Theorem 2.4.1. The collection of th

Theorem 2.4.1. The collection of the three maps σi: Ui → Oi forms a
smooth atlas on M.
Proof. It remains to check the following.
1) σi −1 is continuous Oi → R2. For example
σ
−1
1 (p) = (x2
x1
,
x3
x1
)
when p = π[x]. The ratios x x2 1 and x x3 1 are continuous functions on R3 {x1 =
0}, hence σ−1 ◦ π is continuous.
2) The overlap between σi and σj satisfies smooth transition. For example
σ
−1
1 ◦ σ2(u) = ( 1
u1
,
u2
u1
),
which is smooth R2 {u | u1 = 0} → R2. 
2.5 Product manifolds
If M and N are metric spaces, the Cartesian product M × N is again a
metric space with the distance function
d((m1, n1), (m2, n2)) = max(dM(m1, m2), dN(n1, n2)).
Likewise, if M and N are Hausdorff topological spaces, then the product
M ×N is a Hausdorff topological space in a natural fashion with the so-called
product topology, in which a subset R ⊂ M ×N is open if and only if for each
point (p, q) ∈ R there exist open sets P and Q of M and N respectively, such
that (p, q) ∈ P × Q ⊂ R (the verification that this is a topological space is
quite straightforward).
Example 2.5.1 It is sometimes useful to identify Rm+n with Rm × Rn. In
this identification, the product topology of the standard topologies on Rm
and Rn is the standard topology on Rm+n.
Let M and N be abstract manifolds of dimensions m and n, respectively.
For each chart σ: U → M and each chart τ: V → N we define
σ × τ: U × V → M × N by σ × τ(x, y) = (σ(x), τ(y)).
Theorem 2.5. The collection of the maps σ × τ is an m + n-dimensional
smooth atlas on M × N.
Proof. The proof is straightforward. 
We call M ×N equipped with the smooth structure given by this atlas for
the product manifold of M and N. The smooth structure on M ×N depends
only on the smooth structures on M and N, not on the chosen atlases.

Kết quả (Việt) 1:

Định lý 2.4.1. Các bộ sưu tập của ba bản đồ σi: giao diện người dùng → Oi hình thức mộtmịn atlas trên M.Bằng chứng. Nó vẫn còn để kiểm tra sau đây.1) σi −1 là liên tục Oi → R2. Ví dụ:Σ−11 (p) = (x 2x 1,x 3x 1)khi p = π [x]. Tỷ lệ x x 2 1 đến x x 3 1 là các chức năng liên tục trên R3 {x 1 =0}, vì thế σ−1 ◦ π là liên tục.2) sự chồng chéo giữa σi và σj đáp ứng chuyển đổi suôn sẻ. Ví dụ:Σ−11 ◦ σ2(u) = (1U1,U2U1),đó là mịn R2 {u | u1 = 0} → R2. 2.5 sản phẩm đa tạpNếu M và N là số liệu tại toàn, Descartes M × N là một lần nữa mộtCác không gian metric với hàm khoảng cáchd ((m1, n1), (m2, n2)) = tối (dM (m1, m2), dN (n1, n2)).Tương tự như vậy, nếu M và N là Hausdorff tôpô gian, sau đó các sản phẩmM × N là một không gian tôpô Hausdorff trong một thời trang tự nhiên với cái gọi làcấu trúc liên kết sản phẩm, trong đó một tập hợp con R ⊂ M × N là mở khi và chỉ khi cho mỗiđiểm (p, q) ∈ R có tồn tại tập mở P và Q M và N tương ứng, như vậyđó (p, q) ∈ P × Q ⊂ R (xác minh rằng đây là một không gian tôpô làkhá đơn giản).Ví dụ 2.5.1 nó đôi khi rất hữu ích để xác định Rm + n với Rm × Rn. trongnhận dạng này, cấu trúc liên kết sản phẩm của topo tiêu chuẩn trên Rmvà Rn là tôpô quy chuẩn trên Rm + n.Cho M và N là các đa tạp trừu tượng của kích thước m và n, tương ứng.Cho mỗi biểu đồ σ: U → M và mỗi bảng xếp hạng τ: V → N chúng ta định nghĩaΣ × τ: U × V → M × N bởi σ × τ (x, y) = (σ(x), τ(y)).Định lý 2.5. Các bộ sưu tập của bản đồ σ × τ là một m + n-chiềuCác bản đồ mịn trên M × N.Bằng chứng. Bằng chứng là đơn giản. Chúng tôi gọi M × N được trang bị với cấu trúc mịn của bản đồ này chođa tạp sản phẩm M và N. Cấu trúc mịn trên M × N phụ thuộcchỉ trên các cấu trúc mịn trên M và N, không phải trên các tập bản đồ được lựa chọn.

Kết quả (Việt) 2:

Định lý 2.4.1. Các bộ sưu tập của ba bản đồ σi: Ui → Oi tạo thành một
tập bản đồ mượt mà trên M.
Chứng minh. Nó vẫn còn để kiểm tra như sau.
1) σi -1 là liên tục Oi → R2. Ví dụ
σ
-1
1 (p) = (x2 x1, x3 x1) khi p = π [x]. Tỷ lệ x x2 1 và x x3 1 là các hàm liên tục trên R3 {x1 = 0}, do đó σ-1 ◦ π là liên tục. 2) Sự chồng chéo giữa σi và đáp ứng σj quá trình chuyển đổi trơn tru. Ví dụ σ -1 1 ◦ σ2 (u) = (1 u1, u2 u1), mà là mịn R2 {u | u1 = 0} → R2. ? 2.5 Sự đa dạng sản phẩm Nếu M và N là không gian metric, sản phẩm M Cartesian × N lại là một không gian metric với hàm khoảng cách d ((m1, n1), (m2, n2)) = max (DM (m1, m2) , dN (n1, n2)). Tương tự như vậy, nếu M và N là Hausdorff không gian tôpô, sau đó sản phẩm M × N là một không gian tôpô Hausdorff trong một thời trang tự nhiên với cái gọi là cấu trúc liên kết sản phẩm, trong đó một tập con R ⊂ M × N là mở khi và chỉ khi với mỗi điểm (p, q) ∈ R có tồn tại mở bộ P và Q của M và N tương ứng, như vậy đó (p, q) ∈ P × Q ⊂ R (việc xác minh rằng đây là một không gian tôpô là khá đơn giản). Ví dụ 2.5.1 Đó là đôi khi hữu ích để xác định Rm + n với Rm × Rn. Trong việc xác định này, các cấu trúc liên kết sản phẩm của các cấu trúc liên kết tiêu chuẩn trên Rm và Rn là topo tiêu chuẩn trên Rm + n. Gọi M và N là đa tạp trừu tượng của kích thước m và n, tương ứng. Đối với mỗi σ biểu đồ: U → M và mỗi biểu đồ τ: V → N chúng ta định nghĩa σ × τ: U × V → M × N bởi σ × τ (x, y) = (σ (x), τ (y)). Định lý 2.5. Các bộ sưu tập của các bản đồ σ × τ là một m + n-chiều atlas mịn trên M × N. Proof. Bằng chứng là đơn giản. ? Chúng tôi gọi M × N được trang bị với cấu trúc mịn được đưa ra bởi tập bản đồ này cho các sản phẩm đa dạng của M và N. Cấu trúc mượt mà trên M × N phụ thuộc chỉ vào các cấu trúc mịn tại M và N, không phải trên tập bản đồ được lựa chọn.