235( -iy - i2( -6T- 2 6" = ( - lY(6

235

( -iy - i2( -6T- 2 6" = ( - lY(6' )n - 3 26'6"
= ( - l Y (b')''- 326
and since n - 3 is even this is a square if and only if ( - 1)'26 is a square. This proves (3).
It remains to prove the dimensionality formula in the degenerate case. For this purpose, we shall imbed V in a finite dimensional space W with a quadratic form that has a non-degenerate associated bilinear form and is an extension of Q. To do this we write V = Vj_ EB U for some subspace U. Then the restriction of B to U is non-degenerate. Now put W = Vj_ EB U EB ( V j_)*
where (V j_ )* is the space of linear functions on Vj_. Let x = z +y +f where
z E Vy E U, and f E ( V J_ )* and define

(55) Q(x) = Q( z )+Q( y )+f (z ).

It is readily seen that Q is a quadratic form on W whose associated symmetric bilinear form B is non-degenerate. Let x ---. x be the canonical map of W into C(W , Q). It follows from the universal property of C(V , Q ) that we have a
homomorphism of C(V , Q ) into C(W , Q) such that x ---. x for x E V. Let
(ui, . . . , un , Un+ i' . . . , uq ) be a base for W such that (u i, . . . , un) is a base for V. Since B is non-degenerate, the elements uj, •••uj, ' ji < ••• < j 8, 1 ::(: s ::(: q, are distinct and linearly independent. Then this holds also for the elements ui, •••ui,., ii < ••• < i,, 1 ::(: r ::(: n. Since the homomorphism of C(V , Q ) into
C(W Q-) maps u. •••u. into U• •••U• the elements ii- •••u. ii < ••• < i,,
1 r ::(: n, are linearly independent. Hence dim C( V,Q ) = 2n. D

Since the map i :x ---. x of V into C( V, Q) is injective, we can identify V with the corresponding subspace of C(V, Q). Hence from now on we assume V c C(V , Q ). If U is a subspace of V, then the subalgebra of C(V , Q ) generated by U can be identified with C(U , Q' ) where Q' is the restriction of Q to U . This is clear from the last part of the proof of Theorem 4.13. For, if (ui, . . . , um ) is a base for U over F, then the argument shows that the elements 1, ui , •••u;r,
ii< i 2 < ••• < i,, 1 ::(: r ::(: m, are linearly independent and this implies that the canonical homomorphism of C(U, Q' ) into C(V , Q) is a monomorphism.
It is clear from the definitions that if Q = 0, then C(V , Q) is the exterior algebra E(V ) defined by V (p. 141). The results (1) and (2) of Theorem 4.13 give another proof of properties of E(V ) that were derived in BAI, pp. 411-414.
We remark finally that the proof of statement (3) in Theorem 4.13 yields a stronger result than we stated in this theorem. We state this as the following

COROLLARY. Let Q be a quadratic form on an n-dimensional vector space V over a field F of characteristic not two such that the associated bilinear form is

236 4. Basic Structure Theory of Rings


non-degenerate. T hen C ( V, Q) is a tensor prod uct of quaternion algebras if n is even and is a tensor prod uct of quaternion algebras and its center if n is odd. M oreover, the center C is two-dimensional of the form F( c) where
c2 = ( -1)"2-"61, 6 a discriminant, and C is a field or a direct sum of two copies of F according as ( - 1)" (26) is not or is a square in F.

Proof The first statement follows by ind uction on the dimensionality and the factorization lemma (Lemma 5). To determine the center in the odd dimensional case, we choose an orthogonal base ( ui, u2, . . . , u,,) where n = 2v + l. Then u;ui = - uiui for i =f j, which implies that the element c = u1 u2 • ••u,, commutes with eve;-y u;. Hence c is in the center and since c ¢ F l and the center is two-dimensional, the center is F[ c]. We have


(56)

= ( -1)" TI Q(uJ l = ( - l )'T"bl
1

where 6 is the discriminant determined by the base (u 1, u2, .. . , u,,). Then F [ cJ is a field or a direct sum of two copies of F according as ( -1)'2 -"6 is not or is a square. Since n = 2v +1, this holds if and only if ( -1)"26 is not or is a
square. D


In the remainder of t his section, we shall give a brief indication of some applications of Clifford algebras to the study of orthogonal groups. For this
purpose, we need to introduce the even (or second ) Clifford algebra c+ ( V, Q)
defined to be the subalgebra of C ( V , Q) generated by all of t he prod ucts uv, u, v E V (that is, by V 2 ). We recall that a vector u is called non-isotropic if Q(u) =f 0. If u1 is non-isotropic, then


Hence


which shows that c+ = c+ (V ,Q ) is generated by the elements U1U, U E v. Now we can write V = Fu 1 + ( Fu 1 )J_ and u = au 1 +v where a E F and v 1u1. Then U 1U = aQ( u1 )l +U 1V • It follows that c+ is generated by t he n -1 dimensional subspace Vi = u 1 (Fu 1 )J_. We have
(57)
and the rf"striction of -Q( u1 )Q to (Fui)J_ is a quadratic form Q1 with non­ degenerate bilinear form B 1. Hence we have a surjective homomorphism of

4.8 Clifford Algebras 237


C((Fui )_j_, Qi) onto c+ . On the other hand, if (ui, . . . , u" ) is a base for V, then 1, u;, • • • u;,., ii < •• • < i, is a base for C ( V , Q). Then the elements 1 and u; , • • • u;,. with even r are contained in C + and there are 2" - i of these. Thus dim c+ ): 2"-i, while dim C((Fui )_j_, Qi) = 2"-i. It follows that c+
C( ( Fui )_]_, Q1). This proves the first statement in

THEOREM 4.14. Let B be non-degenerate and char F =f. 2. T hen the even Clifford algebras c+ (V, Q) C((Fui )_j_, Qi ) where Ui is any non-isotropic vector and Qi is the restriction of -Q( ui )Q to F(ui )_j_. c+ (V, Q) is central simple if the dimensionalit y n of V is odd and is a tensor product of a central simple algebra and a two-dimensional algebra D, which is either a field or a direct sum of two copies of F if n = 2v. T he two alternatives for D correspond respectivel y to the
following : ( -1Y

Kết quả (Việt) 1:

235

(-iy - i2 (-6T-2 6 "= (- ly (6 ') n - 3 26'6"
= (- ly (b')'' - 326
và từ n - 3 là ngay cả điều này là một hình vuông khi và chỉ khi (- 1)... '26 là một hình vuông này chứng minh (3)
nó vẫn còn để chứng minh công thức chiều trong trường hợp suy biến cho mục đích này,chúng ta sẽ gắn vào v trong một không gian hữu hạn chiều w với một hình thức bậc hai có một không suy biến dạng song tuyến tính liên kết là một phần mở rộng của q. để làm điều này chúng ta viết v = vj_ eb u cho một số không gian con u. sau đó những hạn chế của b để u là không suy biến. bây giờ đặt w = vj_ eb u eb (v j_) *
nơi (v j_) * là không gian của các hàm tuyến tính trên vj_. cho x = z y f nơi
z e v y e u,và fe (v j_) * và xác định

(55) q (x) = q (z) q (y) f (z).

nó là dễ dàng nhìn thấy q đó là một hình thức bậc hai trên w có liên quan đến đối xứng Bilinear hình thức b là không suy biến. cho x ---. x là bản đồ kinh điển của w vào c (w, q). nó sau từ tài sản phổ quát của c (v, q) mà chúng tôi có một đồng cấu
c (v, q) vào c (w, q) sao cho x ---. x cho x e v cho
(ui, ..., un,un i '. . . , UQ) là một cơ sở cho w như vậy mà (ui, ..., un) là một cơ sở cho v từ b là không suy biến, các yếu tố uj, • • • uj, 'ji <• • • c (w q-) bản đồ u • • • u..vào u • • • • u • các yếu tố ii-• • • u. ii <• • • 1 r :: (: n, là độc lập tuyến tính do đó mờ c (v, q) = 2n d

vì bản đồ tôi:... x --- x v thành c (v, q) là đơn ánh, chúng ta có thể xác định v với không gian con tương ứng của c (v, q). do đó từ bây giờ chúng ta giả định VCC (v, q). nếu u là một không gian con của v, sau đó các subalgebra của c (v, q) được tạo ra bởi u có thể được xác định với c (u,q ') trong đó q' là hạn chế của q để u. này là rõ ràng từ phần cuối cùng của các bằng chứng của định lý 4.13. cho, nếu (ui, ..., um) là một cơ sở cho u hơn f, sau đó lập luận cho thấy các yếu tố 1, ui, • • • u; r,
ii rõ ràng từ các định nghĩa rằng nếu q = 0, sau đó c (v, q) là bên ngoài đại số e (v) xác định bởi v (trang 141). kết quả (1) và (2) của định lý 4.13 cho một bằng chứng về tính chất của e (v) được bắt nguồn trong bai, trang 411-414.
chúng tôi nhận xét cuối cùng là bằng chứng của tuyên bố (3) trong định lý 4.13 sản lượng một kết quả mạnh hơn chúng tôi đã nêu trong định lý này. chúng tôi tuyên bố này như sau

hệ quả tất yếu. cho q là một hình thức bậc hai trên một không gian vector v n chiều trong một lĩnh vực đặc trưng của f không hai như vậy mà các dạng song tuyến tính liên quan là 236

4. lý thuyết cấu trúc cơ bản của chiếc nhẫn


không suy biến. hen t c (v, q) là một UCT tensor sản của đại số quaternion nếu n là chẵn và là một UCT tensor sản của đại số quaternion và trung tâm của nó nếu n là số lẻ. m oreover,trung tâm c là hai chiều có dạng f (c), nơi
c2 = (-1) "2 -" 61, 6 một phân biệt, và c là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của f theo như (- 1) "(26) không phải là hoặc là một hình vuông trong f.

chứng minh tuyên bố đầu tiên sau bởi uction ind vào chiều và thừa số bổ đề (lemma 5). để xác định trung tâm trong trường hợp chiều lẻ, chúng tôi chọn một cơ sở trực giao (ui,u2,. . . , U,,) trong đó n = 2v l. sau đó u; ui = - uiui cho i = fj, có nghĩa là các phần tử c = u1 u2 • • • u,, tiện di chuyển với đêm trước;-yu;. do đó c là ở trung tâm và kể từ khi c ¢ fl và trung tâm là hai chiều, trung tâm là f [c]. chúng tôi có


(56)

= (-1) "ti q (uj l = (- l) 't" b
1

nơi 6 là phân biệt được xác định bởi các cơ sở (u 1, u2,. .., u,,).sau đó f [cj là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của f theo như (-1) '2 -. "6 không phải là hoặc là một hình vuông từ n = 2v 1, điều này cũng có nếu và chỉ nếu (-1) "26 không phải là hoặc là một hình vuông
. d


trong phần còn lại của t phần mình, chúng tôi sẽ cung cấp cho một dấu hiệu về một số ứng dụng của đại số Clifford cho việc nghiên cứu của các nhóm trực giao. cho
mục đích này,chúng ta cần phải giới thiệu ngay cả (hoặc thứ hai) đại số Clifford c (v, q)
định nghĩa là subalgebra của c (v, q) được tạo ra bởi tất cả các t ông prod phẩm uv, u, vev (có nghĩa là, bởi v 2). chúng ta nhớ lại rằng một vector u được gọi là không đẳng hướng nếu q (u) = f 0. nếu u1 là không đẳng hướng, sau đó





vì thế mà cho thấy rằng c = c (v, q) được tạo ra bởi các yếu tố u1u, v uebây giờ chúng tôi có thể viết v = fu 1 (fu 1) j_ và u = au 1 v nơi AEF và v 1u1. sau đó u 1u = aq (u1) lu 1V • nó sau đó c được tạo ra bởi t ông n -1 chiều không gian con vi = u 1 (fu 1) j_. chúng tôi có
(57)
và rf "striction của-q (u1) q để (Fui) j_ là một hình thức bậc hai với q1 không dạng song tuyến tính thoái hóa b 1. do đó chúng tôi có một đồng cấu toàn ánh của

4,8 Clifford đại số 237


c ((Fui) _j_, khí) vào c. Mặt khác, nếu (ui, ..., u ") là một cơ sở cho v, sau đó 1, u;, • • • u;,, ii <• • • c ((Fui) _] _, Q1). điều này chứng tỏ các tuyên bố đầu tiên trong

Định lý 4.14. cho b là không suy biến và char f = f. 2. t gà thậm chí Clifford đại số c (v, q) c ((Fui) _j_, khí) trong đó ui là bất kỳ vector không đẳng hướng và khí là hạn chế-q (ui) q f ​​(ui) _j_. c (v, q) là đơn giản trung tâm nếu yn dimensionalit của v là kỳ lạ và là một sản phẩm tensor của một đại số đơn giản trung ương và đại số d hai chiều,đó có thể là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của f nếu n = 2v. t ông hai lựa chọn thay thế cho d tương ứng respectivel y cho
sau đây: (-1n <5 không phải là hoặc là một hình vuông trong f, trong đó <5 là một biệt của bi •

bằng chứng khẳng định thứ hai là một hệ quả trực tiếp của t ông đầu tiên và định lý 4.13. bây giờ giả sử n là thậm chí và để cho u2 = c ui • • • u, nơi
(ui, uz, ...,un) là một cơ sở trực giao cho v sau đó CEC và u c =-cu; và
u; uic = cu; ui 'do đó c nằm ở trung tâm của c và c rt f l. do đó trung tâm của c
là f [c]. như trong (56), chúng tôi có




nơi f3 = 2 v và f [cj là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của f theo như (-1) "/ 3 2 <5 và do đó (- 1) "<5 không phải là hoặc là một hình vuông. d

trong cả hai trường hợp và chiều thậm chí kỳ lạ, không gian con fe, nơi
c = ui u2 • • • u, và (ui, u2, ..., u,,) là một cơ sở trực giao, không phụ thuộc vào sự lựa chọn của cơ sở này. cho e [cj có thể là trung tâm của c (v, q) hoặc trung tâm
c (v, q). hơn nữa, c rt fl và c2 e f l. rõ ràng là những điều kiện đặc trưng cho tập hợp các yếu tố khác không của fe.
bây giờ hãy f là một chuyển đổi trực giao trong câu sau đó f (x) 2 = q (f (x)) l = q (x) l.do đó tài sản bản đồ phổ quát của c (v, q) có nghĩa là e có phần mở rộng duy nhất cho một automorphism g c (v, q). bây giờ g ổn định c (v, q) và ổn định trung tâm của c (v, q) và c (v, q). kể từ khi một trong những trung tâm là f [c], g ổn định f [c]. nó sau từ các đặc tính của chúng tôi đã cho tập hợp các yếu tố khác không của fe rằng g (c) = o: c, o: = f. 0 trong f.từ g (c) 2 = g (c2), chúng tôi có o: = ± 1 nên g (c) = ± c. bây giờ chúng tôi có thể viết g (u ;) = f (u ;) = lo: iiui, o: ef ii, nơi ma trận (o:;.. j là trực giao sau đó



238 4 lý thuyết cấu trúc cơ bản của chiếc nhẫn


vì u; u1 =-u1u, nếu tôi # j, và u 2 = q (u ;) l, rõ ràng từ định nghĩa của yếu tố quyết định rằng số tiền có thể được viết như d et (AII) ui u2. • • • un một sự kết hợp tuyến tính của các yếu tố u;, Ui 2 • • • ui,., Ii 416). từ những yếu tố này cùng với uiu2 • • • un tạo thành một cơ sở và từ g (c) = ± c, chúng ta có g (c) = det (AII) c. do đó g (c) = c nếu f là một vòng quay và g (c) =-c khác.
bây giờ chúng tôi quan sát thấy bất kỳ automorphism g một chiều đại số đơn giản bán hữu hạn một mà sửa chữa các yếu tố của trung tâm c của một là bên trong . cho,nếu một ai = eb một eb • .. eb 2 là nơi một; là những thành phần đơn giản của một, sau đó 1 = li 12 .. • ls nơi 1; là đơn vị một; và a = al 1eb a12 eb • .. eba1. và c = cl i eb c12 eb • "eb C15 do đó g (l ;) = 1;. để g ổn định mỗi một và g sửa chữa các yếu tố của trung tâm cl;. một;. theo định lý Skolem-Noether, có tồn tại một yếu tố u; nghịch trong một;như vậy mà những hạn chế của g một; là automorphism bên trong xác định bởi u;. sau đó g là automorphism bên trong xác định bởi u = i: u;
chúng ta có thể áp dụng điều này với tình hình nói trên.. sau đó chúng ta thấy rằng nếu được chuyển đổi trực giao e là một vòng quay, có tồn tại một UEC yếu tố nghịch (v, q) như vậy mà

(58) xe v


những nhận xét này dẫn đến uction introd của các nhóm sau.


định nghĩa 4.6. t ông Clifford nhóm r (v, q) là roup subg của các yếu tố nghịch UEC (v, q) sao cho uxu - 1 ev cho tất cả các xe v rõ ràng đây là một roup subg của nhóm nhân của các yếu tố nghịch của c ( v, q). t ông thậm chí nhóm Clifford là r (v, q) = r (v, q) nc (v, q).


nếu xev và uer = r (v, q),sau đó uxu-1 e v và (uxu-i) 2 = ux2 u-i = q (x) l. do đó việc chuyển đổi tuyến tính x .. - .. uxu - tôi của v là trong nhóm o trực giao (v, q). bản đồ x, trong đó x (u) là x - .. uxu - 1, xev, là một đồng cấu ra (v, q). vào o (v, q) được gọi là đại diện vector của nhóm Clifford.
cho vev là không đẳng hướng. sau đó v là khả nghịch trong c (v, q) và cho xev chúng tôi có

2vxv = v (vx xv) (xv vx) v - v2 x xv 2 = 2b (v, x) v - 2q (

Kết quả (Việt) 2:

235

(- iy - i2 (- 6T - 2 6 "= (- lY(6') n - 3 26'6"
= (-l Y (b') '' - 326
và từ n - 3 là ngay cả điều này là một vuông khi và chỉ khi (- 1)'26 là một hình vuông. Điều này chứng minh (3).
nó vẫn còn để chứng minh công thức chiều trong trường hợp suy biến. Cho mục đích này, chúng tôi sẽ imbed V trong một không gian chiều hữu hạn W với một hình thức bậc hai mà có một dạng không thoái hóa liên quan đến bilinear và là một phần mở rộng của Q. Để làm điều này chúng tôi viết V = Vj_ EB U cho một số con U. Sau đó hạn chế B để U là không thoái hóa. Bây giờ đặt W = Vj_ EB U EB (V j_) *
nơi (V j_) * là không gian của các chức năng tuyến tính trên Vj_. Cho x = z y f nơi
z E Vy E U, và f E (V J_) * và define

(55) Q(x) = Q (z) Q (y) f (z).

nó dễ dàng nhìn thấy rằng Q là một hình thức bậc hai ngày W có liên quan đến đối xứng bilinear mẫu B là không thoái hóa. Cho x---. x là bản đồ kinh điển của W vào C (W, Q). Nó sau từ tài sản phổ quát của C (V, Q) mà chúng tôi có một
phép đồng cấu c (V, Q) vào C (W, Q) như vậy rằng x---. x cho x E V. Hãy để
(giao diện người dùng,..., Liên Hiệp Quốc, Liên Hiệp Quốc tôi '..., uq) là một cơ sở cho W đó (u tôi,..., Liên Hiệp Quốc) là một cơ sở cho V. Kể từ khi B là không thoái hóa, yếu tố uj, •••uj, ' ji < • < j 8, 1:: (: s:: (: q, là khác biệt và độc lập tuyến tính. Sau đó điều này cũng đúng với yếu tố giao diện người dùng, •••ui,., ii < • < tôi,, 1:: (: r:: (: n. từ phép đồng cấu C (V, Q) vào
C (W Q-) bản đồ Hoa Kỳ •••u. vào U• •••U• yếu tố ii - •••u. ii < • < tôi,,
1 r:: (: n, là độc lập tuyến tính. Do đó mờ C (V, Q) = 2n. D

kể từ bản đồ tôi: x---. x của V vào C (V, Q) là phải, chúng tôi có thể xác định V với con C (V, Q), tương ứng. Vì vậy từ nay trên chúng ta giả sử V c C (V, Q). Nếu U là một con V, sau đó subalgebra C (V, Q) được tạo ra bởi bạn có thể xác định với C (U, Q') nơi Q' là hạn chế của Q để U. Đây là rõ ràng từ phần cuối của giấy tờ chứng minh định lý 4,13. Vì, nếu (giao diện người dùng,..., um) là một cơ sở cho U trên F, sau đó các đối số cho thấy rằng các yếu tố 1, giao diện người dùng, •••u; r,
ii < tôi 2 < • < tôi,, 1:: (: r:: (: m, là độc lập tuyến tính và điều này ngụ ý rằng phép đồng cấu kinh điển của C (U, Q') vào C (V, Q) là một monomorphism.
Nó là rõ ràng từ các định nghĩa nếu Q = 0, sau đó C (V, Q) là bên ngoài đại số E (V) được định nghĩa bởi V (p. 141). Kết quả (1) và (2) của định lý 4,13 cho các bằng chứng khác của tài sản của E (V) được bắt nguồn trong bài, trang 411-414.
chúng tôi nhận xét cuối cùng chứng minh tuyên bố (3) trong định lý 4,13 sản lượng một kết quả mạnh mẽ hơn so với chúng tôi nêu trong định lý này. Chúng tôi nhà nước này như sau các

HỆ LUỴ. Giả sử Q là một hình thức bậc hai trên một không gian vectơ n chiều V trên trường F của đặc tính không hai như vậy mà các hình thức bilinear liên kết là

236 4. Lý thuyết cấu trúc cơ bản của vành đai


không thoái hóa. T hen C (V, Q) là một đại học giao thông prod tensor của quaternion algebras nếu n là số chẵn và là một đại học giao thông prod tensor của quaternion algebras và Trung tâm của nó nếu n là lẻ. M oreover, Trung tâm C là hai chiều của hình thức F (c) nơi
c2 = (-1) "2-" 61, 6 biệt thức một, và C là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của F theo như (- 1) "(26) là không hay là một hình vuông ở F.

chứng minh câu đầu tiên sau bởi ind uction trên chiều và bổ đề factorization (bổ đề 5). Để xác định Trung tâm trong trường hợp chiều lẻ, chúng tôi chọn một cơ sở trực giao (giao diện người dùng, U2,..., u,,) trong trường hợp n = 2v l. Sau đó u; giao diện người dùng = - uiui cho tôi = f j, mà ngụ ý rằng yếu tố c = u1 u2 • ••u,, commutes với eve;-y u;. Do đó, c là ở giữa và vì c ¢ F l và giữa hai chiều, giữa là F [c]. Chúng tôi có


(56)

= (-1) "TI Q(uJ l = (-l)'T" bl
1

nơi 6 là biệt thức được xác định bởi các cơ sở (u 1, u2,..., u,,). Sau đó F [cJ là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của F theo như (-1)'2-"6 không phải hoặc là một hình vuông. Kể từ khi n = 2v 1, điều này giữ nếu và chỉ nếu (-1) "26 là không hay là một
square. D


trong phần còn lại của t phần của mình, chúng tôi sẽ cung cấp cho một chỉ dẫn ngắn của một số ứng dụng của Clifford algebras để nghiên cứu các nhóm trực giao. Đối với điều này
mục đích, chúng ta cần phải giới thiệu thậm chí (hoặc thứ hai) Clifford đại số c (V, Q)
định nghĩa là subalgebra của C (V, Q) được tạo ra bởi tất cả các t ông prod ucts tia cực tím, u, v E V (có nghĩa là, bởi V 2). Chúng tôi nhớ lại rằng một u vector được gọi là phòng không đẳng hướng nếu Q(u) = f 0. Nếu u1 là phòng không đẳng hướng, sau đó


Hence


đó cho thấy rằng c = c (V, Q) được tạo ra bởi các yếu tố U1U, U E v. Bây giờ chúng tôi có thể viết V = Fu 1 (Fu 1) J_ và bạn = au 1 v nơi 1u1 E F và v. Sau đó U 1U = aQ (u1) l U 1V • nó sau đó c được tạo ra bởi t ông n -1 chiều động Vi = u 1 (Fu 1) J_. Chúng tôi have
(57)
và rf "striction - q (u1) Q để (Fui) J_ là một hình thức bậc hai Q1 với hình thức bilinear non­ thoái hóa B 1. Do đó chúng tôi có một phép đồng cấu surjective của

4.8 Clifford Algebras 237


C ((Fui) _j_, Qi) lên c. Mặt khác, nếu (giao diện người dùng,..., u ") là một cơ sở cho V, sau đó 1, u; • • • u;., ii < •• • < tôi, là một cơ sở cho C (V, Q). Sau đó các yếu tố 1 và bạn; , • • • u;,. với r thậm chí được chứa trong C và có 2 "- tôi này. Do đó mờ c): 2 "-i, trong khi mờ C ((Fui) _j_, Qi) = 2"-i. Nó sau đó c
C ((Fui) _] _, Q1). Điều này chứng minh câu đầu tiên ở

ĐỊNH LÝ 4,14. Cho phép B được phòng không thoái hóa và char F = f. 2. T hen thậm chí Clifford algebras c (V, Q) C ((Fui) _j_, Qi) nơi giao diện người dùng là bất kỳ phòng không đẳng hướng vector và Tề là giới hạn của -Q (ui) Q _j_ F (giao diện người dùng). c (V, Q) là trung tâm đơn giản nếu n y dimensionalit của V là lẻ và là một sản phẩm tensor của đại số đơn giản Trung tâm và một đại số hai chiều D, đó là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của F nếu n = 2v. T ông hai lựa chọn thay thế cho D tương ứng respectivel y để các
sau: (-1Y < 5 là không hay là một hình vuông FA, nơi < 5 là một biệt thức của Bi•

bằng chứng khẳng định thứ hai là một hệ quả ngay lập tức của t ông đầu tiên và định lý 4,13. Bây giờ giả sử n là số chẵn và để cho c = ui u2 •• • u,, nơi
(giao diện người dùng, Uz,..., liên hợp quốc) là một cơ sở trực giao cho v. Sau đó c E c và U;C = -CU; và
u; uic = cu; giao diện người dùng ' Hence c là trong l. rt F do đó Trung tâm của C và c Trung tâm C
là F [c]. Như trong (56) hiện có




nơi f3 = 2-v và F [cJ là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của F theo như (-1) "/ 3 2 < 5 và do đó (- 1)" < 5 là không hay là một hình vuông. D

trong cả thậm chí và trường hợp lẻ chiều, con Fe, nơi
c = Ui u2 • • • u,, và (u i, u2,..., u,,) là một cơ sở trực giao, là độc lập với sự lựa chọn của cơ sở này. Cho F [cJ là trung tâm C (V, Q) hoặc trung tâm của
C (V, Q). Hơn nữa, c rt Fl và c2 E F l. Nó là rõ ràng rằng các điều kiện đặc trưng tập các phần tử không của Fe.
bây giờ cho f là một biến đổi trực giao vào V. Sau đó f (x) 2 = Q (f (x)) l = Q (x) l. Do đó tài sản bản đồ phổ quát của C (V, Q) ngụ ý rằng f có một mở rộng duy nhất để một g automorphism của C (V, Q). Bây giờ g ổn định C (V, Q) và nó ổn định Trung tâm của C (V, Q) và c (V, Q). Kể từ khi một trong các trung tâm là F [c], g ổn định F [c]. Nó sau từ đặc tính mà chúng tôi đã đưa ra của tập các phần tử không của Fe mà g (c) = o:c, o: = f. 0 trong F. Từ g (c) 2 = g (c2), chúng tôi có o: = ± 1 rất g (c) = ± c. Bây giờ chúng tôi có thể viết g (u;) = f (u;) = L.o:iiui, o:ii E F, nơi ma trận (o:;J là trực giao. Sau đó



238 4. Lý thuyết cấu trúc cơ bản của vành đai


từ u; u1 = - u1u; Nếu tôi # j, và bạn; 2 = Q (u;) l, nó là rõ ràng từ định nghĩa của yếu tố quyết định số tiền có thể được viết as. d et (Tất cả) giao diện người dùng u2 • • • Liên Hiệp Quốc một tổ hợp tuyến tính của phần tử u;, giao diện người dùng 2 • • • ui,., ii < tôi 2 < • < tôi, với r < n (x. BAI, p.
416). Kể từ khi những yếu tố này cùng với uiu2 • • •un tạo thành một cơ sở và kể từ khi g(c) = ± c, chúng tôi có g(c) = det (Tất cả) c. Hence g (c) = c nếu f là một vòng quay, g(c) = - c nếu không.
chúng tôi bây giờ quan sát bất kỳ g automorphism của một hữu hạn chiều semi­ đơn giản đại số A mà sửa chữa các yếu tố của Trung tâm C A là bên trong. Cho, Nếu A = Ai EB A 2 EB•...EB như là nơi A; là những thành phần đơn giản của A, sau đó 1 = l tôi 12... • ls nơi 1; là đơn vị A; và một = A l 1EB A12 EB•...EBA1. và C = Cl i EB C12 EB• "EB C15. Do đó g(l;) = 1; rất g ổn định mỗi A; và g sửa chữa các yếu tố của Trung tâm. CL; a;. Theo định lý Skolem-Noether, có tồn tại một yếu tố u; khả nghịch trong A; sao cho những hạn chế của g a; là bên trong automorphism xác định bởi u;. Sau đó g là automorphism bên trong xác định bởi u = I: u;.
Chúng tôi có thể áp dụng điều này để nói trên tình hình. Sau đó chúng tôi thấy rằng nếu chuyển đổi trực giao cho f là một vòng quay, có tồn tại một yếu tố khả nghịch u E C (V, Q) như vậy that

(58) X E V.


Những nhận xét này dẫn đến uction introd của nhóm sau.


định nghĩa 4.6. T ông Clifford nhóm r (V, Q) là roup subg của yếu tố khả nghịch u E C (V, Q) như vậy mà uxu - 1 E V cho tất cả x E V. rõ ràng đây là một subg roup của nhóm nhân các yếu tố khả nghịch của C (V, Q). T ông thậm chí Clifford nhóm là r (V, Q) = r (V, Q) n c (V, Q).


Nếu X E V và bạn E r = r (V, Q), sau đó uxu-1 E V và (uxu-i) 2 = ux2 u-i = l. Q (x) do đó biến đổi tuyến tính x...--.. uxu - i của V là trong nhóm trực giao O (V, Q). Bản đồ x, nơi x(u) là x-... uxu - 1, x E V, là một phép đồng cấu ra (V, Q). vào O (V, Q) được gọi là đại diện véc tơ của nhóm Clifford.
cho v E V được phòng không đẳng hướng. Sau đó v là khả nghịch trong C (V, Q) và x E V hiện có

2vxv = v (vx xv) (xv vx) v - v2 x xv 2 = 2B (v, x) v - 2Q ()