We give a general denition of amor

We give a general denition of amortized time bounds and amortized analysis. We
recommend to read this section quickly and to come back to it when needed. We
consider an arbitrary data structure. The values of all program variables comprise
the state of the data structure; we use S to denote the set of states. In the example
of the previous section, the state of our data structures is formed by the values of n,
w, and b. Let s
0
be the initial state. In our example, we have n = 0, w = 1, and
b an array of size one in the initial state. We have operations to transform the data
structure. In our example, we had operations pushBack , popBack , and r e allo c ate .
The application of operation X in a state s transforms the data structure to a new
state s
0
and has cost TX (s). In our example, the cost of a pushBack or popBack is 1
excluding the cost of the possible call to r e allo c ate . The cost of a call r e allo c ate (¯n)
is £(n).
Let F be a sequence of operations Op
1
, Op
2
, Op
3
, . . . , Op
n
. Starting at the
initial state s
0, F takes us through a sequence of states to a nal state s
n
:
s
0
Op
1
¡ ! s
1
Op
2
¡ ! s
2
Op
3
¡ ! ¢ ¢ ¢
Op
n
¡ ! s
n
:
The cost T (F ) of F is given by
T (F ) =
X
1·i·n
T
Op
i
(s
i¡1) :
A family of functions AX (s), one for each operation X, is called a family of amortized time bounds if for every sequence F of operations:
T (F ) · A(F ) := c +
X
1·i·n
AOp
i
(s
i¡1)
for some constant c not depending on F , i.e., up to an additive constant the total
actual execution time is bounded by the total amortized execution time.
72 3 Representing Sequences by Arrays and Linked Lists
There is always a trivial way to dene a family of amortized time bounds, namely
AX (s) := TX (s) for all s. The challenge is to nd a family of simple functions
AX (s) forming a family of amortized time bounds. In our example, the functions
ApushBack
(s) = ApopBack
(s) = A[¢] (s) = O(1) and Areallo cate
(s) = 0 for all s
form a family of amortized time bounds.
The Potential or Bank Account Method for Amortized Analysis
We now formalize the technique used in the previous section. We have a function
p ot that associates a non-negative potential with every state of the data structure,
i.e., p ot : S ¡ !
✁
¸0. We call p ot(s) the potential of the state s or the balance of the
savings account when the data structure is in state s. It requires ingenuity to come
up with an appropriate function p ot. For an operation X transforming a state s into
a state s
0
and having cost TX (s), we dene the amortized cost AX (s) as the sum of
the potential change and the actual cost, i.e., AX (s) = p ot(s
0
) ¡ p ot(s) + TX (s).
The functions obtained in this way form a family of amortized time bounds.
Theorem 8 (Potential Method). Let S be the set of states of a data structure, let
s
0
be the initial state, and let p ot : S ¡ !
✁
¸0
be a non-negative function. F or an
operation X and a state s with s
X
¡ ! s
0
dene
AX (s) = p ot(s
0
) ¡ p ot(s) + TX (s):
Then the functions AX (s) are a family of amortized time bounds.
Proof. A short computation sufces. Consider a sequence F = hOp
1
; : : : ; Op
n
i of
operations. We have :
X
1·i·n
AOp
i
(s
i¡1) =
X
1·i·n
(p ot(s
i ) ¡ p ot(s
i¡1) + T
Op
i
(s
i¡1))
= p ot(s
n
) ¡ p ot(s
0) +
X
1·i·n
T
Op
i
(s
i¡1)
¸
X
1·i·n
T
Op
i
(s
i¡1) ¡ p ot(s
0);
since p ot(s
n
) ¸ 0. Thus T (F ) · A(F ) + p ot(s
0).
Let us formulate the analysis of unbounded arrays in the language above. The
state of an unbounded array is characterized by the values of n and w. Following
Exercise 39, the potential in state (n; w) is max(3n ¡ w; w=2). The actual costs T
of pushBack and popback is one and the actual cost of r e allo c ate (¯n) is n. The
potential of the initial state (n; w) = (0; 1) is 1=2. A pushBack increases n by one
and hence increases the potential by at most three. Thus its amortized cost is bounded
by four . A popBack decreases n by one and hence does not increase its potential.
Its amortized cost is therefore at most one. The rst reallocate occurs when the data

Kết quả (Việt) 1:

Chúng tôi cung cấp cho một nition chung de bình thời gian giới hạn và bình phân tích. Chúng tôi
khuyên bạn nên đọc phần này một cách nhanh chóng và trở lại nó khi cần thiết. Chúng tôi
xem xét một cấu trúc dữ liệu tùy ý. Các giá trị của tất cả các biến chương trình bao gồm
bang cấu trúc dữ liệu; chúng tôi sử dụng S để biểu thị các thiết lập của tiểu bang. Trong ví dụ
của phần trước, nhà nước của các cấu trúc dữ liệu của chúng tôi được thành lập bởi các giá trị của n,
w, và b. Cho s
0
là trạng thái ban đầu. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi có n = 0, w = 1, và
b một mảng kích thước một bang ban đầu. Chúng tôi có các hoạt động để biến đổi dữ liệu
cấu trúc. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi đã có hoạt động pushBack, popBack, và r e allo c ăn.
Các ứng dụng hoạt động X trong một nhà nước biến đổi cấu trúc dữ liệu để một mới
bang s
0
và có chi phí TX (s). Trong ví dụ, chi phí của một pushBack hoặc popBack là 1
không bao gồm chi phí của cuộc gọi có thể để r e allo c ăn. Chi phí của một cuộc gọi r e allo c ăn (¯n)
là £(n).
cho F là một chuỗi các hoạt động Op
1
, Op
2
, Op
3
,..., Op
n
. Bắt đầu từ các
ban đầu nhà nước s
0, F sẽ cho chúng tôi thông qua một chuỗi các tiểu bang để một nal bang s
n
:
s
0
Op
1
』! s
1
Op
2
』! s
2
Op
3
』! ¢ ¢ ¢
Op
n
』! s
n
:
chi phí T (F) của F được đưa ra bởi
T (F) =
X
1·i·n
T
Op
i
(s
i¡1):
một gia đình của chức năng AX (s), một cho mỗi chiến dịch X, được gọi là một gia đình của giới hạn thời gian bình nếu cho mọi dãy F của hoạt động:
T (F) · (F): = c
X
1·i·n
AOp
i
(s
i¡1)
cho một số c liên tục không chịu nhờ vả trên F, ví dụ, lên đến một hằng số phụ gia tổng
thời gian thực hiện thực tế được bao bọc bởi thời gian thực hiện tất cả bình.
72 3 đại diện cho chuỗi bởi mảng và danh sách liên kết
có luôn luôn là một cách nhỏ để de ne một gia đình của giới hạn thời gian bình, cụ thể là
AX (s): = TX (s) cho tất cả. Thách thức là để nd một gia đình của các chức năng đơn giản
AX (s) tạo thành một gia đình bình thời gian giới hạn. Trong ví dụ của chúng tôi, các chức năng
ApushBack
(s) = ApopBack
(s) = một [¢] (s) = O(1) và Areallo cate
(s) = 0 cho tất cả
tạo thành một gia đình bình thời gian giới hạn.
The tiềm năng hoặc tài khoản ngân hàng phương pháp để phân tích bình
chúng tôi bây giờ chính thức hóa các kỹ thuật được sử dụng trong phần trước. Chúng tôi có một chức năng
p ot mà kết hợp một tiềm năng không âm với mọi nhà nước của các dữ liệu structure,
i.e., p ot: S 』!
✁
¸0. Chúng tôi gọi p ot(s) tiềm năng của bang s hoặc sự cân bằng của các
tài khoản tiết kiệm khi cấu trúc dữ liệu là ở bang s. Nó đòi hỏi ngây thơ đến
lên với một thích hợp hoạt động p ot. Cho một chiến dịch X chuyển đổi một s bang vào
s bang
0
và có chi phí TX (s), chúng tôi de ne các bình chi phí AX (s) như là tổng kết của
thay đổi tiềm năng và chi phí thực tế, tức là, AX (s) = p ot(s
0
) 』 p ot(s) TX (s).
chức năng thu được bằng cách này tạo thành một gia đình bình thời gian giới hạn.
định lý 8 (phương pháp tiềm năng). Giả sử S là tập hợp các trạng thái của một cấu trúc dữ liệu, cho phép
s
0
là bang ban đầu, và cho p ot: S 』!
✁
¸0
là một hàm không âm. F hay một
hoạt động X và một nhà nước s với s
X
』! s
0
de ne
AX (s) = p ot(s
0
) 』 p ot(s) TX (s):
sau đó chức năng AX (s) là một họ bình thời gian giới hạn.
bằng chứng. Một tính toán ngắn suf ces. Xem xét một chuỗi F = hOp
1
; : : : ; Op
n
i của
hoạt động. Chúng tôi có:
X
1·i·n
AOp
i
(s
i¡1) =
X
1·i·n
(p ot(s
i) 』 p ot(s
i¡1) T
Op
i
(s
i¡1))
= p ot(s
n
) 』 p ot(s
0)
X
1·i·n
T
Op
tôi
(s
i¡1)
¸
X
1·i·n
T
op
i
(s
i¡1) 』 p ot(s
0);
kể từ p ot(s
n
) ¸ 0. Do đó T (F) · Một (F) p ot(s
0).
cho chúng tôi xây dựng các phân tích của chặn mảng trong ngôn ngữ ở trên. Các
của một mảng chặn được đặc trưng bởi các giá trị của n và w. Sau
tập thể dục 39, tiềm năng thuộc bang (n; w) là tối đa (3n 』 w; w = 2). Các chi phí thực tế T
của pushBack và popback là một và chi phí thực tế của r e allo c ăn (¯n) là n. Các
tiềm năng của nhà nước ban đầu (n; w) = (0; 1) là 1 = 2. PushBack một tăng n một
và do đó làm tăng khả năng tối đa ba. Do đó chi phí bình của nó được bao bọc
bởi bốn. Một popBack giảm n bởi một và vì thế không tăng tiềm năng của nó.
chi phí bình của nó là do đó tối đa một. Phân bổ rst xảy ra khi các dữ liệu

Kết quả (Việt) 2:

Chúng tôi đưa ra de chung Định nghĩa giới hạn thời gian khấu hao? Và khấu hao phân tích. Chúng tôi
khuyên bạn nên đọc phần này một cách nhanh chóng và trở về với nó khi cần thiết. Chúng ta
hãy xem xét một cấu trúc dữ liệu tùy ý. Các giá trị của tất cả các biến chương trình bao gồm
các trạng thái của cấu trúc dữ liệu; chúng tôi sử dụng S để biểu thị tập hợp của các quốc gia. Trong ví dụ
của phần trước, trạng thái của cấu trúc dữ liệu của chúng tôi được hình thành bởi các giá trị của n,
w, và b. Cho s
0
là trạng thái ban đầu. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi có n = 0, w = 1, và
b một mảng có kích thước một trong các trạng thái ban đầu. Chúng tôi có các hoạt động để chuyển đổi dữ liệu
cấu trúc. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi đã có các hoạt động pushback, popBack, và tái allo c ăn.
Việc áp dụng các hoạt động X trong một của nhà nước biến đổi cấu trúc dữ liệu vào một mới
nhà nước s
0
và có giá TX (s). Trong ví dụ của chúng tôi, chi phí của một Pushback hoặc popBack là 1
không bao gồm chi phí của các cuộc gọi có thể để lại allo c ăn. Chi phí của một cuộc gọi lại allo c ăn (¯ n)
là £ (n).
Hãy F là một chuỗi các hoạt động Op
1
, Op
2
, Op
3
,. . . , Op
n
. Bắt đầu từ
trạng thái ban đầu s
0, F đưa chúng ta qua một chuỗi các tiểu bang để một tội nào nhà nước không?
n
:
s
0
Op
1
¡! s
1
Op
2
¡! s
2
Op
3
¡! ¢ ¢ ¢
Op
n
¡! s
n
:
Chi phí T (F) của F được đưa ra bởi
T (F) =
X
1 · i · n
T
Op
i
(s
i ¡1):
Một gia đình của các chức năng AX (s), một cho mỗi hoạt động X, được gọi là một gia đình giới hạn thời gian khấu hao nếu với mọi dãy F các hoạt động:
T (F) · A (F): = c +
X
1 · i · n
AOP
tôi
(s
i ¡1)
đối với một số không đổi c không phụ thuộc vào F, ví dụ, đến một hằng số phụ gia tổng
thời gian thực hiện thực tế được bao bọc bởi tổng thời gian thực hiện khấu hao.
72 3 Đại diện Thứ tự của mảng và danh sách liên kết
luôn luôn là một cách tầm thường để de ne một gia đình giới hạn thời gian khấu hao, cụ thể là?
AX (s): = TX (s) cho tất cả các s. Thách thức là để? Thứ một gia đình của các chức năng đơn giản
AX (s) tạo thành một gia đình giới hạn thời gian khấu hao. Trong ví dụ của chúng tôi, các chức năng
ApushBack
(s) = ApopBack
(s) = A [¢] (s) = O (1) và Areallo cate
(s) = 0 cho tất cả các s
hình thành một gia đình giới hạn thời gian khấu hao.
Tiềm năng hoặc Ngân hàng Phương pháp tài khoản cho phân bổ Phân tích
Bây giờ chúng ta chính thức hóa các kỹ thuật được sử dụng trong phần trước. Chúng tôi có một chức năng
p ot rằng liên kết một tiềm năng không âm với tất cả các bang của cấu trúc dữ liệu,
ví dụ, trang ot: S ¡!
✁
¸ 0. Chúng ta gọi là p ot (s) tiềm năng của của nhà nước hoặc sự cân bằng của
tài khoản tiết kiệm khi cấu trúc dữ liệu ở trạng thái s. Nó đòi hỏi sự khéo léo đến
với một chức năng p ot thích hợp. Đối với một X hoạt động chuyển trạng thái s vào
một trạng thái s
0
và có chi phí TX (s), chúng tôi de? ne AX chi phí khấu hao (s) là tổng của
sự thay đổi tiềm năng và chi phí thực tế, tức là, AX (s) = p ot (s
0
) ¡p ot (s) + TX (s).
Các chức năng thu được theo cách này tạo thành một gia đình giới hạn thời gian khấu hao.
Định lý 8 (Phương pháp tiềm năng). S là tập hợp các trạng thái của một cấu trúc dữ liệu, chúng ta hãy
s
0
là trạng thái ban đầu, và để cho p ot: S ¡
✁
¸ 0
là một chức năng không âm. F hoặc một
hoạt động X và một nhà nước s với s
X
¡! s
0
? de ne
AX (s) = p ot (s
0
) ¡p ot (s) + TX (s):
Sau đó, các chức năng AX (s) là một gia đình giới hạn thời gian khấu hao.
Bằng chứng. Một tính toán rừng đặc dụng ngắn? CES. Xem xét một chuỗi F = hop
1
; :::; Op
n
i của
hoạt động. Chúng ta có:
X
1 · i · n
AOP
tôi
(s
i ¡1) =
X
1 · i · n
(p ot (s
i) ¡p ot (s
i ¡1) + T
Op
i
(s
i ¡1) )
= p ot (s
n
) ¡p ot (s
0) +
X
1 · i · n
T
Op
i
(s
i ¡1)
¸
X
1 · i · n
T
Op
i
(s
i ¡1) ¡p ot (s
0);
từ p ot (s
n
) ¸ 0 Như vậy T (F) · A (F) + p ot (s.
0).
Hãy để chúng tôi xây dựng các phân tích của các mảng không bị chặn trong các ngôn ngữ trên. Các
trạng thái của một mảng không bị chặn được đặc trưng bởi các giá trị của n và w. Sau
tập 39, tiềm năng trong nhà nước (n; w) là tối đa (3n ¡w; w = 2). Các chi phí thực tế T
của pushback và popback là một và chi phí thực tế của việc tái allo c ăn (¯ n) là n. Các
tiềm năng của trạng thái ban đầu (n; w) = (0, 1) là 1 = 2. Một Pushback tăng n bởi một
và do đó làm tăng khả năng ít nhất ba. Do đó chi phí khấu hao của nó được bao bọc
bởi bốn. Một popBack giảm n bởi một và do đó không làm tăng tiềm năng của nó.
do đó chi phí khấu hao của nó là nhiều nhất một. Các phân bổ lại tiên? Xảy ra khi dữ liệu