empty, because it contains the sink

empty, because it contains the sink), then vi is not the source and its immediate
predecessor vi−1 on that path belongs to X. Hence, the edge from vi−1 to vi must
be an element of the cut C(X, ¯ X). This proves the property in question.
The capacity of a cut C(X, ¯ X), denoted c(X, ¯ X), is defined as the sum of
capacities of the edges that compose the cut. For the three examples of cuts given
above, the capacities are equal to 5, 6, and 9, respectively. Since the number of
different cuts in a network is nonempty and finite (why?), there always exists
a minimum cut, i.e., a cut with the smallest capacity. (What is a minimum cut
in the network of Figure 10.4?) The following theorem establishes an important
relationship between the notions of maximum flow and minimum cut.
THEOREM (Max-Flow Min-Cut Theorem) The value of a maximum flow in a
network is equal to the capacity of its minimum cut.
PROOF First, let x be a feasible flow of value v and let C(X, ¯ X) be a cut of
capacity c in the same network. Consider the flow across this cut defined as the
difference between the sum of the flows on the edges from X to ¯X and the sum
of the flows on the edges from ¯X to X. It is intuitively clear and can be formally
derived from the equations expressing the flow-conservation requirement and the
definition of the flow value (Problem 6b in this section’s exercises) that the flow
across the cut C(X, ¯ X) is equal to v, the value of the flow:

Kết quả (Việt) 2:

trống rỗng, bởi vì nó có chứa các bồn rửa), sau đó vi không phải là nguồn và nó ngay lập tức
người tiền nhiệm của vi-1 trên con đường đó thuộc về X. Do đó, các cạnh từ vi-1 để vi phải
là một yếu tố của việc cắt giảm C (X, X). Điều này chứng tỏ có bất động sản.
Năng lực của một vết cắt C (X, ¯ X), ký hiệu là c (X, ¯ X), được định nghĩa như là tổng
năng lực của các cạnh mà soạn cắt. Đối với ba ví dụ về cắt giảm được
trên, năng lực bằng 5, 6, và 9, tương ứng. Vì số lượng các
vết cắt khác nhau trong một mạng là khác rỗng và hữu hạn (tại sao?), Thì vẫn còn có
một vết cắt tối thiểu, tức là, cắt giảm công suất nhỏ nhất. (Cắt giảm tối thiểu là gì
trong mạng lưới các hình 10.4?) Định lý sau đây thiết lập một quan trọng
mối quan hệ giữa các khái niệm về dòng chảy tối đa và cắt giảm tối thiểu.
Định lý (Max-Flow Min-Cut lý) Giá trị của một lưu lượng tối đa trong một
mạng bằng với công suất cắt tối thiểu của nó.
PROOF Đầu tiên, hãy để x là một dòng chảy có tính khả thi của các giá trị v và để cho C (X, ¯ X) là một cắt của
năng lực c trong cùng một mạng. Hãy xem xét các dòng chảy qua cắt giảm này được định nghĩa như là
sự khác biệt giữa tổng của các dòng chảy trên các cạnh từ X đến X và tổng
của các dòng chảy trên các cạnh từ X đến X. Nó là trực quan rõ ràng và có thể được chính thức
bắt nguồn từ phương trình thể hiện các yêu cầu lưu lượng-bảo tồn và các
định nghĩa của các giá trị dòng chảy (Problem 6b trong bài tập của phần này) là dòng chảy
qua cắt C (X, ¯ X) bằng v, giá trị của dòng chảy: