Lemma 1.31. For the logistic map F^

Lemma 1.31. For the logistic map F^(x) = px(1 — x), 1 < p < 3,
Ws(x*) = (0, 1) for x* = i-1.
We now turn our attention to periodic points. If x is a periodic point of period k under the map f, then its basin of attraction Ws(x) is its basin of attraction as a fixed point under the map fk. Hence Ws(x) = {x : lim (fk)n(x) = lim fkn(x) = x}. Let {x1 ,x2,...,xk} be a k-cycle
of a map f. Then clearly for i = j, Ws(xt) n Ws(xj) = 0. (Why?) More generally, if x is a periodic point of period r and y = x is a periodic point of period s, then Ws(x) n Ws(y) = 0 (Exercises 1.8, Problem 6).
Example 1.32. Consider the function f (x) = —x3. Then x* = 0 is the only fixed point. There is a 2-cycle { — 1,1} with f ( —1) = 1, f2( — 1) = —1. The cobweb diagram (Figure 1.37) shows that Ws(1) = (0, TO), Ws( — 1) =
( — TO, 0).

Kết quả (Việt) 2:

Bổ đề 1.31. Đối với bản đồ hậu cần F ^ (x) = px (1 - x), 1 <p <3,
Ws (x *) = (0, 1) cho x * = i-1.
Bây giờ chúng ta chuyển sự chú ý của chúng tôi đến các điểm định kỳ . Nếu x là một điểm định kỳ của thời kỳ k dưới bản đồ f, sau đó lưu vực của nó thu hút Ws (x) là lưu vực của nó thu hút như là một điểm cố định dưới fk bản đồ. Do đó Ws (x) = {x: lim (fk) n (x) = lim fkn (x) = x}. Hãy {x1, x2, ..., xk} là k-chu kỳ
của một bản đồ f. Sau đó, rõ ràng cho i = j, Ws (xt) n Ws (xj) = 0. (Tại sao?) Nói chung, nếu x là một điểm định kỳ của thời kỳ r và y = x là một điểm định kỳ của thời kỳ s, sau đó Ws ( x) n Ws (y) = 0 (bài tập 1.8, Problem 6).
Ví dụ 1.32. Hãy xem xét hàm f (x) = -x3. Sau đó x * = 0 là điểm cố định. Có 2 chu kỳ {- 1,1} với f (-1) = 1, f2 (- 1) = -1. Sơ đồ mạng nhện (Hình 1.37) cho thấy Ws (1) = (0, TO), Ws (- 1) =
(- TO, 0).