Exercise 170. Strengthen the lemma

Exercise 170. Strengthen the lemma above and show: if v is reachable from s then a
shortest path from s to v exists iff there is no negative cycle that is reachable from s
and from which one can reach v.
For two nodes s and v, we define the shortest path distance µ(s, v) from s to v as

+∞if there is no path from s to v

µ(s, v) := −∞if there is no shortest path from s to v


c(a shortest path from s to v) otherwise.
Observe that if v is reachable from s, but there is no shortest path from s to v,
then there are paths of arbitrarily large negative cost. Thus it makes sense to define
µ(s, v) = −∞ in this case. Shortest paths have further nice properties which we
state as exercises:
Exercise 171 (Subpaths of Shortest Paths.). Show that subpaths of shortest paths
are themselves shortest paths, i.e., if a path of the form pqr is a shortest path than q
is also a shortest path.
Exercise 172 (Shortest Path Trees.). Assume that all nodes are reachable from s
and that there are no negative cycles. Show that there is an n-node tree T rooted as
s such that all tree paths are shortest paths. Hint: assume first that shortest paths are
unique and consider the subgraph T consisting of all shortest paths starting at s. Use
the preceding exercise to prove that T is a tree. Extend to the case when shortest
paths are not unique.
1
i > (c(p) + c(q) − c(P ))/|c(C)| will do.

192
10 Shortest Paths
Our strategy for finding shortest paths from a source node s is a generalization of
the BFS algorithm in Figure 9.3. We maintain two NodeArrays d and parent. Here
d[v] contains our current knowledge about the distance from s to v and parent[v]
stores the predecessor of v on the currently shortest path to v. We usually refer to
d[v] as the tentative distance of v. Initially, d[s] = 0 and parent[s] = s. All other
nodes have infinite distance and no parent.
The natural way to improve distance values is to propagate distance information
across edges. If there is a path from s to u of cost d[u] and e = (u, v) is an edge out
of u, then there is a path from s to v of cost d[u] + c(e). If this cost is smaller than
the best previously known distance d[v], we update d and parent accordingly. This
process is called edge relaxation.
Procedure relax(e = (u, v) : Edge)
if d[u] + c(e) < d[v] then d[v] := d[u] + c(e);
parent[v] := u
Lemma 26. After any sequence of edge relaxations: If d[v] < ∞, then there is a
path of length d[v] from s to v.
Proof. We use induction on the number of edge relaxations. The claim is certainly
true before the first relaxation. The empty path is a path of length zero from s to v and
all other nodes have infinite distance. Consider next a relaxation of edge e = (u, v).
By induction hypothesis, there is a path p of length d[u] from s to u and a path q of
length d[v] from s to v. If d[u] + c(e) ≥ d[v], there is nothing to show. Otherwise,
pe is a path of length d[u] + c(e) from s to v.

Kết quả (Việt) 1:

Tập thể dục 170. Tăng cường bổ đề ở trên và hiển thị: nếu v là thể truy cập từ s sau đó, một
đường đi ngắn nhất từ s đến v tồn tại iff có là không có chu kỳ tiêu cực có thể truy cập từ s
và từ đó một có thể tiếp cận
cho hai nút s và v, chúng tôi define ngắn nhất con đường khoảng cách μ (s, v) từ s đến v như

 ∞if có là không có đường đi từ s đến v

µ(sv): = −∞if có là không có đường đi ngắn nhất từ s đến v


c (một đường đi ngắn nhất từ s đến v) khác.
quan sát mà nếu v là thể truy cập từ s, nhưng không có đường dẫn ngắn nhất từ s đến v,
sau đó, có các đường dẫn tùy tiện lớn phí tiêu cực. Do đó nó làm cho cảm giác để define
μ (s, v) = −∞ trong trường hợp này. Con đường ngắn nhất có thêm tài sản tốt đẹp mà chúng tôi
nhà nước như bài tập:
tập thể dục 171 (nét của ngắn nhất Paths.). Hiển thị đó nét của đường đi ngắn nhất
có phải mình đường dẫn ngắn nhất, tức là, nếu một con đường của pqr mẫu là một con đường ngắn nhất hơn q
cũng là một đường ngắn nhất
tập thể dục 172 (cây con đường ngắn nhất.). Cho rằng tất cả các nút có thể truy cập từ s
và rằng không có không có chu kỳ tiêu cực. Hiển thị là một cây n-nút T bắt nguồn từ như
s như vậy mà tất cả cây đường dẫn là đường đi ngắn nhất. Gợi ý: giả định chính mà con đường ngắn nhất
độc đáo và xem xét gọn T bao gồm đường dẫn ngắn nhất tất cả bắt đầu từ s. sử dụng
tập thể dục trước để chứng minh rằng T là một cây. Mở rộng trường hợp khi ngắn nhất
đường dẫn không phải là duy nhất.
1
tôi > (c(p) c(q) − c (P)) / |c (C) | sẽ làm

192
con đường ngắn nhất 10
chiến lược của chúng tôi cho finding đường đi ngắn nhất từ một nguồn nút s là một tổng quát của
thuật toán BFS trong hình 9.3. Chúng tôi duy trì hai NodeArrays d và phụ huynh. Ở đây
d [v] có kiến thức hiện tại của chúng tôi về khoảng cách từ s đến v và phụ huynh [v]
mua sắm tiền thân của v trên con đường ngắn nhất hiện nay để v. Chúng tôi thường đề cập đến
d [v] như cách v, dự kiến. Ban đầu, d [s] = 0 và phụ huynh [s] = s. Tất cả các
nút có khoảng cách infinite và không có phụ huynh.
Tự nhiên cách để cải thiện khoảng cách giá trị là để truyền bá thông tin khoảng cách
trên cạnh. Nếu có một đường đi từ s tới bạn về chi phí d [u] và e = (u, v) là một cạnh trong
của bạn, sau đó có là một đường đi từ s đến v của chi phí d [u] c(e). Nếu chi phí này là nhỏ hơn
tốt nhất trước đây được biết đến khoảng cách d [v], chúng tôi Cập Nhật d và phụ huynh cho phù hợp. Điều này
quá trình được gọi là cạnh thư giãn.
thủ tục thư giãn (e = (u, v): Edge)
nếu d [u] c(e) < d [v] sau đó d [v]: = d [u] c (e);
phụ huynh [v]: = u
bổ đề 26. Sau khi bất kỳ chuỗi các cạnh thư giãn: nếu d [v] < ∞, sau đó có là một
các đường dẫn của chiều dài d [v] từ s để c.
bằng chứng. Chúng tôi sử dụng cảm ứng về số cạnh thư giãn. Yêu cầu bồi thường là chắc chắn
đúng trước khi thư giãn chính. Đường dẫn có sản phẩm nào là một con đường của chiều dài zero từ s đến v và
Tất cả các nút khác có khoảng cách infinite. Xem xét tiếp theo một thư giãn cạnh e = (u, v).
bởi giả thuyết cảm ứng, có là một p đường dẫn của chiều dài d [u] từ s cho bạn và một con đường q của
chiều dài d [v] từ s đến v. Nếu d [u] c(e) ≥ d [v], không có gì để hiển thị. Nếu không,
pe là một con đường của chiều dài d [u] c(e) từ s đến v.

Kết quả (Việt) 2:

Tập thể dục 170 Tăng cường bổ đề trên và hiển thị:. Nếu v là truy cập từ s sau đó một
con đường ngắn nhất từ s tới v tồn tại khi và chỉ khi không có chu kỳ tiêu cực có thể truy cập từ s
và từ đó người ta có thể đạt v
Đối với hai nút s và v , chúng tôi xác định khoảng cách đường đi ngắn nhất μ (s, v) từ s tới v như

 + ∞ nếu không có đường đi từ s đến v

μ (s, v): = - ∞ nếu không có đường đi ngắn nhất từ s v


c (một con đường ngắn nhất từ s tới v) khác.
Quan sát rằng nếu v là truy cập từ s, nhưng không có đường đi ngắn nhất từ s tới v,
sau đó có con đường chi phí tiêu cực tùy tiện lớn. Do đó nó làm cho tinh thần để xác định
μ (s, v) = - ∞ trong trường hợp này. Đường đi ngắn nhất có đặc tính thêm tốt đẹp mà chúng tôi
nêu như bài tập:
Tập thể dục 171 (nét thành phần của đường dẫn ngắn nhất.). Cho thấy nét thành phần của đường đi ngắn nhất
là mình đường đi ngắn nhất, tức là, nếu một đường dẫn của hình thức pqr là một con đường ngắn nhất so với q
cũng là một con đường ngắn nhất.
Tập thể dục 172 (Cây con đường ngắn nhất.). Giả định rằng tất cả các nút có thể truy cập từ s
và rằng không có chu kỳ tiêu cực. Cho thấy có một cây n nút T bắt nguồn từ như
s như vậy mà tất cả các con đường hình cây là đường đi ngắn nhất. Gợi ý: giả định đầu tiên mà đường đi ngắn nhất là
độc đáo và xem xét các đồ thị con T bao gồm tất cả các đường đi ngắn nhất bắt đầu từ s. Sử dụng
các bài tập trước để chứng minh rằng T là một cây. Mở rộng đến các trường hợp khi ngắn
con đường không phải là duy nhất.
1
i> (c (p) + c (q) - c (P)) / | c (C) | sẽ làm. 192 10 Shortest Path chiến lược của chúng tôi cho việc tìm kiếm đường đi ngắn nhất từ một nút nguồn s là một sự tổng quát của thuật toán BFS trong hình 9.3. Chúng tôi duy trì hai NodeArrays d và phụ huynh. Đây d [v] có kiến thức hiện tại của chúng tôi về khoảng cách từ s tới v và phụ huynh [v] các cửa hàng tiền thân của v trên con đường hiện ngắn nhất để v Chúng tôi thường gọi d [v] là khoảng cách dự kiến của v Ban đầu , d [s] = 0 và phụ huynh [s] = s. Tất cả các nút có khoảng cách vô hạn và không có cha mẹ. Cách tự nhiên để cải thiện giá trị khoảng cách là tuyên truyền thông tin từ xa trên các cạnh. Nếu có một đường đi từ s đến u chi phí d [u] và e = (u, v) là một cạnh ra của u, sau đó có một đường đi từ s đến v chi phí d [u] + c (e) . Nếu chi phí này nhỏ hơn là tốt nhất được biết đến trước đây khoảng cách d [v], chúng tôi cập nhật d và phụ huynh cho phù hợp. Này được gọi là quá trình cạnh thư giãn. Thủ tục thư giãn (e = (u, v): Edge) nếu d [u] + c (e) <d [v] sau đó d [v]: = d [u] + c (e ); mẹ [v]: = u Bổ đề 26 Sau khi bất kỳ chuỗi nới lỏng cạnh: Nếu d [v] <∞, sau đó có một. con đường của chiều dài d [v] từ s tới v Proof. Chúng tôi sử dụng cảm ứng trên số nới lỏng cạnh. Tuyên bố chắc chắn là đúng trước khi thư giãn đầu tiên. Con đường trống là một con đường dài không từ s tới v và tất cả các nút khác có khoảng cách vô hạn. Xem xét tới một thư giãn của cạnh e = (u, v). bởi giả thuyết quy nạp, có một con đường có chiều dài p d [u] từ s tới u và q con đường của chiều dài d [v] từ s tới v Nếu d [u] + c (e) ≥ d [v], không có gì để hiển thị là. Nếu không, pe là một con đường có chiều dài d [u] + c (e) từ s tới v