Chapter9 TURBULENT DIFFUSION AND DI

Chapter

9 TURBULENT DIFFUSION AND DISPERSION IN STEADY OPEN CHANNEL FLOW

Summary
The transport processes known as turbulent diffusion and dispersion are discussed in this chapter. First, the governing equations are developed for both one and two dimensions, and then techniques for estimating the vertical and transverse turbulent diffusion coefficients and the longitudinal coefficients are discussed.


9.1 INTRODUCTORY CONCEPTS

The topic of riverine water quality modeling is almost inseparable from the topic of open-channel hydraulics, with the linkage being established by a common and essential interest in the mechanics of mass transport. In this chapter, turbulent diffusion and dispersion are discussed from
the viewpoint of quantifying and environmental effects of polutant transport. Thus, no actual polutants will be mentioned; environmentally neutral tracers will be discussed.
The terminology Turbulent diffusion refers to the random scattering of
particles in a flow by turbulent motion.
Dispersion is scattering of particles by the combined effects of shear and transverse turbulent diffusion.

9.2 GOVERNING EQUATIONS


To begin, consider the control volume defined in Fig. 9.1 and assume that molecular motion is causing mass transfer of a tracer through the control surfaces in the x direction. If it is assumed that the transport of mass through a control surface is proportional to the concentration gradient, then an application of the law of conservation of mass yields


c  D
t

2c
.
x2



(9.1)


Where

c = concentration of tracer, and

D = molecular diffusion coefficient with the tacit assumption that D ≠ f(x)











 D c
x


 D c
x


  (D
x


c ).x
x








∆x








Fig. 9.1 Molecular diffusion







C(x,0) = δ(x) and c(±∞,t) = 0
δ(x)= Dirac delta function
Equation (9.1) is a mathematical statement of Fick’s first law of diffusion. The fundamental solution of Fick’s law is obtained under the following conditions:

C(x,0) = δ(x) and c(±∞,t) = 0


Where δ(x) designates the Dirac delta function




Now, consider a 2D channel flow defined such that no parameter varies in the direction perpendicular to the plan of paper.

Two methods of accounting for the mouvement of the tracer through the control volume suggest themselves.

First, the movement of each molecule of the tracer cloud could be described.

The second method is a continuum mechanics approach similar to that used for the derivation of Fick’s first law, i.e., it is assumed that the fluid carries the tracer with it at a rate which depends on both the velocity in the longitudinal direction u and the concentration c. However, the continuum mechanics approach is only approximate since many of the tracer molecules have a velocity which is different from u.
Therefore, it is necessary to introduce the molecular diffusion coefficient D to correct for the approximate nature of this solution.

The application of the continuum mechanics approach to formulating
the required mass balance yields



c  u c
t x



 D .

2c
 D
x2

2c
.
z 2



(9.2)


where

c
t
u c
x



Time rate of change of concentration at a point







Advection of tracer with fluid
2c
D .  D
x2

2c
.
z 2



Molecular diffusion


Which is also known as Fick’s second law
Now, assume that the fluid is turbulent:

u, v are instantaneous turbulent velocity components



Since instantaneous values of u and v are not usually available and from an applied view point, the effect of turbulent transport of tracer through the incremental control volume must be expressed in terms of time- averaged values of u, v and c or


u  u

c  c

 u '

 c'



Where, the ū, overbar indicates a time-averaged value of the variable, and the variables with primes u’, c’, are turbulent fluctuations of the variable.
Substitution of these equations for u, v and c in Eq. ( 9.2) and averaging the resulting equation with respect to time yields



2 2 ' ' ' '
c  u c
t x

 D .  c
x2

 D .  c
z 2

 (u c )
x

 (v c )
z


(9.3)


The turbulent diffusion coefficients εx and εz are then defined in analogy with molecular diffusion or




u 'c '


 

. c 
x x 







(9.4)

v ' c '


 

. c 
z z 
If it is assumed that εx ≠ f(x), εz ≠ f(z), the substitution of these variables in Eq. (9.3) yields



c c u
t x



 (D   x ).

2c
x2



 (D   z ).

2c
z 2



(9.5)


After complete mixing in the vertical direction has occurred, the primary variation of the tracer cloud concentration in the 2D problem defined here is in the longitudinal direction.

For efficiency, a simplification of this equation is sought. Define




u  U

c  C

 u ''

 c ''

(9.6a)




(9.6b)




Where U and C are the average values of the velocity and tracer concentration, respectively, in the cross section. Substitution of Eqs. (9.6a) & (9.6b) in Eq. (9.5) yields, after cross- sectional averaging,



2 '' ''
C U C
t x


 (D


  x

).  C
x 2

 ( u c )
x


(9.7)
Where the double overbar indicates a cross-sectional average. Taylor (1953, 1954) demonstrated that under certain conditions u” is proportional to the longitudinal gradient of C or


E. C



 u ''c''



 (D  

) C




(9.8)
x x x



The transport defined by Eq. (9.7) is termed longitudinal dispersion, and the coefficient E is the coefficient of longitudinal dispersion. Substitution Eq. (9.8) in Eq. (9.7) yields the 1D equation of longitudinal dispersion or





(9.9)



















END OF CHAPTER 9

Kết quả (Việt) 1:

Chương9 KHUẾCH TÁN HỖN LOẠN VÀ PHÂN TÁN TRONG DÒNG CHẢY GIẢM MỞ KÊNHTóm tắtCác quá trình vận chuyển được gọi là khuếch tán hỗn loạn và phân tán được thảo luận trong chương này. Trước tiên, các phương trình quản lý được phát triển cho cả một và hai là kích thước, và sau đó là kỹ thuật cho ước tính dọc và ngang khuếch tán hỗn loạn hệ và hệ số theo chiều dọc được thảo luận.9.1 GIỚI THIỆU KHÁI NIỆMChủ đề của vùng nước chất lượng mô hình là gần như không thể tách rời từ các chủ đề của mở kênh thủy lực, với liên kết đang được thiết lập bởi một quan tâm phổ biến và cần thiết trong cơ học của khối lượng vận chuyển. Trong chương này, khuếch tán hỗn loạn và phân tán được thảo luận từquan điểm của định lượng và môi trường tác động của giao thông vận tải polutant. Vì vậy, không có polutants thực tế sẽ được đề cập đến; môi trường trung lập đạn sẽ được thảo luận. Thuật ngữ khuếch tán hỗn loạn đề cập đến sự tán xạ ngẫu nhiên củahạt trong một dòng chảy của chuyển động hỗn loạn.Phân tán phân tán các hạt của những ảnh hưởng kết hợp của cắt và ngang khuếch tán hỗn loạn.9.2 QUẢN PHƯƠNG TRÌNHĐể bắt đầu, hãy xem xét phần điều khiển được định nghĩa trong hình 9.1 và cho rằng phân tử chuyển động gây ra khối lượng chuyển giao một đánh dấu thông qua bề mặt điều khiển theo hướng x. Nếu người ta cho rằng việc vận chuyển các khối thông qua một bề mặt điều khiển là tỷ lệ thuận với gradient tập trung, sau đó một ứng dụng của pháp luật bảo tồn của khối lượng sản lượng c  Dt 2C.X2 (9.1) Nơic = nồng độ đánh dấu, vàD = hệ số phân tử phổ biến với giả định tacit đó f (x) ≠ D  D cx  D cx   (Dx c). xx ∆xPhổ biến phân tử hình 9.1 C(x,0) = δ(x) và c(±∞,t) = 0Δ(x) = hàm delta Dirac Phương trình (9.1) là một phát biểu toán học của Fick của luật đầu tiên của khuếch tán. Các giải pháp cơ bản của pháp luật của Fick thu được theo các điều kiện sau đây:C(x,0) = δ(x) và c(±∞,t) = 0Nơi δ(x) chỉ định hàm delta DiracBây giờ, hãy xem xét một dòng chảy 2D kênh được xác định như vậy mà không có tham số khác nhau theo hướng vuông góc với kế hoạch của giấy.Hai phương pháp kế toán cho hầm đánh dấu thông qua khối lượng kiểm soát gợi ý mình.Trước tiên, sự chuyển động của mỗi phân tử của các đám mây đánh dấu có thể được mô tả.Phương pháp thứ hai là một phương pháp tiếp cận cơ học liên tục tương tự như được sử dụng cho các derivation Fick của luật đầu tiên, ví dụ, người ta cho rằng các chất lỏng mang đánh dấu với nó tại một tỷ lệ mà phụ thuộc vào cả hai vận tốc theo hướng dọc bạn và nồng độ c. Tuy nhiên, phương pháp tiếp cận cơ học liên tục là chỉ gần đúng kể từ khi nhiều người trong số các phân tử đánh dấu có một tốc độ mà là khác nhau từ u. Vì vậy, nó là cần thiết để giới thiệu hệ số phân tử phổ biến D để khắc phục thiên nhiên gần đúng của giải pháp này.Việc áp dụng các phương pháp tiếp cận cơ học liên tục để xây dựngsự cân bằng khối lượng yêu cầu sản lượng c đột u ct x  D. 2CĐỘT DX2 2C.z 2 (9.2) nơi ctu cx Thời gian mức độ thay đổi tập trung ở một điểmAdvection đánh dấu với chất lỏng 2CD. ĐỘT DX2 2C.z 2 Phân tử phổ biếnĐó là còn được gọi là định luật hai của Fick Bây giờ, giả sử là các chất lỏng là hỗn loạn:u, v là vận tốc tức thời hỗn loạn thành phầnKể từ khi các giá trị tức thời của bạn và v không thường có sẵn và từ một ứng dụng quan điểm, hiệu quả của các giao thông hỗn loạn của các đánh dấu thông qua khối lượng gia tăng kiểm soát phải được thể hiện trong điều khoản của thời gian-trung bình giá trị của bạn, v và c hoặc u  uc  c Đột u 'Đột c' Ở đâu, ū, overbar cho thấy một giá trị thời gian trung bình của các biến, và các biến với số nguyên tố u ', c', là các biến động hỗn loạn của biến. Thay thế của các phương trình cho bạn, v và c trong Eq. (9.2) và trung bình phương trình kết quả đối với sản lượng thời gian2 2 ' ' ' ' c đột u ct x  D.  cX2 ĐỘT D.  cz 2 Đột  (u c)x Đột  (v c)z (9.3) Khuếch tán hỗn loạn hệ số εx và εz được định nghĩa trong tương tự với các phân tử phổ biến hoặc u 'c'   . c x x  (9.4) v 'c'   . c z z  Nếu nó giả định rằng f (x) ≠ εx, εz ≠ f(z), thay thế của các biến trong Eq. (9.3) sản lượng c c ut x  (D đột  x). 2CX2 Đột (D đột  z). 2Cz 2 (9.5) Sau khi hoàn toàn trộn theo hướng thẳng đứng đã xảy ra, các biến thể chính của nồng độ đám mây đánh dấu trong 2D vấn đề được xác định ở đây là trong hướng dọc.Cho hiệu quả, một đơn giản hóa của phương trình này là tìm kiếm. Xác định u  Uc  C Đột u ''Đột c '' (9.6a)(9.6b) Nơi bạn và C là các giá trị trung bình của nồng độ vận tốc và đánh dấu, tương ứng, trong phần cross. Thay thế của Eqs. (9.6a) & (9.6b) ở Eq. (9.5) sản lượng, sau khi cross-góc trung bình,2 '' '' C U Ct x  (D Đột  x ).  Cx 2 Đột  ( u c)x (9.7) Nơi overbar đôi chỉ ra một mặt cắt là. Taylor (1953, 1954) chứng minh rằng theo một số điều kiện u "là tỷ lệ thuận với gradient theo chiều dọc của C hoặc E. C  u '' c'' ĐỘT (D ĐỘT  ) C (9.8) x x xViệc vận chuyển được xác định bởi Eq. (9.7) được gọi là phân tán theo chiều dọc, và hệ số E là hệ số theo chiều dọc phân tán. Thay thế Eq. (9.8) trong Eq. (9.7) sản lượng phương trình 1D phân tán theo chiều dọc hoặc(9.9) CUỐI CHƯƠNG 9

Kết quả (Việt) 2:

Chương 9 sóng gió khuếch tán và phân tán trong Steady MỞ CHANNEL FLOW Tóm tắt Các quá trình vận chuyển được gọi là khuếch tán hỗn loạn và phân tán được thảo luận trong chương này. Đầu tiên, các phương trình chi phối được phát triển cho cả một và hai chiều, và sau đó các kỹ thuật để ước lượng các hệ số khuếch tán theo chiều dọc và ngang hỗn loạn và các hệ số theo chiều dọc sẽ được thảo luận. 9.1 GIỚI THIỆU KHÁI NIỆM Các chủ đề của mô hình chất lượng nước ven sông gần như không thể tách rời khỏi chủ đề Máy móc thủy lực kênh hở, với các mối liên kết được thành lập bởi một mối quan tâm chung và thiết yếu trong cơ học của giao thông công cộng. Trong chương này, khuếch tán hỗn loạn và phân tán được thảo luận từ quan điểm định lượng và tác động môi trường của các phương tiện giao thông polutant. Vì vậy, không có polutants thực tế sẽ được đề cập; môi trường Tracers trung tính sẽ được thảo luận. Các thuật ngữ phổ biến Turbulent đề cập đến sự phân tán ngẫu nhiên của các hạt trong một dòng chảy bằng cách chuyển động hỗn loạn. Phân tán được tán xạ của các hạt do ảnh hưởng kết hợp của lực cắt và khuếch tán ngang hỗn loạn. 9.2 PHƯƠNG TRÌNH CH Để bắt đầu, hãy xem xét việc kiểm soát khối lượng được xác định trong hình. 9.1 và cho rằng chuyển động phân tử gây ra khối lượng chuyển nhượng của một tracer thông qua các bề mặt điều khiển theo hướng x. Nếu nó được giả định rằng việc vận chuyển khối lượng thông qua một bề mặt điều khiển là tỷ lệ thuận với nồng độ cao, sau đó một ứng dụng của định luật bảo toàn khối lượng sản lượng c  D t 2c. x2 (9.1) Trường hợp c = nồng độ đánh dấu, và D = phân tử hệ số khuếch tán với giả định ngầm rằng D ≠ f (x)  D c x  D c x   (D x c) .x x Δx hình. 9.1 phân tử khuếch tán C (x, 0) = δ (x) và c (± ∞, t) = 0 δ (x) = Dirac đồng bằng phương trình (9.1) là một phát biểu toán học của pháp luật đầu tiên Fick của khuếch tán. Các giải pháp cơ bản của pháp luật Fick thu được theo các điều kiện sau đây: C (x, 0) = δ (x) và c (± ∞, t) = 0 đâu δ (x) chỉ định các hàm delta Dirac Bây giờ, hãy xem xét một kênh 2D chảy được định nghĩa như vậy mà không có tham số thay đổi theo hướng vuông góc với các kế hoạch của giấy. Hai phương pháp kế toán cho các mouvement của tracer thông qua các điều khiển âm lượng cho bản thân mình. Đầu tiên, sự chuyển động của mỗi phân tử của các đám mây tracer có thể được mô tả. Các Phương pháp thứ hai là một cơ thể liên tục tiếp cận tương tự như sử dụng cho nguồn gốc của luật đầu tiên Fick, tức là, nó được giả định rằng các chất lỏng mang tracer với nó ở một tỷ lệ mà phụ thuộc vào cả hai vận tốc theo hướng dọc u và nồng độ c . Tuy nhiên, các phương pháp tiếp cận cơ học môi trường liên tục là chỉ xấp xỉ vì nhiều phân tử tracer có vận tốc mà là khác nhau từ u. Vì vậy, nó là cần thiết để giới thiệu các phân tử hệ số khuếch tán D để sửa chữa cho tính chất gần đúng của giải pháp này. Các ứng dụng của cơ học môi trường liên tục tiếp cận để xây dựng sản lượng cân bằng khối lượng cần c  u c t x  D. 2c  D x2 2c. z 2 (9.2), nơi c t u c x Time tỷ lệ thay đổi tập trung tại một điểm bình lưu của tracer với chất lỏng 2c D.  D x2 2c. z 2 khuếch tán phân tử nào cũng được gọi là định luật thứ hai Fick Bây giờ, giả sử rằng các chất lỏng là hỗn loạn: u, v là thành phần vận tốc tức thời hỗn loạn vì các giá trị tức thời của u và v không luôn có sẵn và từ một quan điểm áp dụng, tác động của giao thông hỗn loạn của tracer thông qua khối lượng gia tăng kiểm soát phải được thể hiện bằng tỷ tốn nhiều thời gian trung bình các giá trị của u, v và c hoặc u  u c  c  u ' c' ở đâu, các ¾ , overbar chỉ ra một giá trị thời gian trung bình của các biến, và các biến với các số nguyên tố u ', c', biến động hỗn loạn của các biến. Thay thế các phương trình cho u, v và c trong phương trình. (9.2) và trung bình các phương trình kết quả đối với sản lượng lần 2 2 '' '' c  u c t x  D.  c x2  D.  c z 2   (uc) x   (vc) z (9.3) Các hệ số khuếch tán hỗn loạn εx và εz sau đó được xác định trong tương đồng với sự khuếch tán phân tử hoặc u 'c'  . c  x x   (9.4) v 'c'  . c  z z  Nếu nó được giả định rằng εx ≠ f (x), εz ≠ f (z), sự thay thế của các biến trong biểu thức. (9.3) mang c cu t x  (D   x). 2c x2  (D   z). 2c z 2 (9.5) Sau khi pha trộn hoàn chỉnh theo hướng thẳng đứng đã xảy ra, các biến thể chính của nồng độ tracer đám mây trong các vấn đề 2D định nghĩa ở đây là theo hướng dọc. Để hiệu quả, đơn giản hóa của phương trình này là tìm kiếm. Xác định u  U c  C  u ''  c '' (9.6a) (9.6b) Where U và C là các giá trị trung bình của nồng độ vận tốc và đánh dấu, tương ứng, ở mặt cắt ngang. Thay người của phương trình. (9.6a) và (9.6b) trong biểu thức. (9.5) sản lượng, sau khi cắt ngang trung bình cắt, 2 '' '' C U C t x  (D   x).  C x 2   ( uc) x (9.7) Trường hợp overbar đôi chỉ ra một trung bình cắt ngang. Taylor (1953, 1954) đã chứng minh rằng trong điều kiện nhất định u "là tỷ lệ thuận với độ dốc dọc của C hoặc E. C  u '' c ''  (D  ) C (9.8) xx x Việc vận chuyển được xác định bởi phương trình. (9.7) được gọi là phân tán theo chiều dọc, và các hệ số E là hệ số phân tán theo chiều dọc. Thay Eq. (9,8) trong phương trình. (9.7) sản lượng các phương trình 1D phân tán theo chiều dọc hoặc (9.9) KẾT THÚC CHƯƠNG 9