Example 8.9: The required maintenan

Example 8.9: The required maintenance workload for the next four months is 400, 60, 300, and 500 man-hours, respectively. The demand can be met by either regular time at a cost of $13 per hour or overtime at a cost of $20 per hour. Regular time and overtime capacities are respectively 400 and 100 h per month. Early maintenance costs $3 per hour per month, while late maintenance costs $5 per hour per month. Using the modified transportation method, develop the capacity plan to satisfy the required workload.

Table 8.10 shows the modified transportation tableau for this example, with hourly costs at the corners of relevant cells. Using the least-cost assignment heuristic, the capacity plan solution is shown in the table, where the highlighted cells indicate active maintenance assignments. The demands of both months 1 and 3 are entirely met by regular time maintenance in the same month. The demand of month 2 is met by regular time maintenance in month 2 in addition to overtime maintenance in months 2 and 3. Finally, the demand of month 4 is met by both regular time and overtime maintenance in month 4. The total cost (TC) of the plan is obtained by multiplying the assigned hours by the corresponding costs:

TC = 13(400) + 13(400) + 20(100) + 16(100)
+ 13(300) + 13(400) + 20(100) = $25,100
The transportation tableau method is useful for simple cost functions. More complicated relations and cost structures, e.g., the cost of hiring and firing, require more sophisticated methods such as mathematical programming.

Maintenance Forecasting and Capacity Planning 179


Table 8.10. Data and solution of Example 8.9

Execution months Resources used Demand months Capacity
1 2 3 4


1 Regular time 13 18 23 28 400
400
Overtime 20 25 30 35 100



2 Regular time 16 13 18 23 400
400
Overtime 23 20 25 30 100
100


3 Regular time 19 16 13 18 400
100 300
Overtime 26 23 20 25 100



4 Regular time 22 19 16 13 400
400
Overtime 29 26 23 20 100
100
Maintenance demand 400 600 300 500


8.8.1 Mathematical Programming Methods

Taha (2003) provides a thorough discussion of mathematical programming models and solution techniques. Mathematical programming is a class of optimization models and techniques that includes linear, nonlinear, integer, dynamic, and goal programming. In general, a mathematical programming model is composed of decision variables, one or more objective functions, and a set of constraints. The objective function(s) and all constraints are functions of the decision variables and other given parameters. In linear programming (LP), all of these functions are linear functions. The objective function is the target of optimization, such as the maximum profit or minimum cost. The constraints are equations or inequalities representing restrictions or limitations that must be respected, such as limited capacity. The decision variables are values under the control of the decision maker, whose values determine the optimality and feasibility of the solution.
A solution, specified by fixed values of the decision variables, is considered optimal if it gives the best value of the objective function, and is considered feasible if it satisfies all the constraints. Optimum solutions of small models can be the Solver tool in Microsoft Excel. Larger models are solved by specialized optimization software packages such as LINDO and CPLEX. In addition to optimal values of decision variables, LP solutions obtained by these packages include values of slacks and surpluses, dual prices, and sensitivity analysis (ranges of given parameters in which the basic solution remains unchanged).
Many variations of mathematical programming models could be constructed for maintenance capacity planning. Depending on the particular situation, the decision variables, objective function, and constraints must be formulated to match the given needs and limitations. For example, options such as overtime,

180 H.K. Al-Fares and S.O. Duffuaa


subcontracting, hiring and firing, and performing early preventive maintenance may or may not be applicable to a given maintenance capacity planning situation. Similarly, each situation calls for a different objective such as minimum cost or maximum safety, reliability, or availability. Examples of different variations of mathematical programming models for maintenance capacity planning are given by Alfares (1999), Duffuaa et al. (1999, pp. 139–144), and Duffuaa (2000).
The mixed integer programming model presented below is only a general- purpose example. Different components of this model could be added, deleted, or modified in order to tailor it to a specific maintenance capacity planning application.
Parameters
cA (cB) = cost of advancing (backlogging) each maintenance hour by one month, i.e., cost of early (late) maintenance
cR(cO) = cost of regular time (overtime) maintenance per hour
cS = cost of subcontract maintenance per hour
cH (cF) = cost of hiring (firing) one worker
nR,t = number of regular time work hours per worker in month t nO,t = maximum number of overtime hours per worker in month t NS,t = number of subcontract work hours available in month t
Dt = demand (forecast) in month t
Decision variables (for each month t)

Kết quả (Việt) 1:

Ví dụ 8.9: Khối lượng công việc yêu cầu bảo trì trong bốn tháng tiếp theo là 400, 60, 300, 500 giờ, tương ứng. Nhu cầu có thể được đáp ứng bằng một trong hai thời gian thông thường chi phí $13 cho mỗi giờ hoặc làm thêm giờ tại một chi phí $ 20 cho giờ. Thường xuyên thời gian và thời gian bù giờ năng lực là 400 và 100 h mỗi tháng. Bảo trì đầu chi phí $3 cho mỗi giờ mỗi tháng, trong khi bảo trì cuối chi phí $5 cho mỗi giờ mỗi tháng. Sử dụng phương pháp sửa đổi giao thông vận tải, phát triển kế hoạch công suất để đáp ứng khối lượng công việc cần thiết.Bảng 8,10 cho thấy các hoạt cảnh giao thông vận tải cải ví dụ này, với các chi phí theo giờ tại các góc của các tế bào có liên quan. Sử dụng ít nhất là chi phí chuyển nhượng heuristic, giải pháp kế hoạch khả năng hiển thị trong bảng, nơi các tế bào được đánh dấu cho biết hoạt động bảo trì bài tập. Nhu cầu của cả hai tháng 1 và 3 hoàn toàn đáp ứng bởi bảo trì thường xuyên thời gian trong tháng này. Nhu cầu của tháng 2 được đáp ứng bởi bảo trì thường xuyên thời gian trong tháng 2 ngoài thời gian bù giờ bảo trì trong tháng 2 và 3. Cuối cùng, nhu cầu của tháng 4 được đáp ứng bởi thường xuyên thời gian và thời gian bù giờ bảo trì trong tháng 4. Tổng chi phí (TC) của kế hoạch thu được bằng cách nhân những giờ được chỉ định bởi các chi phí tương ứng:TC = 13(400) + 13(400) + 20(100) + 16(100)+ 13(300) + 13(400) + 20(100) = $25,100Phương pháp hoạt cảnh giao thông vận tải là hữu ích cho các chức năng đơn giản chi phí. Mối quan hệ phức tạp hơn và cấu trúc chi phí, ví dụ, chi phí mướn và sa thải, đòi hỏi các phương pháp phức tạp hơn như toán học lập trình. Bảo trì dự báo và năng lực lập kế hoạch 179Bảng 8,10. Dữ liệu và giải pháp của ví dụ 8.9Thực hiện vài tháng sử dụng nguồn lực vài tháng nhu cầu năng lực 1 2 3 4 Thời gian thường xuyên 1 13 18 23 28 400 400 Thời gian bù giờ 20 25 30 35 100 Thời gian thường xuyên 2 16 13 18 23 400 400 Thời gian bù giờ 23 20 25 30 100 100 Thời gian thường xuyên 3 19 16 13 18 400 100 300 Thời gian bù giờ 26 23 20 25 100 Thời gian thường xuyên 4 22 19 16 13 400 400 Thời gian bù giờ 29 26 23 20 100 100 Nhu cầu bảo trì 400 600 300 500 8.8.1 toán học lập trình phương phápTran (2003) cung cấp một thảo luận kỹ lưỡng về mô hình toán học lập trình và giải pháp kỹ thuật. Toán học lập trình là một lớp học của mô hình tối ưu hóa và kỹ thuật bao gồm các tuyến tính, phi tuyến, số nguyên, năng động, và lập trình mục tiêu. Nói chung, một mô hình toán học lập trình bao gồm các quyết định biến, một hoặc nhiều chức năng mục tiêu, và một tập các ràng buộc. Mục tiêu function(s) và tất cả những hạn chế là chức năng của các biến quyết định và các thông số nhất định. Trong lập trình tuyến tính (LP), tất cả các chức năng này là chức năng tuyến tính. Hàm mục tiêu là mục tiêu tối ưu hóa, chẳng hạn như lợi nhuận tối đa hoặc tối thiểu chi phí. Những hạn chế là phương trình hoặc sự bất bình đẳng đại diện cho hạn chế hoặc giới hạn phải được tôn trọng, chẳng hạn như năng lực hạn chế. Các biến quyết định là giá trị dưới sự kiểm soát của các nhà sản xuất quyết định, có giá trị xác định điều và tính khả thi của các giải pháp.Một giải pháp, được chỉ định bởi cố định giá trị của các biến quyết định, được coi là tối ưu nếu nó đưa ra giá trị tốt nhất của hàm mục tiêu, và được coi là khả thi nếu nó đáp ứng tất cả các khó khăn. Các giải pháp tối ưu của các mô hình nhỏ có thể là công cụ người giải quyết trong Microsoft Excel. Lớn hơn các mô hình được giải quyết bằng gói phần mềm tối ưu hóa chuyên ngành như LINDO và CPLEX. Ngoài việc tối ưu giá trị của các biến quyết định, LP giải pháp thu được bằng những gói này bao gồm các giá trị của slacks và thặng dư, dual giá cả, và phân tích độ nhạy (phạm vi cho tham số mà các giải pháp cơ bản vẫn không thay đổi).Nhiều biến thể của mô hình toán học lập trình có thể được xây dựng để duy trì năng lực lập kế hoạch. Tùy thuộc vào tình hình cụ thể, quyết định biến, hàm mục tiêu, và hạn chế phải được xây dựng để phù hợp với nhu cầu nhất định và hạn chế. Ví dụ, các tùy chọn như làm thêm giờ, 180 H.K. Al-giá vé và so Duffuaathầu phụ, thuê và bắn, và thực hiện bảo trì dự phòng sớm có thể hoặc không có thể áp dụng đối với một tình huống nhất định bảo trì năng lực lập kế hoạch. Tương tự như vậy, tình hình mỗi cuộc gọi cho một mục tiêu khác nhau chẳng hạn như chi phí tối thiểu hoặc an toàn tối đa, độ tin cậy hoặc có sẵn. Ví dụ về các biến thể khác nhau của mô hình toán học lập trình bảo trì năng lực lập kế hoạch được đưa ra bởi Alfares (1999), Duffuaa et al. (1999, trang 139-144) và Duffuaa (2000).Hỗn hợp số nguyên mô hình lập trình bày dưới đây là chỉ là một ví dụ mục đích chung. Các thành phần khác nhau của mô hình này có thể được thêm vào, xóa, hoặc sửa đổi để thích ứng với một cụ thể bảo trì năng lực lập kế hoạch ứng dụng.Tham sốcA (cB) = chi phí của việc thúc đẩy bảo trì (backlogging) mỗi giờ một tháng, ví dụ, chi phí bảo trì đầu (cuối)cR(cO) = chi phí bảo trì thường xuyên thời gian (thời gian bù giờ) cho giờcS = chi phí bảo trì subcontract / giờcH (cF) = chi phí thuê (bắn) một công nhânnR, t = số giờ làm việc thường xuyên thời gian mỗi nhân viên trong tháng t không, t = số tối đa của giờ làm thêm giờ mỗi nhân viên trong tháng t NS, t = số giờ làm việc subcontract có sẵn trong tháng tDT = nhu cầu (thời) trong thángQuyết định biến (cho mỗi tháng t)

Kết quả (Việt) 2:

Ví dụ 8.9: Khối lượng công việc bảo dưỡng cần thiết cho bốn tháng tới là 400, 60, 300, và 500 người đàn ông giờ, tương ứng. Nhu cầu có thể được đáp ứng bằng cách hoặc là thời gian thường xuyên với chi phí $ 13 mỗi giờ, làm thêm giờ với chi phí $ 20 mỗi giờ. Thời gian thường xuyên làm thêm giờ và năng lực tương ứng là 400 và 100 h mỗi tháng. Bảo dưỡng đầu chi phí $ 3 mỗi giờ mỗi tháng, trong khi bảo trì muộn chi phí $ 5 mỗi giờ mỗi tháng. Sử dụng phương pháp vận tải sửa đổi, xây dựng kế hoạch công suất để đáp ứng khối lượng công việc yêu cầu. Bảng 8.10 cho thấy hoạt cảnh giao thông vận tải sửa đổi cho ví dụ này, với chi phí hàng giờ ở các góc của các tế bào có liên quan. Sử dụng phân heuristic, chi phí thấp nhất, các giải pháp kế hoạch dung lượng được thể hiện trong bảng, nơi các ô được đánh dấu chỉ ra nhiệm vụ duy trì hoạt động. Những yêu cầu của cả hai tháng 1 và 3 được hoàn toàn đáp ứng bởi thời gian bảo trì thường xuyên trong cùng một tháng. Nhu cầu của tháng 2 được đáp ứng bởi thời gian bảo trì thường xuyên trong tháng 2 ở ngoài bảo trì thêm giờ trong tháng 2 và 3. Cuối cùng, nhu cầu của tháng 4 được đáp ứng bởi cả thời gian và làm thêm giờ thường xuyên bảo dưỡng trong tháng 4. Tổng chi phí (TC ) của kế hoạch là thu được bằng cách nhân giờ phân công của chi phí tương ứng: TC = 13 (400) + 13 (400) + 20 (100) + 16 (100) + 13 (300) + 13 (400) + 20 ( 100) = $ 25,100 phương pháp tableau Việc vận chuyển là hữu ích cho các chức năng chi phí đơn giản. Mối quan hệ phức tạp và cấu trúc chi phí, ví dụ, chi phí của việc thuê và sa thải, yêu cầu phương pháp phức tạp hơn như lập trình toán học. Bảo trì dự báo và Kế hoạch Công suất 179 Bảng 8.10. Dữ liệu và giải pháp của Ví dụ 8.9 Thực hiện tháng Tài nguyên sử dụng tháng Nhu cầu năng lực 1 2 3 4 1 thời gian thường xuyên 13 18 23 28 400 400 Làm thêm giờ 20 25 30 35 100 2 thời gian thường xuyên 16 13 18 23 400 400 Làm thêm giờ 23 20 25 30 100 100 3 Thường xuyên thời gian 16 13 18 19 400 100 300 Làm thêm giờ 23 20 25 26 100 4 thời gian thường xuyên 19 16 13 22 400 400 Làm thêm giờ 26 23 20 29 100 100 nhu cầu bảo trì 400 600 300 500 8.8.1 Lập trình toán học Phương pháp Taha (2003) cung cấp một cuộc thảo luận kỹ lưỡng các mô hình lập trình toán học và giải pháp kỹ thuật. Lập trình toán học là một lớp học của các mô hình tối ưu hóa và kỹ thuật bao gồm tuyến tính, phi tuyến, số nguyên, năng động, và các chương trình mục tiêu. Nói chung, một mô hình lập trình toán học bao gồm các biến quyết định, một hoặc nhiều hàm mục tiêu, và một tập các ràng buộc. Hàm mục tiêu (s) và tất cả các ràng là hàm của các biến quyết định và các thông số cho khác. Trong lập trình tuyến tính (LP), tất cả các chức năng này là chức năng tuyến tính. Hàm mục tiêu là mục tiêu tối ưu hóa, chẳng hạn như lợi nhuận tối đa hoặc tối thiểu chi phí. Các hạn chế là phương trình hoặc bất bình đẳng đại diện hạn chế hoặc hạn chế đó phải được tôn trọng, chẳng hạn như năng lực hạn chế. Các biến quyết định là những giá trị thuộc thẩm quyền của người ra quyết định, có giá trị xác định tối ưu và khả thi của các giải pháp. Một giải pháp, quy định bởi các giá trị cố định của các biến quyết định, được coi là tối ưu nếu nó mang lại giá trị tốt nhất của hàm mục tiêu, và được coi là khả thi nếu nó đáp ứng tất cả các hạn chế. Giải pháp tối ưu của các mô hình nhỏ có thể là công cụ Solver trong Microsoft Excel. Mô hình lớn được giải quyết bởi các gói phần mềm tối ưu hóa chuyên ngành như LINDO và CPLEX. Ngoài các giá trị tối ưu của các biến quyết định, giải pháp LP thu được bằng các gói bao gồm giá trị của bộ quần áo và thặng dư, giá kép, và phân tích độ nhạy (phạm vi của các thông số được đưa ra trong đó giải pháp cơ bản vẫn không thay đổi). Nhiều biến thể của mô hình lập trình toán học có thể là xây dựng năng lực lập kế hoạch bảo trì. Tùy thuộc vào tình hình cụ thể, các biến quyết định, hàm mục tiêu và các ràng buộc phải được xây dựng để phù hợp với nhu cầu nhất định và hạn chế. Ví dụ, các tùy chọn như làm thêm giờ, 180 HK Al-Giá vé và SO Duffuaa thầu phụ, thuê và sa thải, và thực hiện bảo dưỡng phòng ngừa sớm có thể hoặc không thể được áp dụng đối với một tình hình quy hoạch năng lực bảo trì nhất định. Tương tự như vậy, mỗi tình huống gọi cho một mục tiêu khác nhau như chi phí tối thiểu hoặc tối đa an toàn, độ tin cậy, hoặc sẵn có. Ví dụ về các biến thể khác nhau của các mô hình lập trình toán học cho việc lập kế hoạch bảo trì công suất được đưa ra bởi Alfares (1999), Duffuaa et al. (1999, tr. 139-144), và Duffuaa (2000). Các mô hình lập trình số nguyên hỗn hợp được trình bày dưới đây chỉ là một ví dụ mục đích General-. Các thành phần khác nhau của mô hình này có thể được thêm vào, xóa, hoặc sửa đổi để thích ứng nó vào một ứng dụng quy hoạch năng lực bảo dưỡng cụ thể. Các thông số cA (CB) = chi phí đẩy (backlogging) mỗi giờ bảo trì bởi một tháng, tức là, chi phí đầu (cuối) bảo trì Cr (cO) = chi phí thường xuyên thời gian (ngoài giờ), bảo dưỡng một giờ CS = chi phí bảo trì hợp đồng phụ cho mỗi giờ CH (Fđể) = chi phí thuê (bắn) một công nhân nR, t = số giờ làm việc thời gian thường xuyên mỗi công nhân trong tháng t nO, t = số lượng tối đa cho mỗi giờ làm thêm của công nhân trong tháng t NS, t = số giờ làm việc hợp đồng phụ có sẵn trong tháng t Dt = nhu cầu (dự báo) trong tháng t biến Quyết định (cho mỗi tháng t)