In addition to the reasoning about

In addition to the reasoning about order, an interesting phenomenon occurred. Virtual manipulatives seemed to create a natural bridge from the concrete to the abstract. Students were able to see the connection between the virtual processes and the paper-and-pencil algorithms they had memorized in elementary middle school. On at least one occasion when instructions on how to enter a particular problem virtually were not available, one student worked backwards from the algorithm to figure it out, commenting that using virtual manipulatives “sometimes forces you to think abstractly.” Another said, “There is no way I could have done this abstractly without using manipulatives first. It helped me to see the logic behind it all.” In summary, our three-year study seems to indicate that:
 Incorporating both types of manipulatives into the instruction of prospective mathematics teachers not only helps them to build their own conceptual understanding but also provides them with sound pedagogical strategies for use with their future students.
 Concrete manipulatives appear to be more effective for building pre-service teachers’ conceptual understanding, with virtual manipulatives used to reinforce those concepts.
 The majority of students found concrete manipulatives to be easier to use but not necessarily more readily available than virtual ones.
 There seems to be a definite advantag e to incorporating both types of manipulatives.

Kết quả (Việt) 2:

Ngoài các lý luận về trật tự, một hiện tượng thú vị xảy ra. Manipulatives ảo dường như để tạo ra một cây cầu tự nhiên của bê tông đến trừu tượng. Học sinh có thể nhìn thấy kết nối giữa các quá trình ảo và các thuật toán giấy và bút chì họ đã thuộc lòng trong trường trung tiểu học. Ít nhất một lần, khi được hướng dẫn cách nhập một vấn đề cụ thể hầu như không có, một sinh viên làm việc ngược từ các thuật toán để con số nó ra, cho ý kiến rằng việc sử dụng manipulatives ảo "đôi khi buộc bạn phải suy nghĩ trừu tượng." Một người khác nói: "Có không có cách nào tôi có thể đã làm điều này một cách trừu tượng mà không sử dụng manipulatives đầu tiên. . Nó đã giúp tôi thấy được tính logic đằng sau tất cả "Tóm lại, ba năm nghiên cứu của chúng tôi dường như chỉ ra rằng:
 Kết hợp cả hai loại manipulatives vào sự hướng dẫn của giáo viên toán học tiềm năng không chỉ giúp họ xây dựng sự hiểu biết về khái niệm riêng của họ, nhưng cũng cung cấp cho họ với chiến lược sư phạm âm thanh để sử dụng với sinh viên tương lai của họ.
 manipulatives bê tông xuất hiện có hiệu quả hơn cho việc xây dựng sự hiểu biết về khái niệm giáo viên mầm-dịch vụ ', với manipulatives ảo được sử dụng để củng cố những khái niệm.
 đa số sinh viên tìm thấy manipulatives bê tông được dễ dàng hơn để sử dụng, nhưng không nhất thiết phải dễ dàng hơn so với những người có sẵn ảo.
 có vẻ là một advantag định e để kết hợp cả hai loại manipulatives.