Fig. 3.5. Example of a canonical de

Fig. 3.5. Example of a canonical decomposition tree for a series-parallel digraph.


Based on reductions, series-parallel digraphs can also be characterized by the following lemma.

Lemma 3.5. A graph is a series-paral lel digraph if and only if it can be reduced to the one-edge series-paral lel digraph by a sequence of series and paral lel reductions.

Using this lemma, one obtains an efficient algorithm for the recognition of series-parallel digraphs. Given a graph G, one repeatedly applies series and parallel reductions until no reduction is possible. It is a nice property of series- parallel digraphs that the result of such a reduction sequence is independent of the order in which the specific reductions are applied.
A series-parallel digraph G can be represented in a natural way as a binary
decomposition tree T , which is obtained as a by-product of such a reduction
sequence. The decomposition tree contains S-nodes, P -nodes and Q-nodes
and is recursively defined as follows. If G is a single edge, then T consists of a
single Q-node. If G is a series composition of G1 and G2 with decomposition
trees T1 and T2 and roots r1 and r2 , respectively, then T consists of an S-
node root with left child r1 and right child r2 . Similarly, if G is a parallel


composition of G1 and G2 with decomposition trees T1 and T2 and roots r1 and r2 , respectively, then T consists of a P -node root with children r1 and r2 (in an arbitrary order).
Valdes et al. (1982) describe how to recognize and to build up a binary decomposition tree of a series-parallel digraph in linear time. It is straightfor- ward to get a canonical decomposition tree (no longer binary) by contracting each connected group of S-nodes and each connected group of P -nodes into a single node. Such a tree is unique up to reordering the children of each P -node. See Figure 3.5 for an example.
In the following we assume that the decomposition tree T of a series-
parallel graph G is given as part of the input for the drawing algorithm.

Kết quả (Việt) 1:

Hình 3.5. Ví dụ của một cây kinh điển phân hủy cho một loạt song song digraph.Dựa trên cắt giảm, chữ ghép loạt song song có thể cũng được định nghĩa bởi bổ đề sau.Bổ đề 3.5. Một đồ thị là một digraph paral loạt lel nếu và chỉ nếu nó có thể được giảm đến một cạnh paral loạt lel digraph bởi một chuỗi các loạt và paral lel giảm.Một sử dụng bổ đề này, có được một thuật toán efficient cho sự công nhận của loạt song song chữ ghép. Cho một đồ thị G, một liên tục áp dụng loạt và song song cắt giảm cho đến khi không có giảm có thể. Nó là một tài sản tốt đẹp của chữ ghép loạt song song kết quả của một chuỗi giảm là độc lập của thứ tự trong đó cắt giảm specific được áp dụng.Một loạt song song digraph G có thể được xuất hiện trong một cách tự nhiên là một nhị phânphân hủy cây T, mà thu được như là một sản phẩm của một sự giảmtrình tự. Cây phân hủy có S-nút, P-nút và Q-nútvà là đệ quy defined như sau. Nếu G là một cạnh duy nhất, sau đó T bao gồm mộtQ-nút đơn. Nếu G là một loạt các thành phần của G1 và G2 với phân hủycây T1 và T2 và rễ r1, r2 và tương ứng, sau đó T bao gồm một S-nút gốc với các trẻ em trái r1 và trẻ em phải r2. Tương tự, nếu G là một song song thành phần của G1 và G2 với phân hủy cây T1 và T2 và rễ r1 và r2, tương ứng, sau đó T bao gồm một P-nút gốc với trẻ em r1, r2 (theo một thứ tự tùy ý).Valdes et al. (1982) Mô tả làm thế nào để nhận ra và xây dựng một cây nhị phân phân hủy của một loạt song song digraph trong thời gian tuyến tính. Nó là straightfor-phường để có được một cây kinh điển phân hủy (không còn nhị phân) bằng hợp đồng mỗi nhóm được kết nối của S-nút và mỗi nhóm được kết nối của P-nút vào một nút duy nhất. Một cây là duy nhất đến sắp xếp lại các con của mỗi P-nút. Hãy xem hình 3.5 cho một ví dụ.Năm sau, chúng tôi giả định rằng cây phân hủy T của một loạt -song song đồ thị G được đưa ra như một phần của các đầu vào cho các thuật toán vẽ.

Kết quả (Việt) 2:

Vả. 3.5. Ví dụ về một cây phân hủy tắc cho một loạt song song digraph. Dựa trên giảm, hàng loạt song song chữ ghép cũng có thể được đặc trưng bởi sự bổ đề. Sau Bổ đề 3.5. Một đồ thị là một series-Paral digraph lel khi và chỉ khi nó có thể được giảm đến một cạnh series-Paral digraph lel bởi một chuỗi các loạt và giảm lel Paral. Sử dụng bổ đề này, một trong những có được một thuật toán cient e ffi cho việc công nhận loạt song song chữ ghép. Cho một đồ thị G, một lần áp dụng hàng loạt và giảm song song cho đến khi không giảm là có thể. Nó là một tài sản tốt đẹp của chữ ghép song song Series rằng kết quả của một chuỗi cắt giảm như vậy là độc lập với thứ tự mà các giảm fi c Speci được áp dụng. Một loạt song song digraph G có thể được biểu diễn một cách tự nhiên như là một nhị phân cây phân hủy T , mà là thu được như một sản phẩm phụ của một giảm như trình tự. Cây phân hủy chứa S-nút, P -nodes và Q-node và là đệ quy định nghĩa là sau. Nếu G là một cạnh duy nhất, sau đó T bao gồm một Q-nút duy nhất. Nếu G là một phần của loạt G1 và G2 với phân hủy cây T1 và T2 và rễ r1 và r2, tương ứng, sau đó T bao gồm một S- nút gốc với con trái r1 và r2 con phải. Tương tự như vậy, nếu G là một song song thành phần của G1 và G2 với cây phân hủy T1 và T2 và rễ r1 và r2, tương ứng, sau đó T bao gồm một P -node gốc với trẻ em r1 và r2 (trong một trật tự tùy ý). Valdes et al . (1982) mô tả làm thế nào để nhận biết và để xây dựng lên một cây nhị phân phân hủy của một loạt song song digraph trong thời gian tuyến tính. Nó là phường straightfor- để có được một cây phân hủy kinh điển (không còn nhị phân) bằng cách thắt từng nhóm kết nối của S-nút và mỗi nhóm kết nối của P -nodes vào một nút duy nhất. Một cây như là duy nhất lên đến sắp xếp lại các con của mỗi P -node. Xem Hình 3.5 cho một ví dụ. Trong phần tiếp theo chúng ta giả sử rằng T cây phân hủy của một Series đồ thị song song G được đưa ra như là một phần của đầu vào cho các thuật toán vẽ.