the Z[i]-multiples of 2 + 2i are th

the Z[i]-multiples of 2 + 2i are the integral combinations of 2 + 2i and −2 + 2i, which form
two edges of the heavyset square in Figure 3.
Figure 3. Z[i]-multiples of 2 + 2i
What is a set of representatives for Z[i]/(2 + 2i)? Translating from one square to the
same relative position in another square is the same as adding a Gaussian multiple of 2+ 2i,
so every Gaussian integer is congruent modulo 2 + 2i to a Gaussian integer inside or on
one of the squares. Points in the same relative position on opposite edges of a square are
congruent since adding 2 + 2i or −2 + 2i takes us from one edge to another. We didn’t
have to worry about this issue for modulus 1 + 2i because there were no Gaussian integers
on the edges of squares in Figure 2 except for vertices. Taking the edge identifications into
account, a set of representatives for Z[i]/(2 + 2i) is all the Gaussian integers inside a square
and on two adjacent edges of the square, with only one vertex counted. Using the square
with edges 2 + 2i and −2 + 2i, we get the 8 representatives
0, i, 2i, 3i, 1 + i, 1 + 2i, −1 + i, −1 + 2i.
For example, 6+i ≡ 3i mod 2+ 2i since 6+i and 3i are in the same relative position within
their squares in Figure 3.
Unlike in Figure 2, where ordinary integers can be used as representatives, we can’t
represent Z[i]/(2 + 2i) only using ordinary integers, because Z only represents 4 of the 8
congruence classes mod 2 + 2i.
Figure 4 is a picture of Z[i]/(3). The squares have vertices that are Z[i]-multiples of 3,
which all look like 3(m+ni) = m·3+n·3i where m and n are in Z. A set of representatives
for Z[i]/(3) can be formed from the Gaussian integers inside and on the square with edges
3 and 3i. Using two adjacent edges (and just one of the vertices), we have 9 representatives
0, 1, 2, i, 1 + i, 2 + i, 2i, 1 + 2i, 2 + 2i.
Finally, in Figure 5, we draw one square for modulus 3 + i. Its two edges with a vertex at
0 are the vectors 3+i = (3, 1) and (3+i)i = −1+3i = (−1, 3). There are 10 representatives:
9 in the square and one vertex.
Algebraic properties of modular arithmetic in Z carry over to Z[i] practically word-forword.

Kết quả (Việt) 1:

Z [i]-bội số của 2 + 2i là sự kết hợp không thể tách rời của 2 + 2i và −2 + 2i, mà hình thứchai cạnh của hình vuông heavyset trong hình 3.Hình 3. Z [i]-bội số của 2 + 2iMột bộ đại diện cho Z [i] là gì /(2 + 2i)? Dịch từ một hình vuông với cácvị trí tương đối trong một hình vuông là tương tự như việc thêm một nhiều Gaussian của 2 + 2i,do đó, mỗi số nguyên Gauss là đồng dư modulo 2 + 2i để một số nguyên Gauss bên trong, hoặc trênmột trong các hình vuông. Điểm ở vị trí tương đối giống nhau trên các cạnh đối diện của một hình vuôngđồng dư kể từ khi chúng tôi thêm 2 + 2i hoặc −2 + 2i sẽ từ một cạnh khác. Chúng tôi đã khôngphải lo lắng về vấn đề này cho mô đun 1 + 2i vì đã có không có số nguyên Gausstrên các cạnh của hình vuông trong hình 2 ngoại trừ đỉnh. Dùng các giấy tờ chứng cạnh thànhtài khoản, một bộ đại diện cho Z [i] /(2 + 2i) là tất cả các số nguyên Gauss bên trong một hình vuôngvà trên hai cạnh bên cạnh của hình vuông, với chỉ có một đỉnh được tính. Bằng cách sử dụng các hình vuôngvới cạnh 2 + 2i và −2 + 2i, chúng tôi nhận được các đại diện 80, tôi 2i, 3i, 1 + i 1 + 2i, −1 + i, −1 + 2i.Ví dụ: 6 + tôi ≡ 3i mod 2 + 2i kể từ khi 6 + i và 3i ở vị trí tương đối giống nhau trongcác ô vuông trong hình 3.Không giống như trong hình 2, nơi nguyên bình thường có thể được sử dụng như đại diện, chúng ta không thểđại diện cho Z [i] (2 + 2i) chỉ sử dụng nguyên bình thường, vì Z chỉ đại diện cho 4 / 8congruence lớp mod 2 + 2i.Hình 4 là một hình ảnh của Z[i]/(3). Các hình vuông có đỉnh là Z [i]-bội số của 3,Tất cả đều trông giống như 3(m+ni) = m·3 + n·3i, m và n đâu trong Z. Một tập hợp các đại diệncho Z[i]/(3) có thể được hình thành từ Gaussian nguyên bên trong và trên hình vuông với cạnh3 và 3i. Sử dụng hai cạnh kề (và chỉ một trong số các đỉnh), chúng ta có 9 đại diện0, 1, 2, tôi, 1 + i, 2 + i, 2i, 1 + 2i, 2 + 2i.Cuối cùng, trong hình 5, chúng ta vẽ một hình vuông cho mô đun 3 + i. Hai cạnh với một đỉnh tại0 là các vectơ 3 + i = (3, 1) và (3 + tôi) tôi = −1 + 3i = (−1, 3). Hiện có 10 đại diện:9 trong các hình vuông và một đỉnh.Các thuộc tính đại số của số học mô-đun trong Z mang đến Z [i] thực tế từ forword.

Kết quả (Việt) 2:

Z [i] -multiples của 2 + 2i là sự kết hợp không thể thiếu của 2 + 2i và -2 + 2i, mà hình thức
hai cạnh của hình vuông heavyset trong hình 3.
Hình 3. Z [i] -multiples của 2 + 2i
một tập hợp các đại diện cho Z [i] / (2 + 2i) là gì? Dịch từ một vuông góc với
vị trí tương đối giống nhau trong hình vuông khác là giống như thêm một nhiều Gaussian của 2+ 2i,
như vậy mỗi số nguyên Gaussian là đồng dư modulo 2 + 2i để một số nguyên Gaussian bên trong hoặc trên
một trong các hình vuông. Điểm ở vị trí tương đối giống nhau trên các cạnh đối diện của một hình vuông là
đồng dư từ khi thêm 2 + 2i hoặc -2 + 2i đưa chúng ta từ một cạnh khác. Chúng tôi không
phải lo lắng về vấn đề này cho mô đun 1 + 2i vì không có số nguyên Gaussian
trên các cạnh của hình vuông trong hình 2, ngoại trừ cho các đỉnh. Dành tố về cạnh vào
tài khoản, một bộ đại diện cho Z [i] / (2 + 2i) là tất cả các số nguyên Gaussian bên trong một hình vuông
và hai cạnh kề của hình vuông, với chỉ một đỉnh tính. Sử dụng các hình vuông
có cạnh 2 + 2i và -2 + 2i, chúng tôi nhận được 8 đại diện
0, i, 2i, 3i, 1 + i, 1 + 2i, -1 + i, -1 + 2i.
Ví dụ, 6+ i ≡ 3i mod 2+ 2i kể từ 6 + i và 3i đang ở vị trí tương đối giống nhau trong
hình vuông của họ trong hình 3.
không giống như trong hình 2, trong đó số nguyên thường có thể được sử dụng như là đại diện, chúng ta không thể
đại diện cho Z [i] / (2 + 2i) chỉ sử dụng số nguyên bình thường, vì Z chỉ đại diện cho 4 của 8
lớp đồng dư mod 2 + 2i.
hình 4 là một hình ảnh của Z [i] / (3). Các hình vuông có các đỉnh Z [i] -multiples 3,
mà tất cả trông như 3 (m + ni) = m · 3 + n · 3i đó m và n là trong Z. Một tập hợp các đại diện
cho Z [i] / (3) có thể được hình thành từ các số nguyên Gaussian bên trong và trên các hình vuông có cạnh
3 và 3i. Sử dụng hai cạnh kề nhau (và chỉ một trong những đỉnh), chúng tôi có 9 đại diện
0, 1, 2, i, 1 + i, 2 + i, 2i, 1 + 2i, 2 + 2i.
Cuối cùng, trong hình 5, chúng tôi vẽ một hình vuông cho mô đun 3 + i. Hai cạnh của nó với một đỉnh tại
0 là các vector 3 + i = (3, 1) và (3 + i) i = -1 + 3i = (-1, 3). Có 10 đại diện:
9 trong hình vuông và một đỉnh.
Tính chất đại số của số học modula trong Z mang theo đến Z [i] thực tế từ-forword.