For instance, a trivial factorizati

For instance, a trivial factorization of 7 +i is i(1−7i). A non-trivial factorization of 7 +i
is (1 − 2i)(1 + 3i). A non-trivial factorization of 5 is (1 + 2i)(1 − 2i). How interesting: 5
is prime in Z but it is composite in Z[i]. Even 2 is composite in Z[i]: 2 = (1 + i)(1 − i).
However, 3 is prime in Z[i], so some primes in Z stay prime in Z[i] while others do not.
To show 3 is prime in Z[i], we argue by contradiction. Assume it is composite and let a
non-trivial factorization be 3 = αβ. Taking the norm of both sides, 9 = N(α) N(β). Since
the factorization is non-trivial, N(α) > 1 and N(β) > 1. Therefore N(α) = 3. Writing
α = a + bi, we get a
2 + b
2 = 3. There are no integers a and b satisfying that equation, so
we have a contradiction. Thus, 3 has only trivial factorizations in Z[i], so 3 is prime in Z[i].
(In Corollary 9.4, we will see any prime p in Z
+ satisfying p ≡ 3 mod 4 is prime in Z[i].)
While we don’t really need to construct primes explicitly in Z[i] in order to prove unique
factorization in Z[i], it is good to have some method of generating Gaussian primes, if only
to get a feel for what they look like by comparison with prime numbers. The following test
for primality in Z[i], using the norm, provides a way to generate many Gaussian primes if
we can recognize primes in Z.

Kết quả (Việt) 1:

Ví dụ, là một factorization nhỏ của 7 + i là i(1−7i). Một factorization không nhỏ của 7 + ilà (1 − 2i)(1 + 3i). Một factorization không nhỏ của 5 là (1 + 2i) (1 − 2i). Làm thế nào thú vị: 5Thủ tướng chính phủ trong Z nhưng nó là hỗn hợp trong Z [i]. Ngay cả 2 là hỗn hợp trong Z [i]: 2 = (1 + i)(1 − i).Tuy nhiên, 3 là số nguyên tố trong Z [i], do đó, một số số nguyên tố trong Z trú prime Z [i] trong khi những người khác thì không.Hiển thị 3 là số nguyên tố trong Z [i], chúng tôi tranh luận bởi mâu thuẫn. Giả sử nó là hỗn hợp và để cho mộtfactorization không nhỏ là 3 = αβ. Dùng chuẩn của cả hai bên, 9 = N(α) N(β). Kể từ khifactorization là không tầm thường, N(α) > 1 và N(β) > 1. Do đó N(α) = 3. Bằng văn bảnΑ = a + bi, chúng tôi nhận được một2 + b2 = 3. Không có không có nguyên một và b thỏa mãn phương trình đó, vì vậychúng tôi có một mâu thuẫn. Vì vậy, 3 có tầm thường chỉ factorizations trong Z [i], do đó, 3 là số nguyên tố trong Z [i].(Trong hệ luỵ 9.4, chúng ta sẽ thấy bất kỳ số nguyên tố p Z+ thỏa mãn p ≡ 3 mod 4 là số nguyên tố trong Z[i].)Trong khi chúng tôi không thực sự cần phải xây dựng số nguyên tố một cách rõ ràng trong Z [i] để chứng minh độc đáofactorization trong Z [i], nó là tốt để có một số phương pháp tạo ra nguyên tố Gauss, nếu chỉđể có được một cảm giác cho những gì họ trông giống như nguồn số nguyên tố. Các thử nghiệmđối phương trong Z [i], bằng cách sử dụng các định mức, cung cấp một cách để tạo ra nhiều số nguyên tố Gauss nếuchúng tôi có thể nhận ra các nguyên tố trong Z.

Kết quả (Việt) 2:

Ví dụ, một nhân tử tầm thường của 7 + i là i (1-7i). Một nhân tử không tầm thường của 7 + i
là (1 - 2i) (1 + 3i). Một nhân tử không tầm thường của 5 (1 + 2i) (1 - 2i). Làm thế nào thú vị: 5
là số nguyên tố trong Z nhưng nó là hợp trong Z [i]. Ngay cả 2 là composite trong Z [i]. 2 = (1 + i) (1 - i)
Tuy nhiên, 3 là số nguyên tố trong Z [i], vì vậy một số nguyên tố trong Z nghỉ chính trong Z [i] trong khi những người khác thì không .
Để hiển thị 3 là số nguyên tố trong Z [i], chúng tôi lập luận của mâu thuẫn. Giả sử nó là hỗn hợp và để cho một
nhân tử không tầm thường là 3 = αβ. Lấy tiêu chuẩn của cả hai bên, 9 = N (α) N (β). Kể từ khi
các nhân tử là không tầm thường, N (α)> 1 và N (β)> 1. Do đó N (α) = 3. Viết
α = a + bi, chúng ta có được một
2 + b
2 = 3. Không có số nguyên a và b thỏa mãn phương trình đó, vì vậy
chúng tôi có một mâu thuẫn. Như vậy, 3 chỉ có factorizations tầm thường trong Z [i], do đó 3 là số nguyên tố trong Z [i].
(Trong Hệ luỵ 9.4, chúng ta sẽ thấy bất kỳ p nguyên tố trong Z
+ thỏa mãn p ≡ 3 mod 4 là số nguyên tố trong Z [i] .)
trong khi chúng ta không thực sự cần phải xây dựng các số nguyên tố một cách rõ ràng trong Z [i] để chứng minh độc đáo
nhân tử trong Z [i], nó là tốt để có một số phương pháp tạo ra các số nguyên tố Gaussian, nếu chỉ
để có được một cảm giác về những gì họ trông giống như so sánh với các số nguyên tố. Các xét nghiệm sau đây
để tính nguyên trong Z [i], bằng cách sử dụng tiêu chuẩn, cung cấp một cách để tạo ra nhiều nguyên tố Gaussian nếu
chúng ta có thể nhận ra các số nguyên tố trong Z.