[ps: inser ted sentence]Here is one

[ps: inser ted sentence]Here is one of most intensively studied optimization prob- = )
lems [1, 114, 11]: Given an undirected complete [ps removed: edge-weighted
(abschreckend)] graph on node set V with edge weights c(e), the goal is to nd the = )
minimum weight simple cycle [was:closed path] passing through all nodes. This is = )
the path a traveling salesman would want to take whose goal is it to visit all nodes
of the graph. We assume for this section that the edge weights satisfy the triangle
inequality , i.e., c(u; v) + c(v; w) ¸ c(u; w) for all nodes u, v, and w. Then there
is always an optimal round-trip which visits no node twice (because leaving it out,
would not increase the cost).
Theorem 37. Let Copt
and CMST be the cost of an optimum tour and a minimum
spanning tr ee, respectively . Then
CMST · Copt · 2CMST :
Proof. Let C be an optimal tour . Deleting any edge from C yields a spanning tree.
Thus CMST · Copt. Conversely , let T be a minimum spanning tree. Walking once
around the tree as shown in Figure 11.10 gives us a cycle[ps was: closed path] = )
of cost at most 2CMST passing through all nodes. It may visit nodes several times.
Deleting an extra visit to a node does not increase cost due to the triangle inequality .
In the remainder of this section, we will briey outline a technique for improving
the lower bound of Theorem 37. We need two additional concepts: 2-tree and potential function. A minimum 2-tree consists of the two cheapest edges incident to node 1
and a minimum spanning tree of G n 1[ps: dene this notation somewhere? Reformulate to avoid it?]. Since deleting the two edges incident to node 1 from a tour = )
C yields a spanning tree of G n 1, we have C2 · Copt, where C2 is the minimum
cost of a 2-tree. [ps: refer to denition in SSSP chapter? shorter here? forward
ref there?]A potential function is any real-valued function ¼ dened on the nodes = )
of G. Any potential function gives rise to a modied cost function c
¼
by dening
c
¼
(u; v) = c(u; v) + ¼(v) + ¼(u)
for any pair u and v of nodes. For any tour C, the cost under c and c
¼
differ by
2S¼ := 2
P
v
¼(v) since a tour uses exactly two edges incident to any node. Let T
¼
be a minimum 2-tree with respect to c
¼
. Then
11.8 Implementation Notes 229
c
¼
(T
¼
) · c
¼
(Copt) = c(Copt) + 2S¼
and hence
c(Copt) ¸ max
¼
(c
¼
(T
¼
) ¡ 2S¼
) :
This lower bound is known as the Held-Karp lower bound [87, 88]. The maximum
is over all potential functions ¼. It is hard to compute the lower bound exactly . However, there are fast iterative algorithms for approximating it. The idea is as follows
and we refer the reader to the original papers for details. Assume we have a potential
function ¼ and the optimal 2-tree T
¼
with respect to it. If all nodes of T
¼
have degree
two, we have a Traveling Salesman tour and stop. Otherwise, we make the edges incident to nodes of degree larger than two a bit more expensive and the edges incident
to nodes of degree one a bit cheaper . This can be done by modiying the potential
function as follows. We dene a new potential function ¼
0
by
¼
0
(v) = ¼(v) + ² ¢ (deg(v; T
¼
) ¡ 2)
where ² is a parameter which goes to zero with the iteration number and deg(v; T
¼
)
is the degree of v in T
¼
. We next compute an optimum 2-tree with respect to ¼
0
and
hope that it will yield a better lower bound.

Kết quả (Việt) 1:

[ps: inser ted câu]Đây là một trong tối ưu hóa đặt chuyên sâu nghiên cứu prob - =)
lems [1, 114, 11]: cho một vô hướng hoàn thành [ps gỡ bỏ: edge-weighted
(abschreckend)] Các đồ thị trên nút tập V với cạnh trọng c(e), mục tiêu là nd = các)
chu kỳ đơn giản tối thiểu trọng lượng [là: đóng cửa đường dẫn] đi qua tất cả các nút. Điều này =)
đường đi chào hàng nào muốn để có mà mục tiêu là để truy cập vào tất cả các nút
của đồ thị. Chúng tôi giả định cho phần này trọng lượng cạnh đáp ứng tam giác
bất bình đẳng, tức là, c (u; v) c (v; w) ¸ c (u; w) cho tất cả các nút u, v, và w. Sau đó có
là luôn luôn một trọn vòng tối ưu truy cập không có nút hai lần (vì để lại nó ra,
sẽ không tăng chi phí).
định lý 37. Hãy để Copt
và CMST là chi phí của một tour du lịch tối ưu và tối thiểu
bao trùm tr ee, tương ứng. Sau đó
CMST · Copt · 2CMST:
bằng chứng. Giả sử C là một tour du lịch tối ưu. Xóa bất kỳ cạnh từ C sản lượng một cây khung.
do đó CMST · Copt. ngược lại, hãy để T là tối thiểu bao trùm cây. Đi bộ một lần
xung quanh cây như minh hoạ trong hình 11,10 cho chúng ta một chu kỳ [ps là: đóng cửa đường dẫn] =)
chi phí tại hầu hết 2CMST đi qua tất cả các nút. Nó có thể truy cập vào nút nhiều lần.
xóa một chuyến thăm thêm một nút không tăng chi phí do bất đẳng thức tam giác.
phần còn lại của phần này, chúng tôi sẽ brie y phác thảo một kỹ thuật để cải thiện
ràng buộc thấp hơn của định lý 37. Chúng ta cần hai khái niệm bổ sung: 2-cây và tiềm năng chức năng. Một tối thiểu 2-cây bao gồm các cạnh với giá rẻ nhất hai sự cố để node 1
và tối thiểu bao trùm cây của G n 1 [ps: de ne cách ký hiệu này một nơi nào đó? Reformulate để tránh nó?]. Kể từ khi xóa các cạnh hai sự cố để node 1 từ một tour du lịch =)
C sản lượng một cây khung của G n 1, chúng tôi có C2 · Copt, nơi C2 là tối thiểu
chi phí của 2 cây. [ps: tham khảo de nition trong SSSP chương? ngắn hơn đây? về phía trước
ref có?]Một chức năng tiềm năng là bất kỳ giá trị thực chức năng ¼ de ned trên các nút =)
của G. Bất kỳ chức năng tiềm năng cung cấp cho tăng tới một modi ed chi phí chức năng c
¼
bởi de ning
c
¼
(u; v) = c (u; v) ¼(v) ¼ (u)
cho bất kỳ cặp bạn và v của nút. Cho bất kỳ tour C, chi phí theo c và c
¼
khác nhau bởi
2S¼: = 2
P
v
¼(v) kể từ khi một tour du lịch sử dụng chính xác hai cạnh khi gặp sự cố bất kỳ nút. Cho T
¼
là một tối thiểu 2-cây đối với c
¼
. Sau đó
19.0 thực hiện ghi chú 229
c
¼
(T
¼
) · c
¼
(copt) = c(Copt) 2S¼
và hence
c(Copt) ¸ max
¼
(c
¼
(T
¼
) 』 2S¼
):
này bị ràng buộc thấp hơn được gọi là bị ràng buộc dưới Held-Karp [87, 88]. Tối đa
là trên tất cả tiềm năng chức năng ¼. Thật khó để tính toán ràng buộc thấp hơn chính xác. Tuy nhiên, không có các thuật toán nhanh chóng lặp đi lặp lại cho số nó. Ý tưởng là như sau
và chúng tôi là người đọc các giấy tờ bản gốc để biết chi tiết. Giả sử chúng tôi có một tiềm năng
chức năng ¼ và tối ưu 2-cây T
¼
đối với nó. Nếu tất cả các nút T
¼
có mức độ
hai, chúng tôi có một tour du lịch đi chào hàng và dừng lại. Nếu không, chúng tôi làm cho các sự cố để nút của mức độ lớn hơn hai đắt hơn một chút cạnh và các cạnh sự cố
nút bằng một rẻ hơn một chút. Điều này có thể được thực hiện bởi modi ying tiềm năng
hoạt động như sau. Chúng tôi de ne một tiềm năng mới chức năng ¼
0
by
¼
0
(v) = ¼(v) ² ¢ (độ (v; T
¼
) 』 2)
nơi ² là một tham số mà đi về không lặp đi lặp lại số và deg (v; T
¼
)
là mức độ v trong T
¼
. Chúng tôi tiếp theo tính toán một 2-cây tối ưu đối với ¼
0
và
Hy vọng rằng nó sẽ mang lại một ràng buộc thấp hơn tốt hơn.

Kết quả (Việt) 2:

[Ps: INSER ted câu] Đây là một trong những mạnh mẽ nhất nghiên cứu tối ưu hóa vấn =)
lems [1, 114, 11]: Cho một vô hướng hoàn toàn [ps loại bỏ: cạnh trọng
(abschreckend)] đồ thị trên nút bộ V có lợi thế cạnh trọng lượng c (e), mục tiêu là để các thứ =)?
tối thiểu trọng lượng đơn giản chu kỳ [là: con đường đóng cửa] đi qua tất cả các nút. Đây là =)
con đường một nhân viên bán hàng đi du lịch sẽ muốn đi với mục tiêu là nó đến thăm tất cả các nút
của đồ thị. Chúng tôi giả định cho phần này mà trọng lượng cạnh đáp ứng các tam giác
bất bình đẳng, nghĩa là, c (u; v) + c (v; w) ¸ c (u; w) cho tất cả các nút u, v, và w. Sau đó có
luôn luôn là một chuyến đi vòng quanh tối ưu mà không có nút hai lần thăm (vì để lại nó ra,
sẽ không làm tăng chi phí).
Định lý 37. Hãy Copt
và CMST là chi phí của một tour du lịch tối ưu và tối thiểu
tr kéo dài ee, tương ứng. Sau đó
CMST · · Copt 2CMST:
Bằng chứng. Cho C là một tour du lịch tối ưu. Xóa bất kỳ cạnh từ C mang lại một cây bao trùm.
Vì vậy CMST · Copt. Ngược lại, hãy để T là một cây bao trùm tối thiểu. Đi bộ một lần
trên cây như trong hình 11.10 cho chúng ta một chu kỳ [ps là: con đường đóng cửa] =)
chi phí nhiều nhất 2CMST đi qua tất cả các nút. Nó có thể truy cập các nút nhiều lần.
Xóa một lần thêm vào một nút không làm tăng chi phí do sự bất bình đẳng tam giác.
Trong phần còn lại của phần này, chúng tôi sẽ Brie? y phác thảo kỹ thuật cải thiện
thấp hơn ràng buộc của định lý 37. Chúng ta cần hai khái niệm bổ sung: 2 cây và chức năng tiềm năng. Một tối thiểu 2 cây bao gồm các sự cố hai cạnh với giá rẻ nhất đến nút 1
và một cây bao trùm tối thiểu của G n 1 [ps: de ne ký hiệu này ở đâu đó? Tái cấu trúc để tránh nó?]. Kể từ khi xóa các sự cố hai cạnh để nút 1 từ một tour du lịch =)
C mang lại một cây khung của G n 1, chúng tôi có C2 · Copt, nơi C2 là tối thiểu
chi phí của một 2 cây. [Ps: tham khảo de Định nghĩa trong SSSP chương? ngắn hơn đây? về phía trước
? ref có] Một chức năng tiềm năng là bất kỳ chức năng giá trị thực ¼ de Ned trên các nút =)?
của G. Bất kỳ chức năng tiềm năng đưa đến một Modi hàm chi phí ed c?
¼
bởi de ning?
c
¼
(u; v ) = c (u; v) + ¼ (v) + ¼ (u)
cho bất kỳ cặp u và v của các nút. Đối với bất kỳ tour du lịch C, chi phí dưới c và c
¼
khác nhau bởi
2S ¼: = 2
P
v
¼ (v) từ một tour du lịch sử dụng chính xác hai cạnh sự việc cho bất kỳ nút. Cho T
¼
được tối thiểu là 2 cây đối với c với
¼
. Sau đó
11,8 Thực hiện Ghi chú 229
c
¼
(T
¼
) · c
¼
(Copt) = c (Copt) + 2S ¼
và do đó
c (Copt) ¸ tối đa
¼
(c
¼
(T
¼
) ¡2S ¼
):
Điều này thấp hơn ràng buộc được gọi là các tổ chức-Karp thấp hơn bị ràng buộc [87, 88]. Tối đa
là trên tất cả các chức năng ¼ tiềm năng. Thật khó có thể tính toán chính xác thấp hơn bị ràng buộc. Tuy nhiên, có những thuật toán lặp đi lặp lại nhanh chóng cho xấp xỉ nó. Ý tưởng là như sau
và chúng tôi mời độc giả xem các giấy tờ gốc để biết chi tiết. Giả sử chúng ta có một tiềm năng
chức năng ¼ và 2 cây tối ưu T
¼
liên quan đến nó với. Nếu tất cả các nút của T
¼
có mức độ
hai, chúng tôi có một tour du lịch Đi du lịch bán hàng và dừng lại. Nếu không, chúng tôi làm cho vụ việc cạnh các nút của mức độ lớn hơn so với hai một chút đắt hơn và sự cố cạnh
các nút của một mức độ rẻ hơn một chút. Điều này có thể được thực hiện bằng Modi? Ying tiềm năng
chức năng như sau. Chúng tôi de ne một chức năng mới đầy tiềm năng ¼?
0
bằng
¼
0
(v) = ¼ (v) + ² ¢ (deg (v; T
¼
) ¡2)
nơi ² là một tham số đó đi vào bằng không với số lần lặp và DEG (v; T
¼
)
là mức độ v trong T
¼
. Tiếp theo chúng ta tính toán một tối ưu 2 cây đối với ¼ với
0
và
hy vọng rằng nó sẽ mang lại một tốt hơn ràng buộc thấp hơn.