Among the ODE community, related wo

Among the ODE community, related work began with investigations of
positivity by Bolley and Crouzeix [5] and of contractivity (or monotonicity)
by Spijker [95], for linear systems of ODEs. In these works it was
noted that such properties cannot be preserved unconditionally by Runge–
Kutta or multistep methods of higher than first order. Conditional strong
stability preservation was shown to be related to the radius of absolute
monotonicity for methods satisfying a circle condition. Optimal Runge–
Kutta methods for linear systems, including implicit and explicit methods,
were investigated in [60, 104]. Conditions for strong stability preserving
linear multistep methods in the context of nonlinear equations were given
in [89], and optimal linear multistep methods for linear and nonlinear equations
were investigated by Lenferink [66, 67]. The rich theory of absolute
monotonicity of Runge–Kutta methods, and its relation to contractivity
for nonlinear equations was developed by Kraaijevanger [62]. In addition,
Kraaijevanger’s work provided important results such as the order barriers
for SSP Runge–Kutta methods and several optimal methods. The relation
of this theory to positivity preservation was later developed by Horvath
[40, 41].
The equivalence of the Shu-Osher theory and the theory of absolute
monotonicity, both of which had been well developed for about 15 years,
was discovered independently and almost simultaneously by Ferracina and
Spijker [19, 21] and by Higueras [35, 37]. The unification of the two theories
has provided a theoretical framework that is more elegant, complete,
and useful than either of its predecessors.
Recently, SSP theory has been extended in several important ways.
Higueras has extended the theory of absolute monotonicity to include
methods with downwind-biased operators [37] and, more generally, additive
Runge–Kutta methods [38, 39]. A theory of SSP has been developed
also for diagonally split Runge–Kutta methods, which lie outside the class
of general linear methods and are capable of being unconditionally SSP
and higher than first order accurate [3, 43, 4, 40, 73]. Hundsdorfer et
al. have developed a class of linear multistep methods that satisfy a more
general (weaker) condition than the SSP condition, but allow much larger
timesteps [49, 48, 85]. First attempts to characterize the practical sharpness
of SSP theory have been made in [53, 31]. New approaches to finding
optimal methods have yielded new optimal methods in several classes,
which in many cases are accompanied by memory-efficient implementations,
see [22, 55, 54, 56, 57]. Gottlieb and Ruuth developed methods aimed at

Kết quả (Việt) 1:

Trong số các cộng đồng ODE, liên quan đến công việc đã bắt đầu điều tra củadương tính của Bolley và Crouzeix [5] và contractivity (hoặc monotonicity)bởi Spijker [95], cho các hệ thống tuyến tính của soạn. Trong những tác phẩm đó làghi nhận tài sản đó không thể được bảo vệ vô điều kiện bởi Runge-Phương pháp Kutta hoặc multistep của cao hơn đơn đặt hàng đầu tiên. Có điều kiện mạnh mẽduy trì sự ổn định được hiển thị có liên quan đến bán kính tuyệt đốimonotonicity cho các phương pháp đáp ứng điều kiện vòng tròn. Tối ưu Runge-Phương pháp Kutta cho hệ thống tuyến tính, bao gồm các phương pháp tiềm ẩn và rõ ràng,đã được điều tra trong [60, 104]. Điều kiện để duy trì sự ổn định mạnh mẽtuyến tính multistep phương pháp trong bối cảnh của các phương trình phi tuyến đã được đưa ratại [89], và phương pháp multistep tuyến tính tối ưu cho các phương trình tuyến tính và phi tuyếnđã được nghiên cứu bởi Lenferink [66, 67]. Thuyết tuyệt đối, phong phúmonotonicity phương pháp Runge-Kutta, và quan hệ của nó với contractivitycho phương trình phi tuyến được phát triển bởi Kraaijevanger [62]. Ngoài raCông việc của Kraaijevanger cung cấp các kết quả quan trọng như các rào cản đơn đặt hàngSSP Runge-Kutta phương pháp và một số phương pháp tối ưu. Mối quan hệlý thuyết này để tích cực bảo quản được sau đó được phát triển bởi Horvath[40, 41].Sự tương đương của lý thuyết tuyệt đối và lý thuyết của Shu-Oshermonotonicity, cả hai đều đã được phát triển tốt trong khoảng 15 năm,được phát hiện một cách độc lập và gần như đồng thời bởi Ferracina vàSpijker [19, 21] and by Higueras [35, 37]. The unification of the two theorieshas provided a theoretical framework that is more elegant, complete,and useful than either of its predecessors.Recently, SSP theory has been extended in several important ways.Higueras has extended the theory of absolute monotonicity to includemethods with downwind-biased operators [37] and, more generally, additiveRunge–Kutta methods [38, 39]. A theory of SSP has been developedalso for diagonally split Runge–Kutta methods, which lie outside the classof general linear methods and are capable of being unconditionally SSPand higher than first order accurate [3, 43, 4, 40, 73]. Hundsdorfer etal. have developed a class of linear multistep methods that satisfy a moregeneral (weaker) condition than the SSP condition, but allow much largertimesteps [49, 48, 85]. First attempts to characterize the practical sharpnessof SSP theory have been made in [53, 31]. New approaches to findingoptimal methods have yielded new optimal methods in several classes,which in many cases are accompanied by memory-efficient implementations,see [22, 55, 54, 56, 57]. Gottlieb and Ruuth developed methods aimed at

Kết quả (Việt) 2:

Trong số các cộng đồng ODE, công việc liên quan đã bắt đầu với cuộc điều tra của
dương bởi Bolley và Crouzeix [5] và các contractivity (hoặc đơn điệu)
bởi Spijker [95], cho các hệ thống tuyến tính của ODEs. Trong những tác phẩm đó đã được
lưu ý rằng tài sản đó không thể bảo quản vô điều kiện bởi Runge-
Kutta hoặc các phương pháp đa bước cao hơn so với thứ tự đầu tiên. Có điều kiện mạnh mẽ
duy trì ổn định đã được chứng minh có liên quan đến bán kính tuyệt đối
đơn điệu cho các phương pháp đáp ứng một điều kiện vòng tròn. Runge- tối ưu
phương pháp Kutta cho các hệ thống tuyến tính, bao gồm cả phương pháp tiềm ẩn và rõ ràng,
đã được nghiên cứu trong [60, 104]. Điều kiện cho sự ổn định mạnh mẽ bảo quản
các phương pháp đa bước tuyến tính trong bối cảnh của các phương trình phi tuyến đã được đưa ra
trong [89], và các phương pháp đa bước tuyến tính tối ưu tuyến tính và phương trình phi tuyến
đã được nghiên cứu bởi Lenferink [66, 67]. Các lý thuyết phong phú của tuyệt đối
đơn điệu của phương pháp Runge-Kutta, và mối quan hệ với contractivity
cho phương trình phi tuyến được phát triển bởi Kraaijevanger [62]. Ngoài ra,
công việc của Kraaijevanger cung cấp kết quả quan trọng như các rào cản để
cho các phương pháp SSP Runge-Kutta và một số phương pháp tối ưu. Mối quan hệ
của lý thuyết này để bảo quản dương tính sau này được phát triển bởi Horvath
[40, 41].
Sự tương đương của lý thuyết Shu-Osher và lý thuyết tuyệt đối
đơn điệu, cả hai trong số đó đã được phát triển rất mạnh trong khoảng 15 năm,
đã được phát hiện một cách độc lập và gần như đồng thời bởi Ferracina và
Spijker [19, 21] và bởi Higueras [35, 37]. Sự thống nhất của hai lý thuyết
đã cung cấp một khuôn khổ lý thuyết đó là thanh lịch hơn, hoàn thiện,
và hữu ích hơn cả người tiền nhiệm của nó.
Gần đây, lý thuyết SSP đã được mở rộng trên nhiều phương diện.
Higueras đã mở rộng lý thuyết đơn điệu tuyệt đối bao gồm
các phương pháp với khai thác theo hướng gió thiên [37] và, nói chung, phụ gia
phương pháp Runge-Kutta [38, 39]. Một lý thuyết của SSP đã được phát triển
cũng cho theo đường chéo chia phương pháp Runge-Kutta, nằm ​​bên ngoài lớp học
của phương pháp tuyến tính tổng quát và có khả năng là vô điều kiện SSP
và cao hơn so với thứ tự đầu tiên chính xác [3, 43, 4, 40, 73]. Hundsdorfer et
al. đã phát triển một lớp học của các phương pháp đa bước tuyến tính mà đáp ứng nhiều hơn một
điều kiện chung (yếu hơn) so với điều kiện SSP, nhưng cho phép lớn nhiều
timesteps [49, 48, 85]. Nỗ lực đầu tiên để mô tả những nét thực tế
của lý thuyết SSP đã được thực hiện trong [53, 31]. Phương pháp tiếp cận mới để tìm ra
phương pháp tối ưu đã mang lại phương pháp tối ưu mới trong một vài lớp học,
mà trong nhiều trường hợp có kèm theo việc triển khai bộ nhớ hiệu quả,
xem [22, 55, 54, 56, 57]. Gottlieb và Ruuth phát triển phương pháp nhằm