Appendix A. OptimizationThe first st

Appendix A. Optimization

The first step in solving the optimization problem is the introduction of a value function, V(W), which is defined as:

Z ∞ 1 )(


η γ −βt

V W Max E CG e
fC;nK g 0 γ

dt; ðA:1Þ


Given the initial wealth, this function is also subject to restrictions (13), (14) and (15). The value function in period 0 is the expect- ed value of the discounted sum of instantaneous utilities, evaluated along the optimal path, starting in period 0 in state W(0) = W0.
Starting from Eq. (A.1) the value function must satisfy the following equation, which is known as the Hamilton–Jacobi–Bellman
equation of stochastic control theory or simply the Bellman equation:


1 )( η γ 0


2 2

βV W Max CG
fC;nK g γ

þ V ðW ÞW ψ þ 0:5V ″ ðW ÞW σ w : ðA:2Þ


The right hand side of Eq. (A.2) is partially differentiated with respect to C and nK to obtain the first-order optimality conditions of the optimization problem:

Cγ−1 Gηγ −V 0 ðW Þ ¼ 0; ðA:3Þ

V 0 ðW ÞW α½1−gð1−λÞ]−)(i * þ ε

þ V ″ ðW ÞW 2 cov½dw; αð1−μgÞdy−de] ¼ 0: ðA:4Þ


The solution to this problem is obtained through trial and error. We seek to find a value function V(W) that satisfies, on the one hand, the first-order optimality conditions and, on the other hand, the Bellman equation. In the case of isoelastic utility functions, the value function has the same form as the utility function [Merton (1969), result generalized in Merton (1971)]. Thus, we postulate that the value function is of the form:

Kết quả (Việt) 1:

Phụ lục A. tối ưu hóaCác bước chính trong việc giải quyết vấn đề tối ưu hóa là sự ra đời của một chức năng giá trị, V(W), mà là defined như: Z ∞ 1) () Η γ −βt V W Max E CG efC; nK g 0 γ DT; ðA:1Þ Cho sự giàu có ban đầu, chức năng này cũng là tùy thuộc vào giới hạn (13) (14) và (15). Các chức năng giá trị trong giai đoạn 0 là giá trị expect-ed số tiền giảm giá của các tiện ích ngay lập tức, đánh giá dọc theo đường dẫn tối ưu, bắt đầu từ giai đoạn 0 thuộc bang W(0) = W0.Bắt đầu từ Eq. (A.1) chức năng giá trị phải đáp ứng phương trình sau đây, được biết đến như Hamilton-Jacobi-Bellmanphương trình của lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên hoặc chỉ đơn giản là phương trình Bellman: 1) (Η Γ 0 2 2 ΒV W Max CGfC; nK g γ þ V ðW ÞW ψ þ 0:5V ″ ðW ÞW σ w: ðA:2Þ Phía bên tay phải của Eq. (A.2) một phần là phân biệt đối với C và nK để có được các điều kiện điều chính thứ tự của vấn đề tối ưu hóa:Cγ−1 Gηγ −V 0 ðW Þ ¼ 0; ðA:3Þ V 0 ðW ÞW α½1−gð1−λÞ] −) (i * þ ε þ V ″ ðW ÞW 2 cov½dw; Αð1−μgÞdy−de] ¼ 0: ðA:4Þ Các giải pháp cho vấn đề này thu được thông qua thử và lỗi. Chúng tôi tìm kiếm để nhiều chức năng giá trị V(W) satisfies đó, một mặt, điều kiện điều chính-để, và mặt khác, phương trình Bellman. Trong trường hợp của các chức năng tiện ích isoelastic, chức năng giá trị có hình thức tương tự như các chức năng tiện ích [Merton (1969), kết quả tổng quát trong Merton (1971)]. Vì vậy, chúng tôi chủ trương rằng chức năng giá trị là của các hình thức:

Kết quả (Việt) 2:

Phụ lục A. Tối ưu hóa Bước fi đầu tiên trong việc giải quyết các vấn đề tối ưu hóa là sự ra đời của một hàm giá trị, V (W), đó là định nghĩa là: Z ∞ 1) ( η γ -βt VW Max E CG e fC; nK g 0 γ dt; DA: 1th . Với sự giàu có ban đầu, chức năng này cũng có thể hạn chế (13), (14) và (15) Các chức năng giá trị trong giai đoạn 0 là giá trị ed expect- số tiền giảm giá của tiện ích tức thời, đánh giá dọc theo đường đi tối ưu, bắt đầu từ giai đoạn 0 trong tiểu bang W (0) = W0. Bắt đầu từ Eq. (A.1) hàm giá trị phải đáp ứng các phương trình sau đây, được biết đến như là Hamilton-Jacobi-Bellman phương trình kiểm soát ngẫu nhiên lý thuyết hoặc chỉ đơn giản là phương trình Bellman: 1) (η γ 0 2 2 βV W Max CG fC; nK g γ þ V DW THW ψ þ 0: 5V "DW THW σ w: DA: 2th . Phía bên tay phải của phương trình ( A.2) là một phần khác biệt đối với C và nK với để có được những điều kiện fi đầu tiên đặt hàng tối ưu của bài toán tối ưu: Cγ-1 Gηγ -V 0 DW Þ ¼ 0; DA: 3th V 0 DW THW α½1-GD1-λÞ ] -) (i * þ ε þ V "DW THW 2 cov½dw; αð1-μgÞdy-de] ¼ 0: DA: 4 Các giải pháp cho vấn đề này có được thông qua thử và sai. Chúng tôi tìm kiếm fi nd một hàm giá trị V (W) mà fi satis es, một mặt, các điều kiện tối ưu fi đầu tiên đặt hàng và, mặt khác, phương trình Bellman. Trong trường hợp của các chức năng tiện ích isoelastic, hàm giá trị có cùng dạng như các chức năng tiện ích [Merton (1969), bộ kết quả tổng quát trong Merton (1971)]. Vì vậy, chúng tôi định đề rằng hàm giá trị có dạng: