1.1 IntroductionDifference equation

1.1 Introduction
Difference equations usually describe the evolution of certain phenomena over the course of time. For example, if a certain population has discrete generations, the size of the (n + 1)st generation x(n +1) is a function of the nth generation x(n). This relation expresses itself in the difference equation
x(n +1) = f (x(n)). (1.1.1)
We may look at this problem from another point of view. Starting from a point xo, one may generate the sequence
xo, f (xo), f(f (xo)), f (f (f (xo))),....
For convenience we adopt the notation
f 2(xo) = f (f (xo)), f3(xo) = f (f (f (xo))), etc.
f (xo) is called the first iterate of xo under f; f 2(xo) is called the second iterate of xo under f; more generally, f n(xo) is the nth iterate of xo under f. The set of all (positive) iterates {fn(xo) : n > 0} where fo(xo) = xo by definition, is called the (positive) orbit of xo and will be denoted by O(xo). This iterative procedure is an example of a discrete dynamical system. Letting x(n) = f n(xo), we have
x(n +1) = fn+1(xo) = f [fn(xo)] = f (x(n)),
and hence we recapture (1.1.1). Observe that x(0) = fo(xo) = xo. For example, let f (x) = x2 and xo = 0.6. To find the sequence of

Kết quả (Việt) 1:

1.1 giới thiệuSự khác biệt phương trình thường mô tả sự tiến triển của hiện tượng nhất định trong suốt thời gian. Ví dụ, nếu một dân số nhất định đã rời rạc thế hệ, kích thước của các thế hệ (n + 1) st x (n + 1) là một chức năng của thế hệ thứ n x(n). Mối quan hệ này thể hiện bản thân trong phương trình sự khác biệtx (n + 1) = f (x(n)). (1.1.1)Chúng tôi có thể xem xét vấn đề này từ một góc độ khác. Bắt đầu từ một điểm xo, một trong những có thể tạo ra trình tựxo, f (xo), f (f (xo)), f (f (f (xo))),...Để thuận tiện cho chúng tôi thông qua các ký hiệuf 2(xo) = f (f (xo)), f3(xo) = f (f (f (xo))), vv.f (xo) được gọi là iterate đầu tiên của xo theo f; f 2(xo) được gọi là iterate thứ hai của xo theo f; nói chung, f n(xo) là iterate thứ n của xo theo f. Các thiết lập của tất cả (tích cực) iterates {fn(xo): n > 0} nơi fo(xo) = xo theo định nghĩa, được gọi là quỹ đạo (tích cực) của xo và sẽ được biểu hiện bằng O(xo). Thủ tục lặp đi lặp lại này là một ví dụ về một hệ thống động lực rời rạc. Cho phép x(n) = f n(xo), chúng tôi cóx (n + 1) = fn+1(xo) = f [fn(xo)] = f (x(n)),và do đó chúng tôi tái chiếm (1.1.1). Quan sát rằng x(0) = fo(xo) = xo. Ví dụ, cho f (x) = x 2 và xo = 0,6. Để tìm Chuỗi

Kết quả (Việt) 2:

1.1 Giới thiệu
phương trình khác biệt thường mô tả sự tiến hóa của các hiện tượng nhất định trong quá trình thời gian. Ví dụ, nếu một dân số nào đó có thế hệ rời rạc, kích thước của (n + 1) st thế hệ x (n + 1) là một chức năng của thế hệ thứ n x (n). Mối quan hệ này thể hiện bản thân trong phương trình khác biệt
x (n + 1) = f (x (n)). (1.1.1)
Chúng tôi có thể xem xét vấn đề này từ một góc độ khác. Bắt đầu từ một điểm xo, ta có thể tạo ra các chuỗi
xo, f (xo), f (f (xo)), f (f (f (xo))), ....
Để tiện cho chúng ta thông qua các ký hiệu
f 2 ( xo) = f (f (xo)), f3 (xo) = f (f (f (xo))), vv
f (xo) được gọi là lặp đầu tiên của xo dưới f; f 2 (xo) được gọi là lặp thứ hai của xo dưới f; nói chung, fn (xo) là lặp thứ n của xo dưới f. Các thiết lập của tất cả (tích cực) lặp {fn (xo): n> 0} nơi fo (xo) = xo theo định nghĩa, được gọi là (tích cực) quỹ đạo của xo và sẽ được ký hiệu là O (xo). Thủ tục lặp đi lặp lại này là một ví dụ về một hệ thống động rời rạc. Cho x (n) = fn (xo), ta có
x (n + 1) = fn + 1 (xo) = f [fn (xo)] = f (x (n)),
và do đó chúng ta lấy lại (1.1. 1). Quan sát rằng x (0) = fo (xo) = xo. Ví dụ, hãy để f (x) = x2 và xo = 0,6. Để tìm các trình tự của