The choice of a suitable framework

The choice of a suitable framework is a trade-off between two conflicting criteria: the
modeling power and the decisive power. The modeling power indicates the size of the
class of systems allowing a reformulation in terms of the chosen model description.
The decisive power is the ability to prove quantitative and qualitative properties of
individual systems in the framework. A model structure, which is too broad, (like
the hybrid automaton in the previous section) cannot reveal specific properties of a
particular element in the model class. The size of a model class is often taken too large
foranalysispurposes. Asindicatedby[18],evenfortheeasiesthybridsystemsanalysis
and control problems are often undecidable or require a high computational load. As
an example, Tsitsiklis and Blondel [18] consider the elementary hybrid system given
by
x(k + 1) =
(
A 1 x(k), when c > x(k) ≥ 0,
A 2 x(k), when c > x(k) < 0,
(1.1)
where A 1 , A 2 are matrices and c is a (column) vector of appropriate dimensions.
To decide whether this switching system is stable is shown to be NP-hard. Loosely
speaking, this means that there is no algorithm that answers the question of stability in
polynomial time (as function of the size of A 1 , A 2 and c).
The complexity of hybrid systems is also shown by a simple piecewise linear
forcedVan der Pol oscillator with an ideal diode studied in [103]. The system consists
of a capacitor, an inductor, a linear negative resistor, a diode and a sinusoidal voltage
source. For the analysis the diode is assumed to be an ideal switch. The system
switchesbetweentheblockingandconductingmodeandthedynamicsintheindividual
modes are linear. For a specific region of the parameter values (which are analytically
determined) this system displays chaotic behavior that has been experimentally and
numerically verified in [103]. The occurrence of chaos in such a simple system is
rather intriguing, but indicates that multimodal systems are extremely complex.
From the previous it is clear that one should not consider a too general class of
hybrid systems. But on the other hand, it is also useless to study a model class, which
is (almost) empty and does not contain any physically relevant system. To summarize,
it is essential to study a class of hybrid systems meeting the following criteria.
• The subclass is small enough: it must carry an additional structure facilitating
detailed analysis of its behavior and controller design.
Page 18 of 240
1.2. Complementarity systems 9
• The subclass is large enough: the class must be nontrivial. It has to contain
interesting examples from an application point of view.
It may be clear that several choices of subclasses are possible. In this thesis, we will
particularly be interested in so-called complementarity systems for reasons that will
become clear later.

Kết quả (Việt) 1:

Sự lựa chọn của một khuôn khổ thích hợp là một sự đánh đổi giữa hai tiêu chí xung đột: CácMô hình hóa quyền lực và sức mạnh quyết định. Sức mạnh của mô hình cho thấy kích thước của cáclớp học của hệ thống cho phép một reformulation trong điều khoản của mô tả mô hình được lựa chọn.Lực đẩy được quyết định là khả năng để chứng minh tính chất định lượng và chất lượng củaHệ thống cá nhân trong khuôn khổ. Một mô hình cấu trúc, nó là quá rộng, (nhưautomaton lai trong phần trước) không thể tiết lộ các thuộc tính cụ thể của mộtyếu tố cụ thể trong các lớp học mô hình. Kích thước của một kiểu với class thường cũng được quá lớnforanalysispurposes. Asindicatedby [18], evenfortheeasiesthybridsystemsanalysisvà vấn đề kiểm soát được thường xuyên undecidable hay yêu cầu một tính toán tải cao. Nhưxem xét một ví dụ, Tsitsiklis và Blondel [18] Hệ thống lai tiểu học chobởix (k + 1) =(X(k) 1, khi c > x(k) ≥ 0,X(k) 2, khi c > x(k) < 0,(1.1)nơi A 1, A 2 là ma trận và c là một vector (cột) kích thước thích hợp.Để quyết định cho dù hệ thống chuyển đổi này là ổn định Hiển thị được NP khó khăn. Lỏng lẻonói, điều này có nghĩa là không có thuật toán câu trả lời các câu hỏi về sự ổn định trongthời gian đa thức (như là chức năng với kích thước của A 1, A 2 và c).Sự phức tạp của hệ thống lai cũng hiển thị bằng một đơn giản piecewise tuyến tínhforcedVan der Pol dao động với một diode lý tưởng nghiên cứu [103]. Hệ thống bao gồmcủa một tụ điện, cuộn cảm một, một điện trở phủ định tuyến tính, một diode và một điện áp Sinnguồn. Cho việc phân tích các diode được giả định là một chuyển đổi lý tưởng. Hệ thốngswitchesbetweentheblockingandconductingmodeandthedynamicsintheindividualchế độ là tuyến tính. Cho một khu vực cụ thể của các giá trị tham số (đó là phân tíchxác định) hệ thống này sẽ hiển thị hành vi hỗn loạn đã thử nghiệm vàsố lượng xác minh trong [103]. Sự xuất hiện của sự hỗn loạn trong một hệ thống đơn giản làkhá hấp dẫn, nhưng chỉ ra rằng hệ thống đa phương thức là cực kỳ phức tạp.Từ trước đó là rõ ràng rằng một trong những không nên xem xét một lớp học quá chung chung củaHệ thống lai. Nhưng mặt khác, nó cũng là vô ích, để học một lớp mô hình, mà(hầu như) rỗng và không chứa bất kỳ hệ thống vật lý có liên quan. Để tóm tắt,nó là điều cần thiết để học một lớp học của hệ thống lai đáp ứng các tiêu chí sau.• Phân lớp là đủ nhỏ: nó phải mang một bổ sung cấu trúc tạo điều kiện chophân tích chi tiết của hành vi và điều khiển thiết kế.Trang 18 2401.2. bổ hệ thống 9• Phân lớp là đủ lớn: các lớp học phải được nontrivial. Đô thị này có chứaVí dụ thú vị từ một ứng dụng quan điểm trên.Nó có thể được rõ ràng rằng nhiều lựa chọn trong phân lớp là có thể. Trong luận án này, chúng tôi sẽđặc biệt là được quan tâm đến cái gọi là bổ hệ thống vì lý do sẽtrở nên rõ ràng sau đó.

Kết quả (Việt) 2:

Việc lựa chọn một khuôn khổ phù hợp là một sự đánh đổi giữa hai tiêu chí mâu thuẫn nhau: các
lực mô hình hóa và sức mạnh quyết định. Sức mạnh mô hình chỉ ra kích thước của các
lớp của hệ thống cho phép một phương pháp tái về mô tả mô hình lựa chọn.
Các sức mạnh quyết định là khả năng để chứng minh tính định lượng và định tính của
hệ thống cá nhân trong khuôn khổ. Một cấu trúc mô hình, mà là quá rộng, (như
các máy tự động hybrid trong phần trước) không thể tiết lộ tính chất cụ thể của một
yếu tố đặc biệt trong mô hình lớp học. Kích thước của một mô hình lớp học thường được lấy quá lớn
foranalysispurposes. Asindicatedby [18], evenfortheeasiesthybridsystemsanalysis
và kiểm soát các vấn đề thường undecidable hoặc yêu cầu một tải trọng tính toán cao. Như
một ví dụ, Tsitsiklis và Blondel [18] xem xét hệ thống hybrid tiểu học cho
bởi
x (k + 1) =
(A 1 x (k), khi c> x (k) ≥ 0, A 2 x (k), khi c> x (k) <0, (1.1) trong đó A 1, A 2 là các ma trận và c là một (cột) vector có kích thước phù hợp. Để quyết định xem hệ thống chuyển mạch này là ổn định được thể hiện là NP-hard. Lỏng lẻo nói , điều này có nghĩa rằng không có thuật toán mà trả lời các câu hỏi về sự ổn định trong thời gian đa thức (như chức năng của các kích thước của A 1, A 2 và c). Sự phức tạp của hệ thống hybrid cũng được thể hiện bởi một piecewise tuyến tính đơn giản der forcedVan Pol Dao động với một diode lý tưởng nghiên cứu trong [103]. Hệ thống bao gồm một tụ điện, một cuộn cảm, điện trở tiêu cực tuyến tính, một diode và một điện áp hình sin nguồn. Đối với việc phân tích các diode được giả định là một chuyển đổi lý tưởng. Các hệ thống switchesbetweentheblockingandconductingmodeandthedynamicsintheindividual chế độ là tuyến tính. Đối với một khu vực cụ thể của các giá trị tham số (được phân tích xác định) hệ thống này hiển thị hành vi hỗn loạn đó đã được thực nghiệm và số lượng xác minh trong [103]. Sự xuất hiện của sự hỗn loạn trong một hệ thống đơn giản như vậy là khá hấp dẫn, nhưng chỉ ra rằng hệ thống đa phương thức là vô cùng phức tạp. Từ trước nó là rõ ràng rằng không nên xem xét một lớp quá chung chung của hệ thống hybrid. Nhưng mặt khác, nó cũng là vô ích để nghiên cứu một mô hình lớp học, đó là (gần như) trống rỗng và không chứa bất kỳ hệ thống vật lý có liên quan. Để tóm tắt, nó là điều cần thiết để nghiên cứu một lớp học của các hệ thống hybrid đáp ứng các tiêu chí sau đây. Nó phải mang theo một cấu trúc thêm điều kiện thuận lợi: • Các lớp con là đủ nhỏ phân tích chi tiết về hành vi điều khiển và thiết kế của nó. Trang 18 của 240 1.2. Sự bổ sung hệ thống 9 • Các lớp con là đủ lớn: lớp phải không tầm thường. Nó có chứa các ví dụ thú vị từ một điểm áp dụng xem. Nó có thể được rõ ràng rằng một số lựa chọn của các lớp con là có thể. Trong luận án này, chúng tôi sẽ đặc biệt quan tâm đến cái gọi là hệ thống bổ sung cho lý do sẽ trở nên rõ ràng sau này.