197x(o) is subjected to all admissi

197
x(o) is subjected to all admissible controls for the time interval
[o,t], then time optimal control does not exist if there are not
for which the reachable set R(t) has at least one point in common
with the target set S(t) (i.e., if R(t) n S(t) =' Vt).
In time optimal problems, it is useful to bear in mind the three
well known theorems proved by Pontryagin (1962).
Existence Theorem: If A is a stable matrix (i.e., all the eigen values
of A have non positive real parts), then for any point x0 , there exists
an optimal control ~hich· transfers the phase point from x0 to the origin.
Uniqueness Theorem: If an optimal control exists, it is unique.
Switching Theorem: Suppose the eigen values of the nxn matrix A in
(S) are all real. Then there exists a unique control vector u. Each
u. (1 < i < r), piece~se constant, takes on only their maximum and
~ - -
minimum values and does not have more than n-1 s~tchings.
Proof. See Pontryagin (1962) Theorem 11 p. 124 and Theorem 10 p. 120
respectively.
Example 7.2
As an illustration of time optimal control problems, consider
the well known double integrator (see, for example, Pontryagin (1962)
p. 22) - system x = u and where u is a real control such that lui ~ 1.
The system is to be brought from a given initial state x 0 to the origin
(x1 (T), x 2 (T) = (o,o)) as quickly as possible.
The system x = u could be written as a first order differential
equation system (see Appendix) by defining x = x and
1

Kết quả (Việt) 1:

197x(o) là đối tượng để điều khiển admissible tất cả cho khoảng thời gian[o, t], sau đó điều khiển tối ưu thời gian không tồn tại nếu không cómà đặt R(t) thể truy cập có ít nhất một điểm chungvới mục tiêu thiết lập S(t) (tức là, nếu R(t) n S(t) =' Vt).Trong thời gian tối ưu vấn đề, nó là hữu ích để ghi nhớ bađịnh lý nổi tiếng chứng minh bởi Pontryagin (1962).Định lý tồn tại: Nếu A là một ma trận ổn định (tức là, tất cả các eigen giá trịa có phần phòng không tích cực thực), sau đó cho bất kỳ điểm x 0, có tồn tạimột điều khiển tối ưu ~ hich· chuyển giai đoạn điểm từ x 0 đến nguồn gốc.Định lý tính độc đáo: Nếu một điều khiển tối ưu tồn tại, nó là duy nhất.Chuyển đổi định lý: Giả sử giá trị eigen của nxn ma trận A trong(S) là tất cả thực sự. Sau đó có tồn tại một điều khiển duy nhất vector u. mỗiHoa Kỳ (1 < tôi < r), mảnh ~ se liên tục, mất ngày chỉ tối đa của họ và~ - -tối thiểu giá trị và không có nhiều hơn n-1 s ~ tchings.Bằng chứng. Xem Pontryagin (1962) định lý 11 p. 124 và định lý 10 p. 120tương ứng.Ví dụ 7.2Như là một minh hoạ của thời gian vấn đề điều khiển tối ưu, xem xéttích hợp đôi nổi tiếng (xem, ví dụ, Pontryagin (1962)p. 22) - hệ thống x = bạn và nơi u là một thực sự kiểm soát như vậy mà lui ~ 1.Hệ thống này là để được đưa từ một nhà nước ban đầu được đưa ra x 0 đến nguồn gốc(x 1 (T), x 2 (T) = (o, o)) càng nhanh càng tốt.Hệ thống x = u có thể được viết như là một trật tự đầu tiên vi saiHệ thống phương trình (xem phụ lục) bằng cách định nghĩa x = x và1

Kết quả (Việt) 2:

197
x (o) là đối tượng của tất cả các điều khiển chấp nhận cho thời gian
[o, t], sau thời gian điều khiển tối ưu không tồn tại nếu không có
mà tập thể truy cập R (t) có ít nhất một điểm chung
với mục tiêu đặt S (t) (tức là, nếu R (t) n S (t) = 'Vt).
Trong thời các vấn đề tối ưu, nó rất hữu ích để ghi nhớ ba
định lý nổi tiếng chứng minh bằng Pontryagin (1962).
Định lý tồn tại : Nếu A là một ma trận ổn định (tức là tất cả các giá trị eigen
của A có phần thực không tích cực), sau đó cho bất kỳ điểm x0, có tồn tại
một điều khiển tối ưu ~ hich · chuyển điểm giai đoạn từ x0 đến nguồn gốc.
Tính duy nhất Định lý: Nếu một điều khiển tối ưu tồn tại, nó là duy nhất.
Định lý Switching: Giả sử giá trị eigen của ma trận nxn A
(S) là tất cả các thực. Sau đó, có tồn tại một vector điều khiển đặc biệt u. Mỗi
u. (1 <i <r), mảnh ~ se liên tục, mất trên chỉ tối đa của họ và
~ - -
giá trị tối thiểu và không có nhiều hơn n-1 s ~ tchings.
Proof. Xem Pontryagin (1962) Định lý 11 p. 124 và Định lý 10 p. 120
. tương ứng
Ví dụ 7.2
Như một minh chứng thời các vấn đề điều khiển tối ưu, hãy xem xét
tích hợp đôi nổi tiếng (xem, ví dụ, Pontryagin (1962)
p 22.) - Hệ thống x = u và nơi u là một điều khiển thực như vậy mà lui ~ 1.
Hệ thống này được mang đi từ trạng thái ban đầu cho x 0 đến nguồn gốc
(x1 (T), x 2 (T) = (o, o)) càng nhanh càng tốt.
Hệ thống x = u có thể được viết như một khác biệt thứ tự đầu tiên
hệ phương trình (xem Phụ lục) bằng cách định nghĩa x = x và
1