It might help to think a little bit

It might help to think a little bit about why you need both conditions. Any positive decreasing sequence, say $u_n=1/n$, satisfies the first property, yet $lim ncdot (1/n)=1$. On the other hand, the infinite sum being finite is also not enough, because you could have a sequence which is "usually small" except that it "spikes up" occasionally, something like $u_n=1/n$ when $n=2^k$ for some $k$ and $2^{−n}$ otherwise. So somehow, if the sum is finite and un is "eventually almost constant", you get $u_n ll 1/n$ for large $n$.

Kết quả (Việt) 2:

Nó có thể giúp để suy nghĩ một chút về lý do tại sao bạn cần cả hai điều kiện. Bất kỳ chuỗi giảm tích cực, nói $ u_n = 1 / n $, đáp ứng các tài sản, chưa $ lim n cdot (1 / n) = 1 $ đầu tiên. Mặt khác, các tổng vô hạn là hữu hạn, cũng là không đủ, bởi vì bạn có thể có một trình tự mà là "thường nhỏ" ngoại trừ việc nó "gai lên" Thỉnh thoảng, một cái gì đó giống như $ u_n = 1 / n $ khi $ n = 2 ^ k $ cho một số $ k $ và $ 2 ^ {-} $ n khác. Vì vậy, bằng cách nào đó, nếu tổng là hữu hạn và un là "cuối cùng gần như không đổi", bạn nhận được $ u_n ll 1 / n $ cho lớn $ n $.