where Q is the orthogonal rotation

where Q is the orthogonal rotation matrix that is defined as

with a3 and b3 given as

In case that the condition in (11.67) is not satisfied, in which consequently the third and fourth columns are exchanged, it requires the reduction of the length of the new third column vector. Thus, we go back to Step 2 and repeat the same procedure until the condition in (11.67) is satisfied.

In the above procedure, we started with Q, R, and T= I as inputs to the LLL algorithm.
According to the LLL algorithm, these matrices have been modified to yield a new set of
matrices,QLLL,RLLL, and TLLL. Note that the condition number of RLLL is less than or equal to that of R. Using the new matrix set, the system of Equation (11.41) can be re-written as

where T is used to recover Q and R from their modifications. Also note that the matrix QLLL is still orthogonal, because the input matrix Q has been modified only by multiplications with orthogonal rotation matrices whenever necessary.

Kết quả (Việt) 1:

nơi Q là ma trận trực giao quay được định nghĩa là

với a3 và b3 là

trong trường hợp rằng điều kiện trong (11.67) không hài lòng, trong đó kết quả là các cột thứ ba và thứ tư được trao đổi, nó đòi hỏi việc giảm độ dài của các mới thứ ba cột véc tơ. Vì vậy, chúng tôi quay trở lại bước 2 và lặp lại thủ tục tương tự cho đến khi điều kiện ở (11.67) là hài lòng.

Trong thủ tục ở trên, chúng tôi bắt đầu với Q, R, và T = tôi như đầu vào để các thuật toán LLL.
theo thuật toán LLL, Ma trận các đã được sửa đổi để mang lại một tập mới của
ma trận, QLLL, RLLL, và TLLL. Lưu ý rằng tình trạng, số RLLL là ít hơn hoặc bằng với R. bằng cách sử dụng các thiết lập mới của ma trận, Hệ thống của phương trình (11,41) có thể được tái viết là

nơi T được sử dụng để phục hồi Q và R từ sửa đổi của họ. Cũng lưu ý rằng ma trận QLLL vẫn còn trực giao, vì ma trận đầu vào Q đã bị thay đổi chỉ bởi multiplications với ma trận trực giao xoay bất cứ khi nào cần thiết.

Kết quả (Việt) 2:

trong đó Q là ma trận quay trực giao được định nghĩa như với a3 và b3 cho là Trong trường hợp đó các điều kiện trong (11.67) là không hài lòng, trong đó hậu quả là các cột thứ ba và thứ tư được trao đổi, nó đòi hỏi việc giảm chiều dài của mới cột thứ ba vector. Do đó, chúng tôi quay trở lại bước 2 và lặp lại các thủ tục tương tự cho đến khi điều kiện trong (11.67) được thỏa mãn. Trong các thủ tục trên, chúng tôi bắt đầu với Q, R, T = tôi là đầu vào cho thuật toán LLL. Theo LLL thuật toán, các ma trận đã được sửa đổi để mang lại một tập mới của các ma trận, QLLL, RLLL, và TLLL. Lưu ý rằng số điều kiện của RLLL là nhỏ hơn hoặc bằng với của R. Sử dụng các thiết lập ma trận mới, hệ thống của phương trình (11.41) có thể được viết lại như trong đó T được sử dụng để phục hồi Q và R từ thay đổi của họ. Cũng lưu ý rằng QLLL ma trận vẫn còn trực giao, bởi vì ma trận đầu vào Q đã được sửa đổi chỉ bởi phép nhân với ma trận quay trực giao bất cứ khi nào cần thiết.