n outline, here is how the proof in

n outline, here is how the proof in Euclid's Elements proceeds. The large square is divided into a left and right rectangle. A triangle is constructed that has half the area of the left rectangle. Then another triangle is constructed that has half the area of the square on the left-most side. These two triangles are shown to be congruent, proving this square has the same area as the left rectangle. This argument is followed by a similar version for the right rectangle and the remaining square. Putting the two rectangles together to reform the square on the hypotenuse, its area is the same as the sum of the area of the other two squares. The details follow.

Let A, B, C be the vertices of a right triangle, with a right angle at A. Drop a perpendicular from A to the side opposite the hypotenuse in the square on the hypotenuse. That line divides the square on the hypotenuse into two rectangles, each having the same area as one of the two squares on the legs.

For the formal proof, we require four elementary lemmata:

If two triangles have two sides of the one equal to two sides of the other, each to each, and the angles included by those sides equal, then the triangles are congruent (side-angle-side).
The area of a triangle is half the area of any parallelogram on the same base and having the same altitude.
The area of a rectangle is equal to the product of two adjacent sides.
The area of a square is equal to the product of two of its sides (follows from 3).
Next, each top square is related to a triangle congruent with another triangle related in turn to one of two rectangles making up the lower square.[12]


Illustration including the new lines

Showing the two congruent triangles of half the area of rectangle BDLK and square BAGF
The proof is as follows:

Let ACB be a right-angled triangle with right angle CAB.
On each of the sides BC, AB, and CA, squares are drawn, CBDE, BAGF, and ACIH, in that order. The construction of squares requires the immediately preceding theorems in Euclid, and depends upon the parallel postulate.[13]
From A, draw a line parallel to BD and CE. It will perpendicularly intersect BC and DE at K and L, respectively.
Join CF and AD, to form the triangles BCF and BDA.
Angles CAB and BAG are both right angles; therefore C, A, and G are collinear. Similarly for B, A, and H.
Angles CBD and FBA are both right angles; therefore angle ABD equals angle FBC, since both are the sum of a right angle and angle ABC.
Since AB is equal to FB and BD is equal to BC, triangle ABD must be congruent to triangle FBC.
Since A-K-L is a straight line, parallel to BD, then rectangle BDLK has twice the area of triangle ABD because they share the base BD and have the same altitude BK, i.e., a line normal to their common base, connecting the parallel lines BD and AL. (lemma 2)
Since C is collinear with A and G, square BAGF must be twice in area to triangle FBC.
Therefore rectangle BDLK must have the same area as square BAGF = AB2.
Similarly, it can be shown that rectangle CKLE must have the same area as square ACIH = AC2.
Adding these two results, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC
Since BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
Therefore AB2 + AC2 = BC2, since CBDE is a square.
This proof, which appears in Euclid's Elements as that of Proposition 47 in Book 1,[14] demonstrates that the area of the square on the hypotenuse is the sum of the areas of the other two squares.[15] This is quite distinct from the proof by similarity of triangles, which is conjectured to be the proof that Pythagoras used.[11][16]

Kết quả (Việt) 1:

phác thảo n, ở đây là làm thế nào tiền thu bằng chứng trong của Euclid. Quảng trường lớn được chia thành một hình chữ nhật trái và phải. Một tam giác được xây dựng mà có một nửa diện tích hình chữ nhật trái. Sau đó một tam giác được xây dựng mà có một nửa diện tích của hình vuông bên trái-hầu hết. Những hai hình tam giác được chứng minh là đồng dư, chứng minh quảng trường này có diện tích tương tự như các hình chữ nhật trái. Đối số này theo sau một phiên bản tương tự cho các hình chữ nhật phải và quảng trường còn lại. Đặt hai hình chữ nhật với nhau để cải cách các hình vuông trên cạnh huyền, diện tích của nó là như nhau như là tổng kết của khu vực của hai hình vuông. Các chi tiết thực hiện theo.Cho A, B, C là đỉnh của một tam giác bên phải, với một góc bên phải lúc A. thả một vuông góc từ A sang một bên đối diện với cạnh huyền tại quảng trường trên cạnh huyền. Dòng chia các hình vuông trên cạnh huyền hai hình chữ nhật nhất, mỗi có cùng một khu vực như là một trong hai hình vuông trên chân.Để chứng minh chính thức, chúng tôi yêu cầu bốn tiểu học lemmata:Nếu hai tam giác có hai mặt của một tương đương với hai mặt của khác, mỗi cho mỗi, và góc độ bao gồm bằng những mặt bằng, sau đó các hình tam giác đồng dư (góc cạnh).Diện tích của một tam giác là một nửa diện tích của bất kỳ hình bình hành trên cùng một cơ sở và có cùng một độ cao.Diện tích của một hình chữ nhật là bằng các sản phẩm của hai bên liền kề.Diện tích của một hình vuông là tương đương với các sản phẩm của hai trong số các bên (sau từ 3).Tiếp theo, mỗi quảng trường hàng đầu liên quan đến một hình tam giác đồng dư với một tam giác liên quan lần lượt đến một trong hai hình chữ nhật tạo nên thấp hơn vuông.[12]Tác giả bao gồm các dòng mớiĐang hiển thị hai hình tam giác đồng dư một nửa diện tích của hình chữ nhật BDLK và quảng trường BAGFBằng chứng là như sau:Hãy để ACB là một tam giác đối với góc bên phải CAB.Trên mỗi mặt trước công nguyên, AB, và CA, hình vuông được rút ra, CBDE, BAGF, và ACIH, theo thứ tự đó. Việc xây dựng các hình vuông đòi hỏi các định lý ngay lập tức trước trong Euclid, và phụ thuộc vào chủ trương song song.[13]Từ A, vẽ một đường thẳng song song với BD và CE. Nó sẽ vành giao nhau BC và DE K và L, tương ứng.Tham gia CF và quảng cáo, để tạo thành hình tam giác BCF và BDA.Góc CAB và túi là cả hai góc; do đó C, A, và G hoặc. Tương tự như vậy cho B, A, và H.Góc CBD và FBA là cả hai góc; do đó góc ABD bằng góc FBC, kể từ khi cả hai đều là tổng của một góc bên phải và góc ABC.Kể từ khi AB là tương đương với FB và BD là bình đẳng trước công nguyên, tam giác ABD phải được đồng dư tam giác FBC.Kể từ khi A-K-L là một đường thẳng, song song với BD, sau đó hình chữ nhật BDLK có hai lần diện tích của tam giác ABD vì họ chia sẻ BD cơ sở và có cùng một độ cao BK, tức là, một đường bình thường của cơ sở chung, kết nối song song dây chuyền BD và AL. (bổ đề 2).Kể từ khi C là hoặc với A và G, vuông BAGF phải hai lần trong khu vực tam giác FBC.Do đó hình chữ nhật BDLK phải có cùng một khu vực như vuông BAGF = AB2.Tương tự như vậy, nó có thể được hiển thị là hình chữ nhật CKLE phải có cùng một khu vực như vuông ACIH = AC2.Thêm các kết quả hai, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KCKể từ khi BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × TCNDo đó AB2 + AC2 = BC2, kể từ khi CBDE là một hình vuông.Bằng chứng này, mà xuất hiện trong của Euclid như đề xuất 47 trong cuốn sách 1, [14] chứng tỏ rằng diện tích các hình vuông trên cạnh huyền là tổng của các khu vực của hai hình vuông.[15] đây là khá khác biệt từ chứng minh bằng nét tương đồng về hình tam giác, đó phỏng đoán là bằng chứng rằng Pythagoras sử dụng.[11][16]

Kết quả (Việt) 2:

n phác thảo, đây là cách chứng minh trong Elements tiền của Euclid. Các quảng trường lớn được chia thành một hình chữ nhật bên trái và bên phải. Một tam giác được xây dựng sao cho có một nửa diện tích của hình chữ nhật bên trái. Sau đó, tam giác khác được xây dựng sao cho có một nửa diện tích của hình vuông trên trái nhất bên. Hai hình tam giác được thể hiện là đồng dư, chứng minh vuông này có diện tích tương tự như hình chữ nhật bên trái. Lập luận này được theo sau bởi một phiên bản tương tự cho các hình chữ nhật bên phải và hình vuông còn lại. Đưa hai hình chữ nhật với nhau để cải cách các hình vuông trên cạnh huyền, diện tích của nó là giống như là tổng diện tích của hai hình vuông khác. Các chi tiết theo. Cho A, B, C là các đỉnh của một tam giác vuông, với một góc ngay tại A. Thả một vuông góc từ A đến phía đối diện với cạnh huyền trong hình vuông trên cạnh huyền. Đường phân chia thành các hình vuông trên cạnh huyền thành hai hình chữ nhật, mỗi người đều có cùng một khu vực như là một trong hai ô vuông trên hai chân. Đối với những bằng chứng chính thức, chúng tôi yêu cầu bốn lemmata tiểu: Nếu hai tam giác có hai mặt của một bằng hai bên kia, từng từng, và các góc bao gồm bởi những mặt bằng, sau đó các hình tam giác là đồng dư (bên góc-side). Diện tích của một tam giác là một nửa diện tích của bất kỳ bình hành trên cùng một cơ sở và có cùng một độ cao. Diện tích của một hình chữ nhật bằng với sản phẩm của hai bên liền kề. Diện tích của một hình vuông bằng các sản phẩm của hai bên của nó (sau từ 3). Tiếp theo, mỗi ô trên có liên quan đến một đồng dạng tam giác . với một tam giác có liên quan trong việc chuyển sang một trong hai hình chữ nhật tạo thành hình vuông thấp hơn [12] Minh họa bao gồm các dòng mới kết hai tam giác đồng dạng của một nửa diện tích của hình chữ nhật và hình vuông BDLK BAGF Bằng chứng là như sau: Hãy để ACB là một tam giác vuông góc với CAB góc bên phải. Trên mỗi cạnh BC, AB, và CA, quảng trường được rút ra, CBDE, BAGF, và ACIH, trong trật tự. Việc xây dựng quảng trường đòi hỏi các định lý ngay trước trong Euclid, và phụ thuộc vào định đề song song. [13] Từ A, vẽ ​​một đường song song với BD và CE. Nó sẽ cắt nhau vuông góc với BC và DE tại K và L, tương ứng. Tham gia CF và AD, để tạo thành hình tam giác BCF và BDA. Angles CAB và BAG đều vuông góc; do đó C, A, G và thẳng. Tương tự đối với B, A, và H. Angles CBD và FBA là cả hai góc độ bên phải; do đó góc ABD bằng góc FBC, vì cả hai đều là tổng của một góc bên phải và góc ABC. Vì AB là bằng với FB và BD bằng BC, tam giác ABD phải là đồng dư với tam giác FBC. Vì AKL là một đường thẳng, song song BD, sau đó hình chữ nhật BDLK có diện tích gấp đôi của tam giác ABD vì họ chia sẻ cơ sở BD và có cùng độ cao BK, tức là, một dòng bình thường để cơ sở chung của họ, kết nối các đường song song BD và AL. (Bổ đề 2) Vì C là thẳng hàng với A và G, BAGF vuông phải được hai lần diện tích của tam giác FBC. Vì vậy hình chữ nhật BDLK phải có cùng khu vực với BAGF vuông = AB2. Tương tự như vậy, nó có thể được hiển thị mà hình chữ nhật CKLE phải có cùng một khu vực như vuông ACIH = AC2. Thêm hai kết quả này, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC Kể từ BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × BC Do AB2 + AC2 = BC2, kể từ CBDE là một hình vuông. Bằng chứng này, xuất hiện trong Elements của Euclid như của Dự Luật 47 trong Tập 1, [14] chứng minh rằng diện tích của hình vuông trên cạnh huyền là tổng diện tích của hai khác hình vuông. [15] Điều này là khá khác biệt so với các bằng chứng bằng cách tương tự của hình tam giác, được phỏng đoán là bằng chứng rằng Pythagoras sử dụng. [11] [16]