12.4 Form factors and structure fac

12.4 Form factors and structure factors
An important concept in the Fourier analysis of crystals is the division into "structure
factors" and "form factors." For generality, let the crystal be composed of different species
of atoms each labeled IC = 1, nspccics, and for each 1< there are r1" identical atoms at positions
rm , j : 1, n" in the unit cell. Any property of the crystal, e. g. the potential, can be written,

12.15)

where T denotes the set of translation vectors. It is straightforward (Exercise 12.2) to show
that the Fourier transform of (12.15) can be written as

12.16

where the structure factor for each species ic is

12.17)

and the form factor is4

(12.18)

The factors in (12.16)—(12.17) have been chosen so that V"(IG|) is defined in terms of a
"typical volume" S2" for each species ic, so that V"(|G|) is independent of the crystal. In
addition, the structure factor is defined so that S" (G : 0) = n". These are arbitrary — but
convenient- choices; other authors may use different conventions.
Equation (12.16) is particularly useful in cases where the potential is a sum of spherical
potentials in real space,

(12.19)

This always applies for nuclear potentials and bare ionic pseudopotentials. Often it is also
a reasonable approximation for the total crystal potential as the sum of spherical poten-
tials around each nucleus.5 Using the well-known expansion of plane waves in spherical
I harmonics, (J.1), Eq. (12.18) can be written as [l04,4l3,470]

(12.20)

For a nuclear potential, V"(G) is simply

(12.21)

where the divergent G : 0 term is treated separately, as discussed in Sec. 3.2 and App. F.
For a bare pseudopotential, the potential form factor (12.20) is the transform of the pseu-
dopotential 14(r), given in Ch. 11. Again the G = 0 term must be treated carefully. One
I procedure is to calculate the potential and total energy of point ions of charge Z " in a com-
pensating background that represents the G = O Fourier component of the electron density.
In that case, there is an additional contribution that arises from the fact that the ion is not a
point charge [530],

(12.22)

Each ion contributes a constant term in the total energy (see Eq. (13.1) below) equal to
(N€/ S2)

Kết quả (Việt) 1:

12.4 tạo thành các yếu tố và các yếu tố cấu trúcMột khái niệm quan trọng trong việc phân tích Fourier của tinh thể là sự phân chia thành "cấu trúcyếu tố"và"yếu tố hình thức." Đối với quát, cho phép các tinh thể được bao gồm các loài khác nhaunguyên tử mỗi có nhãn IC = 1, nspccics, và cho mỗi 1 < có r1 "các nguyên tử giống hệt nhau tại các vị tríRM, j: 1, n "trong tế bào đơn vị. Bất kỳ tài sản của các tinh thể, e. g. tiềm năng, có thể được viết,12.15)nơi T là bắt các thiết lập của dịch vectơ. Nó là đơn giản (tập thể dục 12.2) để hiển thịbiến đổi Fourier của (12.15) có thể được viết dưới dạng12.16trong trường hợp các yếu tố cấu trúc cho mỗi loài ic là12,17)và yếu tố hình thức is4(12.18)Những yếu tố trong (12.16)—(12.17) đã được chọn để V"(IG|) được định nghĩa trong điều khoản của một"điển hình khối lượng" S2 "cho mỗi loài ic, để V" (|G|) là độc lập của các tinh thể. ỞNgoài ra, các yếu tố cấu trúc là xác định như vậy rằng "(G: 0) = n". Đây là tùy ý- nhưngthuận tiện-sự lựa chọn; Các tác giả khác có thể sử dụng các công ước khác nhau.Phương trình (12.16) là đặc biệt hữu ích trong trường hợp tiềm năng là một tổng của hình cầutiềm năng trong không gian thực,(12.19)Điều này luôn luôn áp dụng cho hạt nhân tiềm năng và trần ion pseudopotentials. Thường nó cũng làmột xấp xỉ hợp lý cho các tinh thể tất cả tiềm năng như là tổng kết của hình cầu poten-tials xung quanh mỗi nucleus.5 bằng cách sử dụng mở rộng nổi tiếng của máy bay sóng trong hình cầuTôi hài, (J.1), Eq. (12.18) có thể được viết dưới dạng [l04, 4l 3, 470](12,20)Một tiềm năng hạt nhân, V"(G) chỉ đơn giản là(12.21)nơi G phân kỳ: 0 hạn được xử lý riêng biệt, như được thảo luận trong Sec. 3.2 và App. F.Đối với một pseudopotential trần, yếu tố hình thức tiềm năng (12,20) là biến đổi của pseu- dopotential 14(r), được đưa ra trong chương 11. Một lần nữa G = 0 hạn phải được điều trị cẩn thận. Một trong nhữngTôi thủ tục là để tính toán năng lượng tiềm năng và tất cả các điểm ion phí Z "trong một com-nền pensating đại diện cho phiên bản G = O Fourier thành phần của mật độ electron.Trong trường hợp đó, có là một đóng góp thêm phát sinh từ thực tế là các ion không phải là mộtđiểm phí [530],(12.22)Mỗi ion góp phần vào một thuật ngữ không đổi trong tổng số năng lượng bằng (xem Eq. (13.1) dưới đây)(N€ / S2)Tổng quát (12.16) để tiềm năng local VI§L (r, r') là đơn giản. Chomỗi k và cơ sở vectơ Gm và Gm), nó là thuận tiện để xác định Km: k + Gm và K,,, 1 =k -1-Gm /. Các yếu tố cấu trúc S (G) vẫn còn phụ thuộc chỉ vào G: Km-Km,: Gm — Gm /,nhưng các yếu tố ma trận của các yếu tố hình thức semilocal là phức tạp hơn từ ma trậnyếu tố phụ thuộc vào hai đối số. Bằng cách sử dụng một thực tế mà đối xứng hình cầu của cácnhà điều hành local đảm bảo rằng nó có thể được viết như là một chức năng của các magnitudes |K,,, |,|K,,, / l và góc 9 giữa K,,, và K,,, 1, các yếu tố ma trận của semilocal yếu tố hình thức.(11,15), là (tập thể dục 12.9)(12,23)Công thức này có bất lợi nó phải đánh giá cho mỗi |K,,, l, |K,,,» 1 và 9, tức làcho một ba-chiều đối tượng. LN để xử lý này một cách hiệu quả computationally,một có thể discretize chức năng này trên một mạng lưới và suy trong một tính toán thực tế.Kleinman tách — hình thức Bylander, (11.39), là đơn giản bởi vì nó là một tổng của prod -ucts Fourier biến. Mỗi biến đổi Fourier là một chức năng chiều của |K,,,|(và cùng chức năng của |K,,,/ |) đó là thuận tiện hơn. Các hình thức trong k không gian làtương tự cho rằng trong không gian thực [413,472]. (Ở đây chúng tôi biểu thị số lượng tử xungnhư ml để tránh nhầm lẫn với m chỉ số cho hàm cơ sở G,,,.)12,24nơi 7](q) là biến đổi Fourier của chức năng xuyên tâm 1 p, PS (r) 6 10(r). Sự đơn giản củahình thức này đã dẫn đến việc sử dụng nó rộng rãi trong các tính toán. Hơn nữa nó là đơn giản đểmở rộng để tiềm năng "ultrasoft" có liên quan đến thêm máy chiếu (xem Sec. 11,10).

Kết quả (Việt) 2:

12,4 yếu tố cấu trúc và yếu tố Form
Một khái niệm quan trọng trong phân tích Fourier của các tinh thể là việc phân chia thành "cơ cấu
các yếu tố "và" yếu tố hình thức. " Để tính tổng quát, để cho các tinh thể được cấu tạo của các loài khác nhau
của các nguyên tử mỗi IC dán nhãn = 1, nspccics, và đối với mỗi 1 <có r1 "nguyên tử giống hệt nhau tại các vị trí
rm, j: 1, n "trong các tế bào đơn vị. Bất kỳ tài sản của các tinh thể, ví dụ như các tiềm năng, có thể được viết, 12.15) , nơi T là tập hợp các vectơ dịch. Nó là đơn giản (Exercise 12.2) cho thấy rằng các biến đổi Fourier của (12.15) có thể được viết là 12,16 nơi yếu tố cấu trúc cho mỗi loài ic là 12,17) và các yếu tố hình thức is4 (12,18) Các yếu tố trong (12,16) - (12,17 ) đã được lựa chọn như vậy mà V "(IG |) được định nghĩa về một "điển hình khối" S2 "cho mỗi loài ic, để V" (| G |.) là độc lập của các tinh thể Trong Ngoài ra, các yếu tố cấu trúc được định nghĩa như vậy mà S "(G: 0) = n". Đây là tùy ý - nhưng . lựa chọn convenient-; tác giả khác có thể sử dụng quy ước khác nhau Equation (12,16) là đặc biệt hữu ích trong trường hợp các tiềm năng là một tổng của hình cầu tiềm năng trong không gian thực, (12,19) này luôn áp dụng cho các tiềm năng hạt nhân và pseudopotentials ion trần. Thường thì nó cũng là một xấp xỉ hợp lý cho tổng tiềm năng tinh thể như tổng của poten- cầu tials quanh mỗi nucleus.5 Sử dụng mở rộng nổi tiếng của máy bay sóng hình cầu trong giai điệu I, (J.1), Eq. (12,18) có thể được viết là [l04,4l3,470] (12.20) Đối với một tiềm năng hạt nhân, V "(G) chỉ đơn giản là (12,21) nơi khác nhau G : 0 hạn được xử lý riêng, như đã thảo luận trong Sec. 3.2 và App. F. Đối với một pseudopotential trần, các yếu tố hình thức tiềm năng (12.20) là các biến đổi của pseu- dopotential 14 (r), được đưa ra trong Ch. 11. Một lần nữa các hạn G = 0 phải được xử lý cẩn thận. Một thủ tục tôi là để tính toán năng lượng tiềm năng và tổng số điểm của các ion phí Z "trong một tranh nền pensating đại diện cho G = O Fourier thành phần của mật độ electron. Trong trường hợp đó, có phải đóng thêm phát sinh từ các Thực tế là các ion không phải là một điện tích điểm [530], (12,22) Mỗi ion đóng góp một số hạng không đổi trong tổng năng lượng (xem Eq. (13.1) bên dưới) bằng (N € / S2)















































Việc tổng quát hóa (12,16) với tiềm năng không địa phương VI§L (r, r ') là đơn giản. Đối với
mỗi k và vectơ cơ sở và Gm Gm), nó là thuận tiện để xác định Km: k + Gm và K ,,, 1 =
k -1- Gm /. Các yếu tố cấu trúc S (G) vẫn chỉ phụ thuộc vào G: Km - Km,: Gm - Gm /,
nhưng các yếu tố ma trận của các yếu tố hình thức semilocal là phức tạp hơn vì các ma trận
các yếu tố phụ thuộc vào hai đối số. Sử dụng thực tế rằng sự đối xứng hình cầu của các
nhà điều hành đảm bảo không địa phương mà nó có thể được viết như là một chức năng của các cường độ | K ,,, |,
| K ,,, / l và góc giữa 9 K ,,, và K ,,, 1, các yếu tố ma trận của các yếu tố hình thức semilocal
(11.15), được (Exercise 12.9) (12,23) Công thức này có nhược điểm là nó phải được đánh giá cho mỗi | K ,,, l, | K ,,, » 1, và 9, tức là cho một đối tượng ba chiều. ln để chữa trị này một cách tính toán hiệu quả, người ta có thể rời rạc hóa chức năng này trên một mạng lưới và nội suy trong một tính toán thực tế. Các hình thức tách Kleinman-Bylander, (11.39), đơn giản vì nó là một khoản phẩm của các sản Fourier biến đổi. Mỗi biến đổi Fourier là một hàm một chiều của | K ,,, | (và các chức năng tương tự của | K ,,, / |) mà là thuận tiện hơn nhiều. Các hình thức trong không gian k là tương tự như trong không gian thực [413472]. (Ở đây chúng ta biểu thị số lượng tử phương vị là ml để tránh nhầm lẫn với các chỉ số m để hàm cơ sở G ,,,.) 12,24 nơi 7] (q) là biến đổi Fourier của hàm radial 1p, PS (r) 6 10 ( r). Sự đơn giản của hình thức này đã dẫn đến việc sử dụng rộng rãi của nó trong tính toán. Hơn nữa nó là đơn giản để mở rộng đến "ultrasoft" tiềm năng có liên quan đến máy chiếu thêm (xem Sec. 11,10).