POINTS ON y = x2AT RATIONAL DISTANC

POINTS ON y = x
2
AT RATIONAL DISTANCE 9
Let An
be A with mij
replaced by −1/m
ij whenever nij
= 1 (and mij
unchanged
otherwise). Then since g(m) = g(−1/m), (Z/2Z)
6
acts on H0
by n · A = An
. To
be concise, below we use (nij
) to denote n.
We now combine the two individual group actions of S4 and (Z/2Z)
6
together
into one action. In the theorem below, let θ be the homomorphism θ : S4 −→
Aut((Z/2Z)
6
) defined by θ(σ)(nij ) = (n
σ(i)σ(j) ) and let
Γ = (Z/2Z)
6
> C S4, the semidirect product relative to θ.
(As in the case of mij , we set nij
to nji whenever i > j .)
Theorem 4.7. Γ acts on H0
by (n, σ) ? A = n · (σ ◦ A) and the equivalence
relation induced by this group action is ∼. Equivalently, two points, A and B, in
H0
correspond to the same set of four rational points on y = x
2
at rational distance
if and only if there is a γ ∈ Γ such that γ ? A = B.
Proof. Let (m, τ ) and (n, σ) be elements of Γ. We need to verify that
(m, τ ) ? ((n, σ) ? A) = (mθ(τ )(n), τ σ ) ? A. (4.2)
Since (Z/2Z)
6
and S4
act on H0
individually, verifying (4.2) is equivalent to showing
τ ◦ (n · B) = θ(τ )(n) · (τ ◦ B),
where B = σ ◦ A. But the homomorphism θ is constructed precisely so that this
works.
The action of (Z/2Z)
6
corresponds to choosing positive or negative values for δ
ij
in equations (2.1). (To see this, observe how the value of α in Lemma 2.1 changes
when m is replaced by −1/m.) This and theorem 4.5 verify that for any A, B ∈ H0,
if there exists a γ ∈ Γ such that A = γ ? B, then A ∼ B. The converse is clear
from (2.5). 
Let [A] denote the orbit of a point A ∈ H0
under this group action and HΓ =
H0
/Γ denote the set of orbits. The theorem above says that HΓ = H0
/ ∼ . Let
us also define [A] ∈ HΓ
to be a free orbit if the stabilizer subgroup ΓA is trivial or
equivalently, |[A]| = |Γ| = 4! · 2
6
.
Proposition 4.8. Let A = ((u
1
, u2), (u
3
, u4), (u
5
, u6)) ∈ H0. [A] is a free orbit if
and only if
(1) g(u
i ) 6 = g(u
j ) for all i 6 = j , or
(2) g(u
2k−1) = g(u
2k
) for exactly one value of k ∈ {1, 2, 3} and g(u
i ) 6 = g(u
j )
for all other i 6 = j .
Proof. Let Ui = (u
2i−1
, u2i
) so that we may write A = (U1, U2, U3
). The points in
the orbit of A resulting from the action of S4 ⊂ Γ consists of all points in H0
of the
form:
(ε
1U
σ(1)
, ε2U
σ(2)
, ε3U
σ(3) ), where σ ∈ S3
, ε
i ∈ {±1} and ε
1
ε
2
ε
3
= 1. (4.3)
No two of these are equal if only if u
i
6 = u
j for all i 6 = j or Ui is of the form (m, m)
for precisely one i. Since −1/x 6 = x for any rational value x, when we consider the
action of the entire group Γ, we get the conditions of the theorem

Kết quả (Việt) 1:

ĐIỂM trên y = x2TẠI HỢP LÝ KHOẢNG 9Để cho mộtlà A với mijthay thế bằng −1/mIJ bất cứ khi nào nij= 1 (và mijkhông thay đổiNếu không). Sau đó kể từ khi g(m) = g(−1/m) (Z/2)6hoạt động trên H0bởi n · A = một. Đểđược ngắn gọn, dưới đây chúng tôi sử dụng (nij) để biểu thị n.Chúng tôi bây giờ kết hợp hành động cá nhân nhóm hai của S4 và (Z/2)6cùng nhauvào một hành động. Định lý dưới đây, hãy để θ là phép đồng cấu θ: S4 −→AUT((Z/2Z)6) được xác định bởi θ(σ) (nij) = (nΣ(i)σ(j)) và để choΓ = (Z/2)6> C S4, các sản phẩm semidirect so với θ.(Như trường hợp của mij, chúng tôi thiết lập nijđể nji bất cứ khi nào tôi > j.)Định lý 4.7. Γ hoạt động trên H0bởi (n, σ)? A = n · (Σ ◦ A) và tương đươngcác mối quan hệ gây ra bởi các hành động này của nhóm là ∼. tương tự, hai điểm A và B, ởH0tương ứng với cùng một bộ bốn điểm hợp lý trên y = x2ở khoảng cách hợp lýNếu và chỉ nếu có một ∈ γ Γ như vậy đó γ? A = B.Bằng chứng. Cho (m, τ) và (n, σ) là các yếu tố của Γ. Chúng ta cần phải xác minh rằng(m, τ)? ((n, σ)? A) = (mθ (khoảng) (n), τ σ)? A. (4.2)Kể từ (Z/2)6và S4hành động trên H0cá nhân, xác minh (4.2) là tương đương với đang hiệnΤ ◦ (n · B) = θ (khoảng) (n) · (Τ ◦ B),nơi B = σ ◦ A. Nhưng phép đồng cấu θ xây dựng chính xác do đó đâyhoạt động.Các hành động của (Z/2)6tương ứng với lựa chọn giá trị tích cực hay tiêu cực đối với δIJtrong các phương trình (2,1). (Để xem này, quan sát như thế nào thay đổi giá trị của α trong bổ đề 2.1Khi m được thay thế bởi −1/m.) Điều này và định lý 4,5 xác minh rằng đối với mọi A, B ∈ H0,Nếu có tồn tại một γ ∈ Γ như vậy mà A = γ? B, sau đó một ∼ B. Các trò chuyện là rõ ràng(2,5). Biểu thị cho [A] quỹ đạo của một điểm một ∈ H0theo nhóm hoạt động này và HΓ =H0/Γ biểu thị các thiết lập của quỹ đạo. Định lý ở trên nói rằng HΓ = H0/ ∼ . Để chochúng tôi cũng xác định ∈ [A] HΓcó một quỹ đạo miễn phí nếu ổn định phân nhóm ΓA là nhỏ hoặctương tự, | [A] | = |Γ| = 4! · 26.Döï Luaät 4.8. Cho A = ((u1u2), (u3u4), (u5u6)) ∈ H0. [A] là một quỹ đạo miễn phí nếuvà chỉ khi(1) g (ui) 6 = g (uj) cho tất cả tôi 6 = j, hoặc(2) g (u2K−1) = g (u2k) đối với các giá trị chính xác một k ∈ {1, 2, 3} và g (ui) 6 = g (uh kcho tất cả các i 6 = j.Bằng chứng. Cho giao diện người dùng = (u2I−1, u2i) do đó chúng tôi có thể viết A = (U1, U2, U3). Các điểm trongquỹ đạo của một kết quả từ các hành động của S4 ⊂ Γ bao gồm tất cả các điểm trong H0của cáchình thức:(Ε1UΣ(1), Ε2UΣ(2), Ε3UΣ(3)), nơi σ ∈ S3, Εi ∈ {±1} và ε1Ε2Ε3= 1. (4.3)Không có hai trong số đó là bằng nhau nếu chỉ nếu bạntôi6 = uj cho tất cả tôi 6 = j hoặc giao diện người dùng là các hình thức (m, m)cho tôi một cách chính xác. Kể từ −1 / x 6 = x cho bất kỳ giá trị hợp lý x, khi chúng tôi xem xét cáchành động của toàn bộ nhóm Γ, chúng tôi nhận được các điều kiện của định lý

Kết quả (Việt) 2:

ĐIỂM VỀ y = x
2
AT HỢP LÝ XA 9
Hãy Một
được A với mij
thay thế bằng -1 / m
ij bất cứ khi nào NIJ
= 1 (và mij
không thay đổi
khác). Sau đó, kể từ khi g (m) = g (-1 / m), (Z / 2Z)
6
hành vi trên H0
bởi n · A = Một
. Để
ngắn gọn, dưới đây chúng tôi sử dụng (NIJ
) để biểu thị n.
Bây giờ chúng ta kết hợp hai hành động riêng rẽ của S4 và (Z / 2Z)
6
cùng nhau
vào một hành động. Trong định lý dưới đây, hãy θ là θ đồng cấu: S4 - →
Aut ((Z / 2Z)
6
) được xác định bởi θ (σ) (NIJ) = (n
σ (i) σ (j)) và để cho
Γ = ( Z / 2Z)
6
> C S4, sản phẩm semidirect so với q.
(Như trong trường hợp của mij, chúng tôi đặt NIJ
để nji bất cứ khi nào i> j.)
định lý 4.7. Γ hoạt động trên H0
bằng (n, σ)? A = n · (σ ◦ A) và sự tương đương
liên quan gây ra bởi hành động nhóm này là ~. Một cách tương đương, hai điểm A và B trong
H0
tương ứng với cùng một tập hợp bốn điểm trên lý y = x
2
với khoảng cách hợp lý
nếu và chỉ nếu có một γ ∈ Γ mà γ? A = B.
Proof. Hãy (m, τ) và (n, σ) là yếu tố của Γ. Chúng ta cần phải xác minh rằng
(m, τ)? ((n, σ)? A) = (mθ (τ) (n), τ σ)? A. (4.2)
Từ (Z / 2Z)
6
và S4
hành trên H0
cá nhân, xác minh (4.2) tương đương với hiện
◦ τ (n · B) = θ (τ) (n) · (τ ◦ B),
nơi B = σ ◦ A. Nhưng θ đồng cấu được xây dựng chính xác để điều này
làm việc.
các hành động của (Z / 2Z)
6
tương ứng với chọn các giá trị tích cực hay tiêu cực cho δ
ij
trong phương trình (2.1). (Để xem này, quan sát các giá trị của α trong Bổ đề 2.1 thay đổi
khi m được thay thế bằng -1 / m). Điều này và định lý 4.5 xác minh rằng với bất kỳ A, B ∈ H0,
nếu tồn tại một γ ∈ Γ như rằng A = γ? B thì A ~ B. chuyện rõ ràng
từ (2.5). ?
Hãy [A] biểu thị quỹ đạo của một điểm A ∈ H0
dưới hành động nhóm này và HΓ =
H0
/ Γ biểu thị các thiết lập của quỹ đạo. Định lý trên nói rằng HΓ = H0
/ ~. Hãy để
chúng tôi cũng xác định [A] ∈ HΓ
là một quỹ đạo miễn phí nếu các phân nhóm ổn định ΓA là tầm thường hoặc
tương đương, | [A] | = | Γ | = 4! · 2
6
.
Dự luật 4.8. Cho A = ((u
1
, u2), (u
3
, U4), (u
5
, U6)) ∈ H0. [A] là một quỹ đạo miễn phí nếu
và chỉ nếu
(1) g (u
i) 6 = g (u
j) cho tất cả i 6 = j, hoặc
(2) g (u
2k-1) = g (u
2k
) cho chính xác một giá trị của k ∈ {1, 2, 3} và g (u
i) 6 = g (u
j)
cho tất cả i 6 = j. khác
Proof. Hãy Ui = (u
2i-1
, u2i
) để chúng tôi có thể viết A = (U1, U2, U3
). Các điểm trong
quỹ đạo của A kết quả từ hành động của S4 ⊂ Γ bao gồm tất cả các điểm trong H0
của
hình thức:
(ε
1U
σ (1)
, ε2U
σ (2)
, ε3U
σ (3)), nơi σ ∈ S3
, ε
i ∈ {± 1} và ε
1
ε
2
ε
3
= 1. (4.3)
Không có hai trong số này là bằng nhau nếu chỉ khi u
i
6 = u
j cho tất cả i 6 = j hay Ui có dạng (m , m)
cho chính xác một trong tôi. Kể từ -1 / x 6 = x cho bất kỳ giá trị hợp lý x, khi chúng ta xem xét các
hành động của toàn bộ nhóm Γ, chúng tôi nhận các điều kiện của định lý

Kết quả (Việt) 3:

Trong y học.2.Ở khoảng cách 9 là hợp lý.Để mộtLà một người không?Qua − 1 / m thay thế.Bất cứ khi nào NIJ ij= = = = 1 (và tôiKhông thay đổi.Nếu không).Sau đó từ g g (− (m) = 1 / m), (z / z)6.Đúng H0By n = A -.ÊNgắn gọn, dưới chân chúng ta sử dụng (NIJ), nghĩa là.Bây giờ chúng ta đã hành động và S4 hai nhóm (z / z)6.Ở cùng nhau.Thành một hành động.Dưới Lý, θ là θ: S4 − →Aut ((z / z)6.) xác định θ (σ) (NIJ) = (Nσ (Tôi) σ (J)), đểΓ = (z / z)6.> c S4, so sánh với nửa thẳng tích θ.Trong trường hợp của tôi (Viện nghiên cứu tư pháp, đất nước chúng ta.- bất cứ khi nào tôi mới > J.)Lý 4.7.Với H0.Qua (n, P).Một - N · (σ ◦ a) và tương đươngThông qua mối quan hệ này tác dụng nhóm là ∼.Một, hai, A và B, ởH0Corresponds y = X trên bốn tập đình cùng một nhóm.2.Ở khoảng cách hợp lý.Nếu có một điều như vậy dần phản gamma γ?A = BChứng minh.Để (m, τ) và (n, P) là nguyên tố Γ.Chúng ta cần xác minh.(m, τ).((n, P).1) = (M θ (τ) (n), τ σ).A. (4.2)Vì (z / z)6.Và S4Đúng H0Cá biệt, xác thực (4.2) tương đương với hiển thịVà ◦ (N · B) = θ (τ) (n) · (và ◦ B),B = σ ◦ A. Nhưng θ cấu trúc chính là như vậy.Works.Hành động (z / z)6.Corresponds chọn Dương hay âm δIJTrong phương trình (2.1).(xem nó một chút, quan sát sự thay đổi trong bổ đề 2.1 người trong một sự thay đổi của giá trị là như thế nào.Khi tôi bị − 1 / mét) với định lý này thay thế dần phản 4,5 chứng minh bất cứ A, B H0,Nếu tồn tại một γ = γ dần phản. Như vậy?B, và ∼ B. thay vào đó là rõ ràng.Từ (2.5).- [] có nghĩa là một điểm quỹ đạo của H0 dần phảnNhóm này có hành động và H = dưới.H0/ Γ là thiết lập một quỹ đạo.Định lý nói trên, H = H0./ ∼.ĐểChúng ta đã định nghĩa [1] dần phản H.Là một quỹ đạo ổn định miễn phí nếu nhóm con tầm thường hoặc là được.Tương tự, | [1] | = | Γ | = 4.· 26..Mệnh đề 4.8.Để = ((AnhMột), (u, U2.BaU4), (u,5.H0 dần phản, U6)).[một] là một quỹ đạo của tự do, nếuChỉ khiG (u (1)Tôi 6 = g (U)Tất cả những gì tôi 6 = J, hay(2) g (u2K − G (U) = 1.2K) chính xác một giá trị K dần phản {1, 2, 3} và g (uTôi 6 = g (U)J)Đối với tất cả những người khác tôi 6 = J.Chứng minh.Giao diện người dùng2I −% 1, u2i) làm cho chúng ta có thể viết một = (U1, U2, U3)..Một từ S4 ⊂. Tác dụng bởi tất cả các điểm trong quỹ đạo của H0.Hình thức:(ε1Uσ (% 1)2U, ε(2) σ3U, εσ (3)), trong đó σ S3 dần phản, εTôi dần phản [1] và ε đâyMộtε2.εBa= = = = 1.(4.3)Nếu chỉ có duy nhất nếu anh là như vậy, cả hai đều bình đẳngTôi6 = UTất cả 6 = J I hoặc giao diện người dùng là form (m, m)Là một − tôi từ 1 / 6 = x x x giá trị của bất cứ hợp lý, khi chúng tôi suy nghĩ.Cả nhóm. Hành động, được lý điều kiện