with initial condition uðx;0Þ¼3 2þ1

with initial condition uðx;0Þ¼3 2þ1 2 tanhx 2; 25 6 x 6 17 and the boundary conditions are ðuxÞð25;tÞ ¼0; ðuxÞð17;tÞ ¼0: The exact solution of the above problem is given by
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t=0.8
t=0.2
t=0.4
t=0.6
t=1.0
Fig. 2. Exact and approximate solution for t 6 1:0 ðh¼0:8; k ¼0:1Þ.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
Approximate solution
x
u (x, t)
Fig. 3. Approximate solution profile for t 6 3:0 ðh¼0:8; k ¼0:1Þ.
4622 R.C. Mittal, R.K. Jain/Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 17 (2012) 4616–4625
uðx;tÞ¼ 3 2þ
1 2
tanh
1 2ðxþ3tÞ  ; 25 6 x 6 17:
In numerical computation, we take h¼0:2 and time step size k¼0:001. The results are computed for different time levels. Comparisons of approximate and exact solutions at different nodes x and different time levels are reported in Table 8 and their L1and L2 error norms are reported in Table 9. The graphs of exact and approximate solutions for different time levels are depicted in Fig. 5. From these tables and graphs it is clearly seen that present method produce numerical results in good agreement with the exact solutions.
Table 6 Comparison of approximate and exact solutions for t 6 1:5. xt ¼0:5 t ¼1:0 t ¼1:5 Present method Exact Present method Exact Present method Exact 8.00 0.99146 0.99148 0.99623 0.99628 0.99834 0.99838 6.00 0.97334 0.97334 0.98828 0.98828 0.99488 0.99488 4.00 0.91895 0.91896 0.96351 0.96351 0.98389 0.98389 2.00 0.77355 0.77358 0.89077 0.89080 0.95020 0.95020 0.00 0.48591 0.48589 0.70749 0.70750 0.85402 0.85404 2.00 0.17675 0.17669 0.39107 0.39096 0.62947 0.62942 4.00 0.03458 0.03460 0.11877 0.11877 0.29985 0.29976 6.00 0.00450 0.00451 0.02015 0.02021 0.07610 0.07621 8.00 0.00049 0.00049 0.00246 0.00246 0.01153 0.01151
Table 7 L1 and L2 error norms ðh¼1:0; k¼0:01Þ. Errors t ¼0:5 t ¼1:0 t ¼1:5 t ¼2:0 L1 1.10E03 1.75E03 1.86E03 3.00E03 L2 1.76E03 2.92E03 3.67E03 4.50E03

Kết quả (Việt) 1:

với điều kiện ban đầu uðx; 0Þ¼3 2þ1 2 tanhx 2; 25 6 x 6 17 và các điều kiện biên là ðuxÞð 25; tÞ ¼0; ðuxÞð17; tÞ ¼0: các giải pháp chính xác của vấn đề nêu trên được đưa ra bởi-8 -6 -4-2 0 2 4 6 8 0.40,50,60,70.80.91 t = 0,8t = 0,2t = 0.4t = 0.6t = 1,0Hình 2. Chính xác và xác định các giải pháp cho t 6 1:0 ðh¼0:8; k ¼0:1Þ.00,511.522.53-8-6-4-2024680.40,50,60,70.80.91tGiải pháp gần đúngxu (x, t)Hình 3. Xấp xỉ giải pháp profile cho t 6 3:0 ðh¼0:8; k ¼0:1Þ.4622 R.C. Mittal, trâm Jain/thị phi tuyến Sci Numer Simulat 17 (2012) 4616-4625uðx; tÞ¼ 3 2þ1 2tánh1 2ðxþ3tÞ; 25 6 x 6 17:Trong số tính toán, chúng tôi có h¼0:2 và thời gian bước kích thước k¼0:001. Các kết quả được tính cho thời gian khác nhau cấp. So sánh các giải pháp gần đúng và chính xác tại các nút khác nhau x và khác cấp thời gian được báo cáo trong bảng 8 và chỉ tiêu của lỗi L1and L2 được báo cáo trong bảng 9. Đồ thị của các giải pháp chính xác và gần đúng cho các cấp thời gian khác nhau được mô tả trong hình 5. Từ các bảng biểu và đồ thị đó được thấy rõ trình bày phương pháp sản xuất số kết quả trong các thỏa thuận tốt với các giải pháp chính xác.So sánh bảng 6 giải pháp gần đúng và chính xác cho t 6 1:5. XT ¼0:5 t ¼1:0 t ¼1:5 phương pháp trình bày chính xác hiện nay phương pháp chính xác hiện nay phương pháp chính xác 8,00 0.99146 0.99148 0.99623 0.99628 0.99834 0.99838 6,00 0.97334 0.97334 0.98828 0.98828 0.99488 0.99488 4,00 0.91895 0.91896 0.96351 0.96351 0.98389 0.98389 2,00 0.77355 0.77358 0.89077 0.89080 0.95020 0.95020 0.00 0.48591 0.48589 0.70749 0.70750 0.85402 0.85404 2,00 0.17675 0.17669 0.39107 0.39096 0.62947 0.62942 4,00 0.03458 0.03460 0.11877 0.11877 0.29985 0.29976 6,00 0.00450 0.00451 0.02015 0.02021 0.07610 0.07621 8,00 0.00049 0.00049 0.00246 0.00246 0.01153 0.01151Bảng 7 L1 và L2 lỗi chỉ tiêu ðh¼1:0; k¼0:01Þ. Lỗi t ¼0:5 t ¼1:0 t ¼1:5 t ¼2:0 L1 1.10E 03 1.75E 03 1.86E 03 3.00E 03 L2 1.76E 03 2.92E 03 3.67E 03 4.50E 03

Kết quả (Việt) 2:

với UDX điều kiện ban đầu; 0Þ¼3 2þ1 2 tanhx 2; ? 6 25 x 6 17 và các điều kiện biên là ðuxÞð 25;? TTH ¼0; ðuxÞð17; TTH ¼0: Các giải pháp chính xác của vấn đề nêu trên được đưa ra bởi
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t = 0,8
t = 0,2
t = 0,4
t = 0,6
t = 1.0
Sung. 2. Giải pháp chính xác và gần đúng cho t 6 1: 0 ðh¼0: 8; k ¼0:. 1th
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t
giải pháp xấp xỉ
x
u (x, t)
Hình. 3. Giải pháp ước pro fi le cho t 6 3: 0 ðh¼0: 8; k ¼0:. 1th
4622 RC Mittal, RK Jain / Commun phi tuyến Sci numer Simulat 17 (2012) 4616-4625
UDX; tÞ¼ 3 2th
1 2
tanh
1 2ðxþ3tÞ ?? ; ? 25 6 x 6 17:
Trong tính toán số, chúng ta hãy h¼0: 2 và thời gian kích thước bước k¼0: 001. Các kết quả được tính toán cho các mức thời gian khác nhau. So sánh các giải pháp gần đúng và chính xác tại các nút x khác nhau và mức thời gian khác nhau được trình bày trong Bảng 8 và chỉ tiêu lỗi L1and L2 của họ được báo cáo trong Bảng 9. Các đồ thị của các giải pháp chính xác và gần đúng cho các mức thời gian khác nhau được mô tả trong hình. 5. Từ các bảng và đồ thị nó được nhìn thấy rõ ràng rằng phương pháp hiện nay tạo ra kết quả tính toán phù hợp tốt với các giải pháp chính xác.
Bảng 6 So sánh các giải pháp gần đúng và chính xác cho t 6 1: 5. xt ¼0: 5 t ¼1: 0 t ¼1: 5 hiện tại phương pháp chính xác phương pháp hiện tại phương pháp chính xác hiện tại chính xác 8,00 0,99146 0,99148 0,99623 0,99628 0,99834 0,99838 6,00 0,97334 0,97334 0,98828 0,98828 0,99488 0,99488 0,91895 0,91896 0,96351 0,96351 0,98389 0,98389 4,00 2,00 0,77355 0,77358 0,89077 ??? 0,89080 0,95020 0,95020 0,00 0,48591 0,48589 0,70749 0,70750 0,85402 0,85404 2,00 0,17675 0,17669 0,39107 0,39096 0,62947 0,62942 4,00 0,03458 0,03460 0,11877 0,11877 0,29985 0,29976 6,00 0,00450 0,00451 0,02015 0,02021 0,07610 0,07621 8,00 0,00049 0,00049 0,00246 0,00246 0,01153 0,01151
Bảng 7 L1 và L2 chỉ tiêu lỗi ðh¼1: 0; k¼0: 01Þ. Lỗi t ¼0: 5 t ¼1: 0 t ¼1: 5 t ¼2: 0 L1 1.10E 03 1.75E 03 1.86E 03 3.00E 03 L2 1.76E 03 2.92E 03 3.67E 03 4.50E??????? 03