8.9 Stochastic Techniques for Capac

8.9 Stochastic Techniques for Capacity Planning

Stochastic models for capacity planning consider various uncertainties ever present in real-life maintenance systems. Uncertainties in maintenance surround both maintenance workload or demand (i.e., timing and severity of equipment failure) and maintenance capacity (i.e., availability and effectiveness of maintenance resources). Usually, uncertainties are represented by probability distributions with specified values of the means and variances. Stochastic models for maintenance capacity planning include queuing models, simulation models, and stochastic programming. Stochastic programming models are mathematical programming models similar to the deterministic models discussed in the previous section, except that some of their elements are probabilistic. Although these models have been used for maintenance capacity planning (e.g., Duffuaa and Al-Sultan, 1999), they are beyond the scope of this chapter, and thus will not be discussed further. In the remainder of this section, queuing theory models and computer simulation models are presented.

8.9.1 Queuing Models

Queuing models deal with systems in which customers arrive at a service facility, join a queue, wait for service, get service, and finally depart from the facility. Queuing theory is used to determine performance measures of the given system, such as average queue length, average waiting time, and average facility utilization (Taha, 2003). In addition, queuing models can be used for cost optimization by minimizing the sum of the cost of customer waiting and the cost of providing service. In applying queuing theory to maintenance systems, the maintenance jobs or required maintenance tasks are considered as the customers, and maintenance resources such as manpower and equipment are considered as the servers.
Queuing systems differ from each other in terms of several important characteristics. To define clearly the characteristics of the given queuing situation, a standard notation (Taha, 2003) is used in the following format:
(a/b/c):(d/e/f)

where


a = customer inter-arrival time distribution
b = service time (or customer departure) distribution
c = number of parallel servers
d = queue discipline, i.e., order or priority of serving customers
e = maximum number of customers allowed in the system (queue plus service)
f = size of the total potential customer population


Standard symbols are used to represent individual elements of the above notation (symbols a and b). Arrival and service distributions (symbols a and b) are represented by the symbols M (Markovian or Poisson), D (deterministic or constant), E (Erlang or Gamma), and G (general). The queue discipline (symbol d) is represented by the symbols: FCFS (first come, first served), LCFS (last come, first served), SIRO (service in random order), and GD (general discipline). The

Maintenance Forecasting and Capacity Planning 183


symbol M corresponds to the exponential or Poisson distributions. If the inter- arrival time is exponential, then the number of arrivals during a specific period is Poisson. These complementary distributions have a significant role in queuing theory because they have the Markovian (or forgetfulness) property, which makes them completely random In order to introduce specific queuing models for maintenance capacity planning, the following notation is defined:
n = number of customers in the system (queue plus service)
n = customer arrival rate with n customers in the system
n = customer departure rate with n customers in the system
 = server utilization = n /n
pn = probability of n customers in the system
Ls = expected number of customers in the system Lq = expected number of customers in the queue Ws = expected waiting time in the system
Wq = expected waiting time in the queue

Waiting time and the number of customers are directly related by Little’s Law, one of the most fundamental formulas in queuing theory:
Ls = eff Ws, or Lq = eff Wq (8.38)

where


eff = effective customer arrival rate at the system

Most queuing models are applicable to maintenance capacity planning. Two of
these models are presented below, namely the (M/M/c):(GD//) system and the (M/M/R) (GD/k/k) system.

8.9.1.1 The (M/M/c):(GD//) System
This queuing system has Markovian inter-arrival and service times, c parallel servers (repairmen), and general service disciplines. Since there are no limits on the number of customers in the system, then = eff. Defining = /, the steady- state performance measures for this system are given by
c1

Lq  p0
(c 1)!(c )2

(8.39)


where

Ls = Lq +  (8.40)

⎪⎧c1  n
p0 ⎨ 

1
c ⎪⎫
⎬,

1


(8.41)

⎪⎩n0 n!

c!(1 / c) ⎪⎭ c

The expected number for waiting time in the queue Wq and expected total time in the system Ws are respectively obtained by dividing Lq and Ls by .

The above model can be used in maintenance capacity planning to determine the optimum number of servers c (maintenance workers). In this case, the objective would be to minimize the total cost TC of waiting (i.e., cost of equipment downtime) plus the cost of providing maintenance (i.e., cost of maintenance workers). For example, this objective can be expressed as follows:

184 H.K. Al-Fares and S.O. Duffuaa





where

min TC(c) = cM c + cW Ls(c) (8.42)

cM = cost of maintenance workers per employee
cW = cost of waiting time in the queue

It should be noted that Equation 8.42 is only a typical example of a relevant
objective in maintenance capacity planning. Several alternative objective functions are possible; for instance, c could be replaced by , while Ls could be replaced by Lq, Ws, or Wq.

Example 8.11: A maintenance department repairs a large number of identical machines. Average time between failures is 2 h and 40 min, and average repair time is 5 h; both are exponentially distributed. The hourly labor cost is $15 per maintenance employee, while the hourly cost of downtime is $40 per waiting machine. Use queuing theory to determine the optimum number of maintenance employees.

 = 1/2.6667 = 0.375
 = 1/5 = 0.2
 = 0.375 /0.2 = 1.875
Since /c = 1.875/c < 1, then c > 1.875, or c 2
For c = 2, the average number of waiting machines Ls(2) and associated total cost
TC(2) are calculated by Equations 8.39–8.42 as follows:

p0 (2) ⎨1.875 

1.8752

1
⎫
⎬  0.03226

⎩n0 n!

2!(1 1.875 / 2) ⎭ 31


Lq (2) 


1.875


21

( 1 ) 421.875 13.60887

(2 1)!(2 1.875) 2 31 31
Ls(2) = 13.60887 + 1.875 = 15.48387
TC(2) = 15(2) + 40(15.48387) = 649.35
For c 3, the average number of waiting machines Ls(c) and associated total cost TC(c) are similarly calculated by Equations 8.39–8.42. Because TC(c) is convex, we should start with c = 2 and increment c by one employee at a time until the total cost TC(c) begins to increase. The calculations are summarized in Table 8.12, showing that the optimum number of maintenance employees is equal to 4.

Kết quả (Việt) 1:

8.9 Stochastic Techniques for Capacity PlanningStochastic models for capacity planning consider various uncertainties ever present in real-life maintenance systems. Uncertainties in maintenance surround both maintenance workload or demand (i.e., timing and severity of equipment failure) and maintenance capacity (i.e., availability and effectiveness of maintenance resources). Usually, uncertainties are represented by probability distributions with specified values of the means and variances. Stochastic models for maintenance capacity planning include queuing models, simulation models, and stochastic programming. Stochastic programming models are mathematical programming models similar to the deterministic models discussed in the previous section, except that some of their elements are probabilistic. Although these models have been used for maintenance capacity planning (e.g., Duffuaa and Al-Sultan, 1999), they are beyond the scope of this chapter, and thus will not be discussed further. In the remainder of this section, queuing theory models and computer simulation models are presented.8.9.1 Queuing ModelsMô hình xếp hàng đối phó với hệ thống trong đó khách hàng đến một cơ sở dịch vụ, tham gia một hàng đợi, chờ đợi cho dịch vụ, nhận được dịch vụ, và cuối cùng rời khỏi cơ sở. Xếp hàng lý thuyết được sử dụng để xác định các biện pháp hiệu suất của hệ thống nhất định, chẳng hạn như chiều dài hàng đợi trung bình, Trung bình là chờ đợi thời gian, và sử dụng trung bình cơ sở (Tran, 2003). Ngoài ra, xếp hàng các mô hình có thể được sử dụng để tối ưu hóa chi phí bằng cách giảm thiểu tổng chi phí của khách hàng chờ đợi và chi phí của việc cung cấp dịch vụ. Trong việc áp dụng lý thuyết xếp hàng để bảo trì hệ thống, các công việc bảo trì hoặc nhiệm vụ yêu cầu bảo trì được coi là các khách hàng, và duy trì nguồn tài nguyên như nguồn nhân lực và thiết bị được coi là các máy chủ.Hệ thống xếp hàng khác nhau trong điều khoản của một số đặc điểm quan trọng. Để xác định rõ ràng các đặc tính của tình huống nhất định xếp hàng, một ký hiệu chuẩn (Tran, 2003) được sử dụng trong các định dạng sau:(a/b/c):(d/e/f) nơi một = khách hàng thời gian liên đến phân phốib = thời gian phục vụ (hoặc khách hàng khởi hành) phân phốic = số của song song máy chủd = kỷ luật hàng đợi, tức là, đơn đặt hàng hoặc ưu tiên phục vụ khách hànge = số tối đa của khách hàng cho phép trong hệ thống (hàng đợi cộng với dịch vụ)f = kích thước tổng dân số khách hàng tiềm năng Biểu tượng tiêu chuẩn được sử dụng để đại diện cho các yếu tố cá nhân của các ký hiệu trên (biểu tượng một và b). Đến và dịch vụ phân phối (biểu tượng một và b) được đại diện bởi biểu tượng M (Markovian hoặc Poisson), D (xác định hoặc không đổi), E (Erlang hoặc Gamma) và G (tổng quát). Kỷ luật hàng đợi (biểu tượng d) được đại diện bởi các biểu tượng: FCFS (lần đầu tiên đến, lần đầu tiên phục vụ), LCFS (cuối đến, lần đầu tiên phục vụ), SIRO (dịch vụ theo thứ tự ngẫu nhiên), và GD (kỷ luật chung). Các Bảo trì dự báo và năng lực lập kế hoạch 183biểu tượng M tương ứng với các mũ hoặc phân phối Poisson. Nếu thời gian đến inter là mũ, sau đó số lượng khách đến trong một khoảng thời gian cụ thể là Poisson. Các bản phân phối bổ sung có một vai trò quan trọng trong lý thuyết xếp hàng vì họ có tài sản Markovian (hoặc forgetfulness), mà làm cho chúng hoàn toàn ngẫu nhiên để giới thiệu mô hình xếp hàng cụ thể cho khả năng bảo trì có kế hoạch, các ký hiệu sau được định nghĩa:n = số lượng khách hàng trong hệ thống (hàng đợi cộng với dịch vụ)n = tỷ lệ khách hàng đến với n khách hàng trong hệ thốngn = tỷ lệ khởi hành khách hàng với khách hàng n trong hệ thống = máy chủ sử dụng = n /nPN = xác suất của n khách trong hệ thốngLs = số dự kiến của khách hàng trong hệ thống Lq = số dự kiến của các khách hàng trong hàng đợi Ws = thời gian chờ đợi dự kiến trong hệ thốngWQ = dự kiến thời gian chờ đợi trong hàng đợiWaiting time and the number of customers are directly related by Little’s Law, one of the most fundamental formulas in queuing theory:Ls = eff Ws, or Lq = eff Wq (8.38) where eff = effective customer arrival rate at the system Most queuing models are applicable to maintenance capacity planning. Two ofthese models are presented below, namely the (M/M/c):(GD//) system and the (M/M/R) (GD/k/k) system.8.9.1.1 The (M/M/c):(GD//) SystemThis queuing system has Markovian inter-arrival and service times, c parallel servers (repairmen), and general service disciplines. Since there are no limits on the number of customers in the system, then = eff. Defining = /, the steady- state performance measures for this system are given byc1 Lq  p0(c 1)!(c )2 (8.39) where Ls = Lq +  (8.40) ⎪⎧c1  np0 ⎨  1c ⎪⎫⎬, 1 (8.41) ⎪⎩n0 n! c!(1 / c) ⎪⎭ c The expected number for waiting time in the queue Wq and expected total time in the system Ws are respectively obtained by dividing Lq and Ls by .The above model can be used in maintenance capacity planning to determine the optimum number of servers c (maintenance workers). In this case, the objective would be to minimize the total cost TC of waiting (i.e., cost of equipment downtime) plus the cost of providing maintenance (i.e., cost of maintenance workers). For example, this objective can be expressed as follows: 184 H.K. Al-Fares and S.O. Duffuaa where min TC(c) = cM c + cW Ls(c) (8.42)cM = cost of maintenance workers per employeecW = cost of waiting time in the queue It should be noted that Equation 8.42 is only a typical example of a relevantobjective in maintenance capacity planning. Several alternative objective functions are possible; for instance, c could be replaced by , while Ls could be replaced by Lq, Ws, or Wq.Example 8.11: A maintenance department repairs a large number of identical machines. Average time between failures is 2 h and 40 min, and average repair time is 5 h; both are exponentially distributed. The hourly labor cost is $15 per maintenance employee, while the hourly cost of downtime is $40 per waiting machine. Use queuing theory to determine the optimum number of maintenance employees. = 1/2.6667 = 0.375 = 1/5 = 0.2 = 0.375 /0.2 = 1.875Since /c = 1.875/c < 1, then c > 1.875, or c 2For c = 2, the average number of waiting machines Ls(2) and associated total costTC(2) are calculated by Equations 8.39–8.42 as follows: p0 (2) ⎨1.875  1.8752 1⎫⎬  0.03226 ⎩n0 n! 2!(1 1.875 / 2) ⎭ 31 Lq (2)  1.875 21 ( 1 ) 421.875 13.60887 (2 1)!(2 1.875) 2 31 31Ls(2) = 13.60887 + 1.875 = 15.48387TC(2) = 15(2) + 40(15.48387) = 649.35For c 3, the average number of waiting machines Ls(c) and associated total cost TC(c) are similarly calculated by Equations 8.39–8.42. Because TC(c) is convex, we should start with c = 2 and increment c by one employee at a time until the total cost TC(c) begins to increase. The calculations are summarized in Table 8.12, showing that the optimum number of maintenance employees is equal to 4.

Kết quả (Việt) 2:

8.9 Kỹ thuật Stochastic cho năng lực lập kế hoạch mô hình Stochastic cho kế hoạch năng lực xem xét những bất ổn khác nhau bao giờ có mặt trong các hệ thống bảo trì thực tế cuộc sống. Không chắc chắn trong việc bảo trì bao quanh cả khối lượng công việc bảo dưỡng hay nhu cầu (tức là, thời gian và mức độ nghiêm trọng của thiết bị thất bại) và khả năng bảo trì (tức là, sẵn sàng và hiệu quả của các nguồn lực bảo trì). Thông thường, sự không chắc chắn được đại diện bởi phân bố xác suất với giá trị quy định của các phương tiện và phương sai. Mô hình ngẫu nhiên cho kế hoạch năng lực bảo dưỡng bao gồm các mô hình xếp hàng, mô hình mô phỏng, và lập trình ngẫu nhiên. Mô hình lập trình Stochastic là mô hình lập trình toán học tương tự như mô hình xác định được thảo luận trong các phần trước, ngoại trừ một số yếu tố của họ là xác suất. Mặc dù các mô hình này đã được sử dụng để lập kế hoạch bảo trì công suất (ví dụ, Duffuaa và Al-Sultan, 1999), họ là vượt ra ngoài phạm vi của chương này, và do đó sẽ không được thảo luận thêm. Trong phần còn lại của mục này, xếp hàng mô hình lý thuyết và mô hình máy tính mô phỏng được trình bày. 8.9.1 Queuing Models Xếp hàng mô hình thỏa thuận với các hệ thống mà trong đó khách hàng đến một cơ sở dịch vụ, tham gia vào một hàng đợi, chờ đợi cho dịch vụ, nhận được dịch vụ, và cuối cùng khởi hành từ cơ sở. Lý thuyết hàng đợi được sử dụng để xác định các biện pháp thực hiện của hệ thống nhất định, chẳng hạn như độ dài trung bình hàng đợi, thời gian chờ đợi trung bình, và sử dụng cơ sở trung bình (Taha, 2003). Ngoài ra, các mô hình xếp hàng có thể được sử dụng để tối ưu hóa chi phí bằng cách giảm thiểu các khoản chi phí của khách hàng chờ đợi và chi phí cung cấp dịch vụ. Khi áp dụng lý thuyết xếp hàng để bảo trì hệ thống, các công việc bảo trì hoặc các công việc bảo dưỡng cần thiết được coi là khách hàng, và các nguồn lực bảo trì như nhân lực và trang thiết bị được coi là các máy chủ. Hệ thống xếp hàng khác nhau về một số đặc điểm quan trọng. Để xác định rõ đặc điểm tình hình xếp hàng đưa ra, một ký hiệu chuẩn (Taha, 2003) được sử dụng trong các định dạng sau: (a / b / c) :( d / e / f) nơi a = khách hàng liên đến phân phối thời gian b = thời gian dịch vụ (hoặc khởi hành của khách hàng) phân phối c = số lượng máy chủ song song d = xếp hàng kỷ luật, tức là, trật tự hoặc ưu tiên phục vụ khách hàng e = số lượng tối đa của khách hàng cho phép trong hệ thống (hàng đợi cộng với dịch vụ) f = kích thước của tổng số dân số khách hàng tiềm năng các biểu tượng tiêu chuẩn được sử dụng để đại diện cho yếu tố cá nhân của các ký hiệu trên (ký hiệu a và b). Đến và phân phối dịch vụ (ký hiệu a, b) được đại diện bởi các biểu tượng M (Markovian hoặc Poisson), D (xác định hoặc không đổi), E (Erlang hoặc Gamma) và G (nói chung). Kỷ luật hàng đợi (ký hiệu d) được đại diện bởi các biểu tượng: FCFS (đầu tiên đến trước được phục vụ), LCFS (cuối cùng đến, đầu tiên phục vụ), SIRO (dịch vụ trong thứ tự ngẫu nhiên), và GD (kỷ luật chung). Việc bảo trì dự báo và năng lực lập kế hoạch 183 biểu tượng M tương ứng với sự phân bố hàm mũ hay Poisson. Nếu thời gian đến tế là hàm mũ, sau đó số lượng khách đến trong một khoảng thời gian cụ thể là Poisson. Các bản phân phối bổ sung có vai trò quan trọng trong lý thuyết hàng đợi, vì họ có Markovian (hay quên) tài sản, mà làm cho họ hoàn toàn ngẫu nhiên Nhằm giới thiệu các mô hình xếp hàng cụ thể cho kế hoạch năng lực bảo trì, các ký hiệu sau đây được định nghĩa: n = số lượng khách hàng trong hệ thống (hàng đợi cộng với dịch vụ) n = khách hàng tốc độ đến với n khách hàng trong hệ thống n = tỷ lệ khách hàng rời với n khách hàng trong hệ thống  = sử dụng máy chủ = n / n pn = xác suất của n khách hàng trong hệ thống Ls = dự kiến số lượng khách hàng trong hệ thống Lq = số lượng dự kiến của khách hàng trong Ws queue = dự kiến thời gian chờ đợi trong hệ thống WQ = dự kiến thời gian chờ đợi trong hàng đợi thời gian và số lượng khách hàng có liên quan trực tiếp bởi Luật nhỏ, một trong những chờ các công thức cơ bản nhất trong lý thuyết hàng đợi: Ls = eff Ws, hoặc Lq = eff WQ (8.38), nơi eff = hiệu quả tốc độ đến khách hàng tại hệ thống các Hầu hết các mô hình xếp hàng được áp dụng để lập kế hoạch bảo trì công suất. Hai trong số các mô hình này được trình bày dưới đây, cụ thể là (M / M / c) :( GD / k / k hệ thống (GD /  / ) hệ thống và (M / M / R)). 8.9.1.1 Các (M / M / c) :( GD /  / ) Hệ thống xếp hàng này có liên đến và dịch vụ lần Markovian, c máy chủ song song (thợ sửa chữa), và các ngành dịch vụ nói chung. Vì không có giới hạn về số lượng khách hàng trong hệ thống, sau đó  = eff. Định nghĩa  =  / , các biện pháp thực hiện nhà nước steady- cho hệ thống này được đưa ra bởi c1 Lq  p0 (c 1)! (C ) 2 (8.39), nơi Ls = Lq +  (8.40) ⎪⎧c1  n p0  ⎨ 1 c ⎪⎫ ⎬, 1 (8,41) ⎪⎩n0 n! c! (1   / c) ⎪⎭ c Số lượng dự kiến cho thời gian chờ đợi trong hàng đợi WQ và dự kiến tổng thời gian trong Ws hệ thống tương ứng được thu được bằng cách chia Lq và Ls bởi . Các mô hình trên có thể được sử dụng trong kế hoạch năng lực bảo trì để xác định tối ưu số lượng máy chủ c (công nhân bảo trì). Trong trường hợp này, mục tiêu là để giảm thiểu tổng chi phí TC chờ đợi (tức là, chi phí thiết bị downtime) cộng với các chi phí cung cấp bảo trì (tức là, chi phí của công nhân bảo trì). Ví dụ, mục tiêu này có thể được thể hiện như sau: 184 HK Al-Giá vé và SO Duffuaa nơi min TC (c) = cM c + CW Ls (c) (8.42) cM = chi phí của công nhân bảo trì cho mỗi nhân viên Cw = chi phí chờ đợi thời gian trong hàng đợi Cần lưu ý rằng phương trình 8.42 chỉ là một ví dụ điển hình của một liên quan trong kế hoạch năng lực bảo trì. Một số chức năng mục tiêu thay thế có thể xảy ra; Ví dụ, c có thể được thay thế bằng , trong khi Ls có thể được thay thế bởi Lq, Ws, hoặc WQ. Ví dụ 8.11: Một bảo trì sửa chữa bộ phận một số lượng lớn các máy giống hệt nhau. Thời gian trung bình giữa các sự cố là 2 h và 40 phút, và thời gian sửa chữa trung bình là 5 h; cả hai đều được phân theo cấp số nhân. Các chi phí lao động theo giờ là $ 15 cho mỗi nhân viên bảo trì, trong khi chi phí theo giờ của thời gian chết là $ 40 cho mỗi máy chờ đợi. Sử dụng lý thuyết xếp hàng để xác định số lượng tối ưu của các nhân viên bảo trì.  = 1 / 2,6667 = 0,375  = 1/5 = 0,2  = 0,375 /0.2 = 1,875 Từ  / c = 1,875 / c <1, sau đó c> 1,875, hoặc c 2 Đối với c = 2, số lượng trung bình của chờ đợi máy Ls (2) và chi phí liên quan tổng TC (2) được tính bằng phương trình 8,39-8,42 như sau: p0 (2) ⎨1.875  1,8752 1 ⎫ ⎬  0.03226 ⎩n0 n! 2! (1 1.875 / 2) ⎭ 31 Lq (2)  1,875 21 (1) 421.875 13.60887 (2 1) ! (2 1.875) 2 31 31 Ls (2) = 13,60887 + 1,875 = 15,48387 TC (2) = 15 (2) + 40 (15,48387) = 649,35 Đối với c 3, số con trung bình của chờ đợi máy Ls ( c) và liên TC tổng chi phí (c) được tính tương tự của phương trình 8,39-8,42. Bởi vì TC (c) là lồi, chúng ta nên bắt đầu với c = 2 và tăng c bởi một nhân viên tại một thời gian cho đến khi tổng chi phí TC (c) bắt đầu tăng. Các tính toán được tóm tắt trong bảng 8.12, cho thấy rằng số lượng tối ưu của các nhân viên bảo trì bằng 4.