Partial Differential EquationsLectu

Partial Differential Equations
Lecture Notes
Erich Miersemann
Department of Mathematics
Leipzig University
Version October, 2012
2
Contents
1 Introduction 9
1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Equations from variational problems . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Equations of first order 25
2.1 Linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Quasilinear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 A linearization method . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Initial value problem of Cauchy . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Nonlinear equations in two variables . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Initial value problem of Cauchy . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Nonlinear equations in R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Hamilton-Jacobi theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Classification 63
3.1 Linear equations of second order . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 Normal form in two variables . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Quasilinear equations of second order . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.1 Quasilinear elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Systems of first order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Systems of second order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5 Theorem of Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.1 Appendix: Real analytic functions . . . . . . . . . . . 90
3
4 CONTENTS
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Hyperbolic equations 107
4.1 One-dimensional wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.1 Case n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2 Case n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Inhomogeneous equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 A method of Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5 Initial-boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5.1 Oscillation of a string . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5.2 Oscillation of a membrane . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.3 Inhomogeneous wave equations . . . . . . . . . . . . . 131
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 Fourier transform 141
5.1 Definition, properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.1 Pseudodifferential operators . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6 Parabolic equations 151
6.1 Poisson’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2 Inhomogeneous heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3 Maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.4 Initial-boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.1 Fourier’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.5 Black-Scholes equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7 Elliptic equations of second order 175
7.1 Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2 Representation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2.1 Conclusions from the representation formula . . . . . 179
7.3 Boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.1 Dirichlet problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.2 Neumann problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.3 Mixed boundary value problem . . . . . . . . . . . . . 183
7.4 Green’s function for 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.4.1 Green’s function for a ball . . . . . . . . . . . . . . . . 186
CONTENTS 5
7.4.2 Green’s function and conformal mapping . . . . . . . 190
7.5 Inhomogeneous equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6 CONTENTS
Preface
These lecture notes are intented as a straightforward introduction to partial
differential equations which can serve as a textbook for undergraduate and
beginning graduate students.
For additional reading we recommend following books: W. I. Smirnov [21],
I. G. Petrowski [17], P. R. Garabedian [8], W. A. Strauss [23], F. John [10],
L. C. Evans [5]

Kết quả (Việt) 1:

Phương trình vi phân riêng phầnGhi chú bài giảngErich MiersemannPhòng toán họcĐại học LeipzigPhiên bản tháng 10, năm 20122Nội dung1 giới thiệu 91.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 phương trình vấn đề variational.............. 151.2.1 phương trình vi phân bình thường............. 151.2.2 phương trình vi phân riêng phần.............. 161.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 phương trình của đặt hàng lần thứ 252.1 phương trình tuyến tính......................... 252.2 quasilinear phương trình...................... 312.2.1 một phương pháp linearization................. 322.2.2 ban đầu giá trị vấn đề của Cauchy............. 332,3 các phương trình phi tuyến trong hai biến.............. 402.3.1 vấn đề giá trị ban đầu của Cauchy............. 482.4 các phương trình phi tuyến trong Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Hamilton-Jacobi lý thuyết..................... 532.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 phân loại 633.1 phương trình tuyến tính của lệnh thứ hai............... . 633.1.1 dạng chuẩn trong hai biến.............. 693.2 quasilinear phương trình của lệnh thứ hai.............. 733.2.1 phương trình elip quasilinear.............. 733.3 các hệ thống đầu tiên đặt hàng...................... . 743.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 các hệ thống của lệnh thứ hai..................... 823.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5 định lý Cauchy-Kovalevskaya............... . 843.5.1 phụ lục: Thực sự phân tích chức năng.......... 9034 NỘI DUNG3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Phương trình hyperbol 4 1074.1 phương trình sóng chiều................. 1074.2 cao kích thước........................ 1094.2.1 Case n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2.2 Case n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3 inhomogeneous phương trình..................... 1174.4 một phương pháp của Riemann...................... 1204,5 vấn đề về giá trị ban đầu-ranh giới................. 1254.5.1 dao động của một chuỗi Hider 1254.5.2 dao động của một màng............... . 1284.5.3 phương trình sóng inhomogeneous............. 1314.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365 Fourier transform 1415.1 nghĩa, tính chất...................... . 1415.1.1 nhà điều hành pseudodifferential............... 1465.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496 Parabolic equations 1516.1 Poisson’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2 Inhomogeneous heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3 Maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.4 Initial-boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.4.1 Fourier’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.4.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.5 Black-Scholes equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707 Elliptic equations of second order 1757.1 Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.2 Representation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2.1 Conclusions from the representation formula . . . . . 1797.3 Boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3.1 Dirichlet problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3.2 Neumann problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.3.3 Mixed boundary value problem . . . . . . . . . . . . . 1837.4 Green’s function for 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.4.1 Green’s function for a ball . . . . . . . . . . . . . . . . 186CONTENTS 57.4.2 Green’s function and conformal mapping . . . . . . . 1907,5 inhomogeneous phương trình..................... 1907.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956 NỘI DUNGLời nói đầuNhững ghi chú bài giảng là intented như là một giới thiệu đơn giản để một phầnphương trình vi phân có thể phục vụ như là một cuốn sách cho bậc đại học vàbắt đầu từ sinh viên tốt nghiệp.Để đọc thêm, chúng tôi khuyên bạn sau sách: W. I. Smirnov [21],I. G. Petrowski [17], P. R. Garabedian [8], W. A. Strauss [23], John F. [10],L. C. Evans [5]

Kết quả (Việt) 2:

Partial Differential Equations
Bài giảng Ghi chú
Erich Miersemann
Khoa Toán
Đại học Leipzig
Version Tháng Mười, 2012
2
Nội dung
1 Giới thiệu 9
1.1 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Phương trình từ vấn đề biến phân. . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 phương trình vi phân thường. . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 phương trình vi phân từng phần. . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Các bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 phương trình đặt hàng đầu tiên 25
2.1 phương trình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Quasilinear phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Một phương pháp tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Vấn đề giá trị ban đầu của Cauchy. . . . . . . . . . . . . 33
2.3 phương trình phi tuyến trong hai biến. . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Vấn đề giá trị ban đầu của Cauchy. . . . . . . . . . . . . 48
2.4 phương trình phi tuyến trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Hamilton-Jacobi lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Các bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Phân loại 63
3.1 phương trình tuyến tính của lệnh thứ hai. . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 Hình thức bình thường trong hai biến. . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Quasilinear phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.1 Quasilinear phương trình elliptic. . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Hệ thống đặt hàng đầu tiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.1 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Hệ thống lệnh thứ hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5 Định lý Cauchy-Kovalevskaya. . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.1 Phụ lục: chức năng Bất phân tích. . . . . . . . . . . 90
3
4 NỘI DUNG
3.6 Các bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Hyperbolic phương trình 107
phương trình sóng 4.1 Một chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 chiều cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.1 Trường hợp n = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2 Trường hợp n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4,3 phương trình không đồng nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Một phương pháp của Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5 vấn đề giá trị ban đầu biên giới. . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5.1 Dao động của một chuỗi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5.2 Dao động của màng. . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.3 phương trình sóng không đồng nhất. . . . . . . . . . . . . 131
4.6 Các bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 biến đổi Fourier 141
5.1 Định nghĩa, tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.1 khai thác Pseudodifferential. . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2 Các bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6 Parabolic phương trình 151
6.1 công thức Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2 phương trình nhiệt không đồng nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3 nguyên tắc tối đa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.4 vấn đề giá trị ban đầu biên giới. . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.1 Phương pháp Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 Tính độc đáo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.5 Black-Scholes phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.6 Các bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7 phương trình Elliptic của lệnh thứ hai 175
7.1 giải pháp cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2 Đại diện công thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2.1 Kết luận từ công thức đại diện. . . . . 179
7.3 vấn đề giá trị biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.1 toán Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.2 Neumann vấn đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.3 Mixed toán biên. . . . . . . . . . . . . 183
7.4 chức năng của Green cho 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.4.1 Chức năng của Green cho một quả bóng. . . . . . . . . . . . . . . . 186
NỘI DUNG 5
7.4.2 Green chức năng và bảo giác lập bản đồ. . . . . . . 190
7,5 phương trình không đồng nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 Các bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6 LỤC
Lời nói đầu
Các bài giảng được intented như một giới thiệu đơn giản để một phần
phương trình vi phân có thể phục vụ như một cuốn sách giáo khoa cho bậc đại học và
sinh viên đại học mới bắt đầu.
Để có thêm thông chúng tôi khuyên bạn nên cuốn sách sau đây: WI Smirnov [21],
IG Petrowski [17], PR Garabedian [8], WA Strauss [23], John F. [10],
LC Evans [5]