thông qua việc giới thiệuchức năng nonlinear. Chức năng nonlinear đơn giản nhất là chức năng bậc hai.Chức năng này có dạng tổng quátf(x) = ax2 + bx + c (3.1)nơi một = 0, b và c là hằng số. Tình trạng một = 0 là để ngăn chặn cácsự xuất hiện của các trường hợp thoái hóa trong đó (3.1) làm giảm chức năng tuyến tính.Nếu lợi nhuận hoạt động cho một công ty được đưa ra bởi một biểu thức bậc hai, sau đó mộtcó thể xác định mức sản lượng mà công ty phá vỡ ngay cả bằng cách giải mộtphương trình bậc hai. Ngoài ra, một trong những có thể xác định lợi nhuận tối đa vàmức độ đầu ra cho mà nó đạt được bằng trường thao tác cácbiểu hiện cho các chức năng. Nhất hàm phi tuyến tổng quát hơn, tối đavà/hoặc các giá trị tối thiểu của một hàm có thể được xác định bằng cách sử dụng các kỹ thuậtcủa giải tích (xem chương 7), nhưng đối với một hàm bậc hai, điều này có thể đạt đượcsử dụng đại số.49Các yếu tố 50 toán kinh tế và tài chínhTổng chi phí và tổng doanh thu chức năng nhất định là ví dụ về bậc haichức năng và được định nghĩa trong điều khoản của một biểu thức bậc hai liên quan đến nhu cầu.3.2 các đồ thị của hàm bậc haiTrong trường hợp của một hàm tuyến tính của hình thức f(x) = dx + e, thông số d vàe có thể được giải thích về các thuộc tính của đồ thị của hàm. Cácgiá trị của d, Hệ số của x, cung cấp cho các dốc hoặc độ dốc của các chức năng, vàgiá trị của e, thuật ngữ liên tục, cho chúng ta biết nơi đường thẳng chặn cácy-Axis. Một câu hỏi tự nhiên để hỏi là liệu các tham số trong biểu thứcxác định chung bậc hai hàm f(x) = ax2 + bx + c có thể được giải thíchmột cách tương tự để giúp chúng tôi vẽ đồ thị của nó.Nếu chúng ta đánh giá hàm f(x) = ax2 + bx + c khi x = 0 chúng ta có đượcf(0) = c. Do đó, các chức năng bậc hai chặn trục tại vị tríy = c. Các giá trị của các tham số khác không thể được giải thích trong đó mộtcách đơn giản. Tuy nhiên, các dấu hiệu của tham số một cho chúng ta một cái gì đó vềhình dạng của biểu đồ. Nếu > 0, sau đó các đồ thị của f (x) có hình dạng, trong khiNếu một < 0 các đồ thị của f (x) có hình dạng. Thông tin này cho chúng ta một thôý tưởng về những gì các đồ thị của một hàm bậc hai trông giống như. Một trợ giúp bổ sung là đểchia loại chức năng ở một chuỗi các giá trị số nguyên x và để vẽ một mịnđường cong thông qua các thiết lập điểm. Ví dụ, hãy cho chúng tôi phác thảo các đồ thị của cácbậc hai chức năng f (x) = x2 cho −3 ≤ x ≤ 3. Nếu chúng ta so sánh các hệ số củachức năng này với những chức năng bậc hai tướng, chúng tôi thấy rằng một = 1,và b = c = 0. Do đó, các đồ thị của chức năng này chặn trục y tạinguồn gốc là c = 0 và có hình dạng như một > 0. Giá trị của các chức năng nàytabulated trong bảng 3.1 cho số nguyên giá trị của x để mà −3 ≤ x ≤ 3, và cácđồ thị của các chức năng được hiển thị trong hình 3.1.Bây giờ hãy xem xét hàm số f (x) = 2 x 2 + 3 x − 2. Một lần nữa so với cácnói chung chức năng bậc hai (3.1) cho thấy rằng một = 2, b = 3 và c = −2. Cácđồ thị trở lại một hình kể từ khi một > 0 và nó chặn trục y tại y = −2.Các giá trị của hàm này cho các giá trị số nguyên x giữa −4 và 2 sẽ được hiển thịBảng 3.1 bảng giá trị của hàm f (x) = x2 với giá trị số nguyênx cho mà −3 ≤ x ≤ 3. Đồ thị của chức năng này được thể hiện trong hình 3.1.x −3 −2 −10123f (x) 9 4 101493. phương trình bậc hai 51x-3 -2-1 0 1 2 312345678y 9Hình 3.1 là đồ thị của hàm f (x) = x2 cho −3 ≤ x ≤ 3.trong bảng 3.2, và đồ thị của chức năng hiển thị trong hình 3.2. Đồ thị củachức năng này đi qua trục x ở hai nơi, tại x = −2 và x = 1/2. Nhữnggiá trị của x thỏa mãn phương trình bậc 2 x 2 + 3 x − 2 = 0 kể từ y = f (x) = 0tại hai điểm này. Các giá trị của x thỏa mãn phương trình f (x) = 0 cóđược biết đến như là nguồn gốc hoặc các giải pháp của phương trình. Những hai thuật ngữ được sử dụngthay thế cho nhau. Vì vậy, chúng ta nói rằng x = −2 và x = 1/2 là rễ hoặcgiải pháp x − phương trình bậc 2 x 2 + 3 2 = 0.Các chức năng tiếp theo chúng tôi xem xét là f (x) = 2 x − x2. Chức năng này có mộtBảng 3.2 Bảng giá trị của hàm f (x) = 2 x 2 + 3 x − 2 cho số nguyêngiá trị của x để mà −4 ≤ x ≤ 2. Đồ thị của chức năng này được thể hiện trong hình.3.2.x −4 −3 −2 −10122 x 2 32 18 8 2 0 2 83 x −12 −9 −6 −3036−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2f(x) 18 7 0 −3 −2 3 1252 các yếu tố của toán học về kinh tế và tài chínhx-4 -2-3-1 0 1 251015yHình 3.2 các đồ thị của hàm số f (x) = 2 x 2 + 3x−2 cho −4 ≤ x ≤ 2.Hệ số tiêu cực của x2. Trong nhiệm kỳ

Kết quả (Việt) 2:

Phương trình bậc hai
3.1 Giới thiệu
phương trình và phương pháp để giải pháp của họ tuyến tính đã được giới thiệu trong các trước
chương. Như chúng ta đã thấy, đồ thị của hàm tuyến tính là những đường thẳng và
do đó độ dốc của họ là không đổi. Điều này có nghĩa rằng các chức năng thay đổi bởi một
lượng không đổi khi thay đổi biến phụ thuộc bởi các cố định cùng một
giá trị. Những hành vi này không phải luôn luôn quan sát thấy trong các ứng dụng thực tế trong
kinh tế học. Đó là, do đó, cần thiết để giới thiệu tăng mức độ tinh tế
để các mô hình toán học. Điều này đạt được thông qua việc giới thiệu
các chức năng phi tuyến. Các hàm phi tuyến đơn giản nhất là hàm bậc hai.
Chức năng này có dạng tổng quát
của f (x) = AX2 + bx + c, (3.1)
trong đó a = 0, b và c là các hằng số. Các điều kiện a = 0 là để ngăn chặn sự
xuất hiện của các trường hợp suy biến trong đó (3.1) giảm tới một hàm tuyến tính.
Nếu chức năng lợi nhuận cho một công ty được đưa ra bởi một biểu thức bậc hai, sau đó người ta
có thể xác định mức sản lượng mà công ty phá vỡ thậm chí bằng cách giải một
phương trình bậc hai. Ngoài ra, người ta có thể xác định được lợi nhuận tối đa và
mức sản lượng mà nó là đạt được bằng đại số thao tác với các
biểu thức cho hàm. Để biết thêm các chức năng phi tuyến nói chung, tối đa
và / hoặc giá trị tối thiểu của một hàm có thể được xác định bằng cách sử dụng các kỹ thuật
của giải tích (xem Chương 7), nhưng đối với một hàm bậc hai này có thể đạt được
bằng đại số.
49
50 Các yếu tố của Toán Kinh tế và Tài chính
số tổng chi phí và tổng số chức năng thu là ví dụ về bậc hai
chức năng và được quy định trong các điều khoản của một biểu thức bậc hai liên quan đến nhu cầu.
3.2 Đồ thị của hàm bậc hai
trong trường hợp của một hàm tuyến tính có dạng f (x) = dx + e, các thông số d và
e có thể được giải thích về tính chất của đồ thị của hàm. Các
giá trị của d, hệ số của x, cho độ dốc hoặc gradient của hàm, và
giá trị của e, thuật ngữ liên tục, cho chúng ta biết nơi mà các đường thẳng chặn các
trục y. Một câu hỏi tự nhiên hỏi là liệu các thông số trong biểu thức
xác định hàm bậc hai f chung (x) = AX2 + bx + c có thể được hiểu
theo một cách tương tự để giúp chúng tôi phác hoạ đồ thị của nó.
Nếu chúng tôi đánh giá hàm f ( x) = AX2 + bx + c khi x = 0 ta được
f (0) = c. Do đó, hàm bậc hai chặn các trục y tại địa điểm
y = c. Các giá trị của các thông số khác không thể được giải thích theo như
cách đơn giản. Tuy nhiên, các dấu hiệu của tham số một cho chúng ta biết điều gì đó về
hình dạng của đồ thị. Nếu a> 0 thì đồ thị của f (x) có một? hình, trong khi đó
nếu a <0 đồ thị của f (x) có một? định hình. Thông tin này cho chúng ta một thô
ý tưởng về những gì các đồ thị của hàm số bậc hai như thế nào. Một viện trợ thêm là để
lập bảng các chức năng tại một chuỗi các giá trị nguyên của x và rút ra một mịn
đường cong thông qua tập hợp các điểm. Ví dụ, chúng ta hãy phác hoạ đồ thị của
hàm bậc hai f (x) = x2 cho -3 ≤ x ≤ 3. Nếu chúng ta so sánh các hệ số của
chức năng này với những người của hàm bậc hai tổng quát, chúng ta thấy rằng a = 1,
và b = c = 0. Do đó, đồ thị của hàm này chặn các trục y tại
các xứ như c = 0 và có một? hình như a> 0. Các giá trị của chức năng này được
trình bày trong Bảng 3.1 cho các giá trị nguyên của x mà -3 ≤ x ≤ 3, và
đồ thị của hàm được thể hiện trong hình. . 3.1
Bây giờ xét hàm f (x) = 2x2 + 3x - 2. Một lần nữa so sánh với
hàm bậc hai tổng quát (3.1) cho thấy rằng a = 2, b = 3, c = -2. Các
đồ thị là một lần nữa trong một? hình kể từ khi a> 0 và nó chặn các trục y với y = -2.
Các giá trị của chức năng này cho các giá trị nguyên của x giữa -4 và hiển thị 2
Bảng 3.1 Bảng các giá trị của hàm f (x) = x2 cho giá trị nguyên
x mà -3 ≤ x ≤ 3. đồ thị của hàm này được thể hiện trong hình. 3.1.
X -3 -2 -10.123
f (x) 9 4 10149
3. Bậc hai phương trình 51
x -3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
y 9
Hình 3.1 Đồ thị của hàm f (x) = x2 cho -3 ≤ x ≤ 3.
trong Bảng 3.2, và đồ thị của hàm được thể hiện trong hình. 3.2. Các đồ thị của
hàm số này đi qua trục x tại hai nơi, tại x = -2 và x = 1/2. Những
giá trị của x thỏa mãn phương trình bậc hai 2x2 + 3x - 2 = 0 vì y = f (x) = 0
tại hai điểm này. Các giá trị của x thoả mãn các phương trình f (x) = 0 được
gọi là rễ hoặc các giải pháp của phương trình. Hai thuật ngữ này được sử dụng
thay thế cho nhau. Do đó, chúng ta nói rằng x = -2 và x = 1/2 là những gốc rễ hoặc
các giải pháp của phương trình bậc hai 2x2 + 3x - 2 = 0.
Các chức năng tiếp theo, chúng tôi xem xét là f (x) = 2x - x2. Chức năng này có một
Bảng 3.2 Bảng các giá trị của hàm f (x) = 2x2 + 3x - 2 cho số nguyên
giá trị của x mà -4 ≤ x ≤ 2. Đồ thị của hàm này được thể hiện trong hình.
3.2.
X - 4 -3 -2 -1012
2x2 32 18 8 2 0 2 8
3x -12 -9 -6 -3036
-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
f (x) 18 7 0 -3 - 2 3 12
52 các yếu tố của Toán học Kinh tế và Tài chính
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
5
10
15
y
Hình 3.2 đồ thị của hàm f (x) = 2x2 + 3x-2 -4 ≤ x ≤ 2.
hệ số tiêu cực của x2. Trong thời hạn