6Duality Theory andSensitivity Anal

6

Duality Theory and
Sensitivity Analysis











One of the most important discoveries in the early development of linear programming was the concept of duality and its many important ramifications. This discovery revealed that every linear programming problem has associated with it another linear programming problem called the dual. The relationships between the dual problem and the original problem (called the primal) prove to be extremely useful in a variety of ways. For ex-ample, you soon will see that the shadow prices described in Sec. 4.7 actually are pro-vided by the optimal solution for the dual problem. We shall describe many other valu-able applications of duality theory in this chapter as well$$$
One of the key uses of duality theory lies in the interpretation and implementation of sensitivity analysis. As we already mentioned in Secs. 2.3, 3.3, and 4.7, sensitivity analy-sis is a very important part of almost every linear programming study. Because most of the parameter values used in the original model are just estimates of future conditions, the effect on the optimal solution if other conditions prevail instead needs to be investi-gated. Furthermore, certain parameter values (such as resource amounts) may represent managerial decisions, in which case the choice of the parameter values may be the main issue to be studied, which can be done through sensitivity analysis$$$
For greater clarity, the first three sections discuss duality theory under the assump-tion that the primal linear programming problem is in our standard form (but with no re-striction that the bi values need to be positive). Other forms are then discussed in Sec. 6.4. We begin the chapter by introducing the essence of duality theory and its applications. We then describe the economic interpretation of the dual problem (Sec. 6.2) and delve deeper into the relationships between the primal and dual problems (Sec. 6.3). Section 6.5 focuses on the role of duality theory in sensitivity analysis. The basic procedure for sen-sitivity analysis (which is based on the fundamental insight of Sec. 5.3) is summarized in Sec. 6.6 and illustrated in Sec. 6.7$$$$$$
230
$$$6.1 THE ESSENCE OF DUALITY THEORY 231


6.1 THE ESSENCE OF DUALITY THEORY$$$
Given our standard form for the primal problem at the left (perhaps after conversion from another form), its dual problem has the form shown to the right.$$$$$$
Primal Problem

n
Maximize Z _ _ cjxj,
j_1
subject to

n
_ aijxj _ bi, for i _ 1, 2, . . . , m
j_1

and

xj _ 0, for j _ 1, 2, . . . , n$$$$$$

Dual Problem

m
Minimize W _ _ bi yi,
i_1
subject to

m
_ aij yi _ cj, for j _ 1, 2, . . . , n
i_1

and

yi _ 0, for i _ 1, 2, . . . , m$$$$$$
Thus, the dual problem uses exactly the same parameters as the primal problem, but in dif-ferent locations. To highlight the comparison, now look at these same two problems in ma-trix notation (as introduced at the beginning of Sec. 5.2), where c and y _ [y1, y2, . . . , ym] are row vectors but b and x are column vectors$$$
Primal Problem Dual Problem

Maximize Z _ cx, Minimize W _ yb,
subject to subject to
Ax _ b yA _ c
and and
x _ 0. y _ 0$$$

To illustrate, the primal and dual problems for the Wyndor Glass Co. example of Sec. 3.1 are shown in Table 6.1 in both algebraic and matrix form$$$
The primal-dual table for linear programming (Table 6.2) also helps to highlight the correspondence between the two problems. It shows all the linear programming parame-ters (the aij, bi, and cj) and how they are used to construct the two problems. All the head-ings for the primal problem are horizontal, whereas the headings for the dual problem are read by turning the book sideways. For the primal problem, each column (except the Right Side column) gives the coefficients of a single variable in the respective constraints and then in the objective function, whereas each row (except the bottom one) gives the param-eters for a single contraint. For the dual problem, each row (except the Right Side row) gives the coefficients of a single variable in the respective constraints and then in the ob-jective function, whereas each column (except the rightmost one) gives the parameters for a single constraint. In addition, the Right Side column gives the right-hand sides for the primal problem and the objective function coefficients for the dual problem, whereas the bottom row gives the objective function coefficients for the primal problem and the right-hand sides for the dual problem$$$$$$232 6 DUALITY THEORY AND SENSITIVITY ANALYSIS


TABLE 6.1 Primal and dual problems for the Wyndor Glass Co. example
$$$
Primal Problem

in Algebraic Form

Maximize Z _ 3x1 _ 5x2,

subject to

x1 _ 4
2x2 _ 12
3x1 _ 2x2 _ 18
andx1 _ 0, x2 _ 0$$$
Primal Problem

in Matrix Form
Maximize Z _ [3, 5]_xx12_,

subject to

1 0 x1 4

0 2 _x2_ _ 12
3 2 18
and
_xx12_ _ _00_$$$$$$
Dual Problem

in Algebraic Form

Minimize W _ 4y1 _ 12y2 _ 18y3,

subject to
y1 _ 3y3 _ 3
2y2 _ 2y3 _ 5
and
y1 _ 0, y2 _ 0, y3 _ 0.

Dual Problem
in Matrix Form

4
Minimize W _ [y1,y2,y3] 12

18
subject to
1 0
[y1, y2, y3] 0 2 _ [3, 5]
3
2

and

[y1, y2, y3] _ [0, 0, 0]$$$$$$


Consequently, (1) the parameters for a constraint in either problem are the coeffi-cients of a variable in the other problem and (2) the coefficients for the objective func-tion of either problem are the right sides for the other problem. Thus, there is a direct cor-respondence between these entities in the two problems, as summarized in Table 6.3. These correspondences are a key to some of the applications of duality theory, including sensi-tivity analysis$$$
Origin of the Dual Problem

Duality theory is based directly on the fundamental insight (particularly with regard to row 0) presented in Sec. 5.3. To see why, we continue to use the notation introduced in Table 5.10 for row 0 of the final tableau, except for replacing Z* by W* and dropping the asterisks from z* and y* when referring to any tableau. Thus, at any given iteration of the simplex method for the primal problem, the current numbers in row 0 are denoted as shown in the (partial) tableau given in Table 6.4. For the coefficients of x1, x2, . . . , xn, recall that z _ (z1, z2, . . . , zn) denotes the vector that the simplex method added to the vector of initial coefficients, _c, in the process of reaching the current tableau. (Do not confuse z with the value of the objective function Z.) Similarly, since the initial coeffi-

cients of xn_1, xn_2, . . . , xn_m in row 0 all are 0, y _ ( y1, y2, . . . , ym) denotes the vec-tor that the simplex method has added to these coefficients. Also recall [see Eq. (1) in the
$$$6.1 THE ESSENCE OF DUALITY THEORY 233


TABLE 6.2 Primal-dual table for linear programming, illustrated by the Wyndor Glass Co. example

(a) General Case

Primal Problem

Coefficient of: Right


x1 x2 xn Side

Problem Coefficientof: y1 a11 a12  a1n _ b1 CoefficientsforObjectiveFunction(Minimize)
y2 a21 a22  a2n _ b2
_  _
ym am1 am2  amn _ bm
Dual RightSide VI VI  VI
c1 c2  cn


Coefficients for Objective Function (Maximize)

(b) Wyndor Glass Co. Example

x1 x2

y1 1 0 _ 4
y2 0 2 _ 12
y3 3 2 _ 18

VI VI
3 5


“Mathematical Summary” subsection of Sec. 5.3] that the fundamental insight led to the following relationships between these quantities and the parameters of the original model:

m
W _ yb _ _ bi yi ,
i_1

m
z _ yA, so zj _ _ aijyi , for j _ 1, 2, . . . , n$$$i_1

To illustrate these relationships with the Wyndor example, the first equation gives W _ 4y1 _ 12y2 _ 18y3, which is just the objective function for the dual problem shown

TABLE 6.3 Correspondence between entities in primal and dual problems

One Problem Other Problem

Constraint i ← → Variable i
Objective function ← → Right sides

$$$234 6 DUALITY THEORY AND SENSITIVITY ANALYSIS
TABLE 6.4 Notation for entries in row 0 of a simplex tableau

Basic Coefficient of: Right

xn  xn_m
Iteration Variable Eq. Z x1 x2 xn_1 xn_2 Side
Any Z (0) 1 z1 _ c1 z2 _ c2  zn _ cn y1 y2 ym W

in the upper right-hand box of Table 6.1. The second set of equations give z1 _ y1 _ 3y3 and z2 _ 2y2 _ 2y3, which are the left-hand sides of the functional constraints for this dual problem. Thus, by subtracting the right-hand sides of these _ constraints (c1 _ 3 and c2 _ 5), (z1 _ c1) and (z2 _ c2) can be interpreted as being the surplus variables for these functional constraints$$$
The remaining key is to express what the simplex method tries to accomplish (ac-cording to the optimality test) in terms of these symbols. Specifically, it seeks a set of ba-sic variables, and the corresponding BF solution, such that all coefficients in row 0 are nonnegative. It then stops with this optimal solution. Using the notation in Table 6.4, this goal is expressed symbolically as follows:

Condition for Optimality:

zj _ cj _ 0 for j _ 1, 2, . . . , n, yi _ 0 for i _ 1, 2, . . . , m$$$
After we substitute the preceding expression for zj, the condition for optimality says that the simplex method can be interpreted as seeking values for y1, y2, . . . , ym such that

m
W _ _ biyi,
i_1

subject to

m
_ aijyi _ cj, for j _ 1, 2, . . . , n
i_1

and

yi _ 0, for i _ 1, 2, . . . , m$$$
But, except for lacking an objective for W, this problem is precisely the dual problem! To complete the formulation, let us now explore what the missing objective should be$$$
Since W is just the current value of Z, and since the objective for the primal problem is to maximize Z, a natural first reaction is that W should be maximized also. However, this is not correct for the f

Kết quả (Việt) 1:

6Lý thuyết nhị nguyên vàPhân tích độ nhạyMột trong những khám phá quan trọng nhất trong giai đoạn phát triển của lập trình tuyến tính là khái niệm nhị nguyên, các chi nhánh quan trọng nhiều. Khám phá này cho rằng mọi vấn đề lập trình tuyến tính kết hợp với nó một vấn đề lập trình tuyến tính được gọi là kép. Các mối quan hệ giữa hai vấn đề và vấn đề ban đầu (được gọi là các nguyên) chứng minh là rất hữu ích trong nhiều cách khác nhau. Cho ví dụ phong phú, bạn sẽ sớm thấy rằng giá bóng được mô tả trong Sec. 4.7 thực sự là pro-vided bởi các giải pháp tối ưu cho vấn đề kép. Chúng tôi sẽ mô tả nhiều ứng dụng khác có thể valu của duality lý thuyết trong chương này là tốt$ $$Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết nhị nguyên nằm trong việc giải thích và thực hiện phân tích độ nhạy. Như chúng tôi đã đề cập trong khô. 2.3, 3.3, và 4.7, độ nhạy analy-sis là một phần rất quan trọng của hầu như tất cả nghiên cứu lập trình tuyến tính. Bởi vì hầu hết các giá trị tham số được sử dụng trong các mô hình ban đầu là ước tính chỉ trong điều kiện tương lai, có hiệu lực trên các giải pháp tối ưu, nếu các điều kiện ưu tiên áp dụng thay vào đó cần phải được investi có cổng vào. Hơn nữa, một số giá trị tham số (chẳng hạn như số lượng tài nguyên) có thể đại diện cho quản lý quyết định, trong đó trường hợp sự lựa chọn của các giá trị tham số có thể là các vấn đề chính để được nghiên cứu, mà có thể được thực hiện thông qua phân tích độ nhạy $$$Cho rõ ràng hơn, lần đầu tiên ba phần thảo luận về lý thuyết nhị nguyên dưới assump-tion vấn đề lập trình tuyến tính nguyên là trong mẫu tiêu chuẩn của chúng tôi (nhưng với không có re-striction giá trị bi cần phải tích cực). Các hình thức khác sau đó được thảo luận trong Sec. 6.4. Chúng tôi bắt đầu chương bằng cách giới thiệu bản chất của duality lý thuyết và ứng dụng của nó. Sau đó, chúng tôi mô tả việc giải thích kinh tế của vấn đề kép (Sec. 6.2) và nghiên cứu kỹ sâu hơn vào các mối quan hệ giữa các vấn đề nguyên và kép (Sec. 6.3). 6,5 phần tập trung vào vai trò của duality lý thuyết trong phân tích độ nhạy. Các thủ tục cơ bản cho phân tích sen-sitivity (mà dựa trên sự thấu hiểu cơ bản của Sec. 5,3) tóm tắt trong Sec. 6.6 và minh họa trong Sec. 6.7$ $$230$$$ 6.1 NHỮNG TINH TÚY CỦA DUALITY LÝ THUYẾT 2316.1 NHỮNG TINH TÚY CỦA DUALITY LÝ THUYẾT$ $$Đưa ra hình thức tiêu chuẩn của chúng tôi cho vấn đề nguyên ở phía bên trái (có lẽ sau khi chuyển đổi từ một hình thức), vấn đề kép có dạng hiển thị ở bên phải. $$$ Vấn đề nguyên nTối đa hóa Z _ _ cjxj, j_1tùy thuộc vào n_ aijxj _ bi, cho tôi _ 1, 2,..., mj_1vàXJ _ 0, cho j _ 1, 2,..., n$ $$ Hai vấn đề mGiảm thiểu W _ _ bi yi, i_1tùy thuộc vào m_ aij yi _ cj, cho j _ 1, 2,..., ni_1vàYi _ 0, cho tôi _ 1, 2,..., m$ $$Vì vậy, vấn đề kép sử dụng chính xác các tham số tương tự như vấn đề nguyên, nhưng ở vị trí c-ferent. Để làm nổi bật so sánh, bây giờ nhìn vào những vấn đề tương tự hai trong ma-trix ký hiệu (như giới thiệu đầu Sec. 5.2), nơi c và y _ [y1, y2,..., ym] hàng vectơ nhưng b và x là cột vector$ $$Nguyên vấn đề vấn đề kép Tối đa hóa Z _ cx, giảm thiểu W _ yb,tùy thuộc vào tùy thuộc vào Ax _ b yA _ cvà và x-0. y _ 0$ $$ Để minh họa, vấn đề nguyên và kép ví dụ Wyndor kính công của Sec. 3.1 được hiển thị trong bảng 6.1 trong cả hai đại số và dạng ma trận $$$Bàn nguyên kép cho lập trình tuyến tính (bảng 6.2) cũng sẽ giúp để làm nổi bật sự tương ứng giữa hai vấn đề. Nó cho thấy tất cả các tuyến tính lập trình parame-ters (aij, bi, và cj) và làm thế nào chúng được sử dụng để xây dựng hai vấn đề. Tất cả các đầu-ings cho vấn đề nguyên là ngang, trong khi các đề mục cho vấn đề kép được đọc bằng cách chuyển cuốn sách nghiêng. Đối với vấn đề nguyên, mỗi cột (ngoại trừ các cột bên phải) cho các hệ số của một biến duy nhất trong những hạn chế tương ứng và sau đó trong hàm mục tiêu, trong khi đó mỗi hàng (ngoại trừ phía dưới một) cho param-eters cho một contraint duy nhất. Đối với vấn đề kép, mỗi hàng (ngoại trừ dòng bên phải) cho các hệ số của một biến duy nhất trong những hạn chế tương ứng và sau đó trong chức năng ob-jective, trong khi mỗi cột (ngoại trừ một bìa phải) cho các tham số cho một hạn chế duy nhất. Ngoài ra, cột bên phải cho các bên tay phải cho vấn đề nguyên và hệ số hàm mục tiêu cho vấn đề kép, trong khi hàng dưới cùng cho hệ số hàm mục tiêu cho vấn đề nguyên và bên tay phải đối với vấn đề kép $$$ 232 6 DUALITY lý thuyết và phân tích độ nhạyBẢNG 6.1 Primal và các vấn đề kép ví dụ Wyndor kính công$$$Vấn đề nguyêntrong hình thức đại sốTối đa hóa Z _ 3 x 1 _ 5 x 2,tùy thuộc vàox 1 _ 4 2 x 2 _ 12_ _ 2 x 2 3 x 1 18andx1 _ 0, x 2 _ 0$ $$Vấn đề nguyênở dạng ma trậnTối đa hóa Z _ [3, 5] _xx12_,tùy thuộc vào 1 0 x 1 4 0 2 _x2_ _ 12 3 2 18 và_xx12_ _ _00_$ $$Hai vấn đềtrong hình thức đại sốGiảm thiểu W _ 4y1 _ 12y2 _ 18y3, tùy thuộc vào y1 _ 3y3 _ 3 2y2 _ 2y3 _ 5 và y1 _ 0, y2 _ 0, y3 _ 0. Hai vấn đề ở dạng ma trận 4 Giảm thiểu W _ [y1, y2, y3] 12 18 tùy thuộc vào 1 0 [y1, y2, y3] 0 2 _ [3, 5] 3 2 và[y1, y2, y3] _ [0, 0, 0] $$$Do đó, (1) các thông số cho một hạn chế ở một trong hai vấn đề là coeffi-cients của một biến trong các vấn đề khác và (2) các hệ số cho func-tion khách quan của một trong hai vấn đề là bên cho các vấn đề khác. Vì vậy, có là một trực tiếp cor-respondence giữa các thực thể trong hai vấn đề, tóm tắt trong bảng 6.3. Các correspondences là một chìa khóa cho một số ứng dụng của lý thuyết nhị nguyên, bao gồm cả phân tích sensi-cao $$$Nguồn gốc của vấn đề képLý thuyết nhị nguyên dựa trực tiếp trên sự thấu hiểu cơ bản (đặc biệt là đối với hàng 0) trình bày trong Sec. 5.3. Để xem lý do tại sao, chúng tôi tiếp tục sử dụng các ký hiệu được giới thiệu vào bảng 5,10 cho hàng 0 hoạt cảnh cuối cùng, ngoại trừ thay thế Z * bởi W * và thả các dấu sao từ z * và y * khi đề cập đến bất kỳ hoạt cảnh. Vì vậy, tại bất kỳ lặp nhất định của các phương pháp simplex cho vấn đề nguyên, các số tiền hiện tại trong hàng 0 được biểu hiện như minh hoạ trong các hoạt cảnh (một phần) được đưa ra trong bảng 6.4. Cho hệ số x 1, x 2,..., xn, nhớ lại rằng z _ (z1, z2,..., zn) là bắt các véc tơ simplex phương pháp bổ sung vào các véc tơ của hệ số ban đầu, _c, trong quá trình tiếp cận hoạt cảnh hiện tại. (Không nhầm lẫn z với giá trị của hàm mục tiêu Z). Tương tự như vậy, kể từ coeffi ban đầu-cients xn_1, xn_2,..., xn_m trong hàng 0 tất cả là 0, y _ (y1, y2,..., ym) là bắt vec-tor phương pháp simplex thêm vào những hệ số. Cũng nhớ lại [xem Eq. (1) trong các$$$ 6.1 NHỮNG TINH TÚY CỦA DUALITY LÝ THUYẾT 233BẢNG 6.2 Primal kép bảng cho lập trình tuyến tính, minh họa bằng ví dụ Wyndor kính công(a) Tổng trường hợp Vấn đề nguyên Hệ số: quyền  x 1 x 2 xn mặt Vấn đề Coefficientof: y1 a11 a12  a1n _ b1 CoefficientsforObjectiveFunction(Minimize) y2 a21 a22  a2n _ b2 _  _ YM am1 am2  amn _ bm Kép RightSide VI VI  VI c1 c2  cn Coefficients for Objective Function (Maximize)(b) Wyndor Glass Co. Example x1 x2 y1 1 0 _ 4 y2 0 2 _ 12 y3 3 2 _ 18 VI VI 3 5 “Mathematical Summary” subsection of Sec. 5.3] that the fundamental insight led to the following relationships between these quantities and the parameters of the original model:mW _ yb _ _ bi yi ,i_1mz _ yA, so zj _ _ aijyi , for j _ 1, 2, . . . , n$$$i_1To illustrate these relationships with the Wyndor example, the first equation gives W _ 4y1 _ 12y2 _ 18y3, which is just the objective function for the dual problem shownTABLE 6.3 Correspondence between entities in primal and dual problemsOne Problem Other ProblemConstraint i ← → Variable iObjective function ← → Right sides$$$234 6 DUALITY THEORY AND SENSITIVITY ANALYSIS TABLE 6.4 Notation for entries in row 0 of a simplex tableau Basic Coefficient of: Right xn  xn_m Iteration Variable Eq. Z x1 x2 xn_1 xn_2 Side Any Z (0) 1 z1 _ c1 z2 _ c2  zn _ cn y1 y2 ym W in the upper right-hand box of Table 6.1. The second set of equations give z1 _ y1 _ 3y3 and z2 _ 2y2 _ 2y3, which are the left-hand sides of the functional constraints for this dual problem. Thus, by subtracting the right-hand sides of these _ constraints (c1 _ 3 and c2 _ 5), (z1 _ c1) and (z2 _ c2) can be interpreted as being the surplus variables for these functional constraints$$$The remaining key is to express what the simplex method tries to accomplish (ac-cording to the optimality test) in terms of these symbols. Specifically, it seeks a set of ba-sic variables, and the corresponding BF solution, such that all coefficients in row 0 are nonnegative. It then stops with this optimal solution. Using the notation in Table 6.4, this goal is expressed symbolically as follows:Condition for Optimality:zj _ cj _ 0 for j _ 1, 2, . . . , n, yi _ 0 for i _ 1, 2, . . . , m$$$After we substitute the preceding expression for zj, the condition for optimality says that the simplex method can be interpreted as seeking values for y1, y2, . . . , ym such thatmW _ _ biyi,i_1subject tom_ aijyi _ cj, for j _ 1, 2, . . . , ni_1andyi _ 0, for i _ 1, 2, . . . , m$$$But, except for lacking an objective for W, this problem is precisely the dual problem! To complete the formulation, let us now explore what the missing objective should be$$$Since W is just the current value of Z, and since the objective for the primal problem is to maximize Z, a natural first reaction is that W should be maximized also. However, this is not correct for the f

Kết quả (Việt) 2:

6 Duality Lý thuyết và phân tích độ nhạy Một trong những khám phá quan trọng nhất trong sự phát triển sớm của quy hoạch tuyến tính là khái niệm nhị nguyên và nhiều nhánh quan trọng của nó. Phát hiện này cho thấy rằng tất cả các vấn đề lập trình tuyến tính đã liên kết với nó một vấn đề lập trình tuyến tính được gọi là kép. Các mối quan hệ giữa các vấn đề kép và các vấn đề ban đầu (gọi là nguyên thủy) chứng minh là rất hữu ích trong nhiều cách khác nhau. Đối với ex-phong phú, bạn sẽ sớm thấy rằng giá shadow mô tả trong Sec. 4.7 thực sự là pro-vided bởi các giải pháp tối ưu cho vấn đề kép. Chúng tôi sẽ mô tả nhiều ứng dụng valu-thể khác của lý thuyết nhị nguyên trong chương này cũng $$$ Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết nhị nguyên nằm trong việc giải thích và thực hiện phân tích độ nhạy. Như chúng tôi đã đề cập trong Giây. 2.3, 3.3, và 4.7, độ nhạy Analy-sis là một phần rất quan trọng của hầu hết các nghiên cứu quy hoạch tuyến tính. Bởi vì hầu hết các giá trị tham số được sử dụng trong các mô hình ban đầu chỉ là ước tính về điều kiện tương lai, các hiệu ứng trên các giải pháp tối ưu nếu các điều kiện khác áp dụng thay vì cần phải được investi-gated. Hơn nữa, giá trị tham số nhất định (chẳng hạn như số lượng tài nguyên) có thể đại diện cho các quyết định quản lý, trong trường hợp lựa chọn các giá trị tham số có thể là vấn đề chính để được nghiên cứu, có thể được thực hiện thông qua phân tích độ nhạy $$$ Nhằm làm rõ hơn, là người đầu tiên ba phần thảo luận về lý thuyết nhị nguyên dưới assump-tion rằng vấn đề nguyên sơ quy hoạch tuyến tính là ở dạng chuẩn của chúng tôi (nhưng không có tái striction rằng các giá trị bi cần phải là số dương). Các hình thức này sau đó được thảo luận trong Sec. 6.4. Chúng ta bắt đầu chương bằng cách giới thiệu bản chất của lý thuyết nhị nguyên và ứng dụng của nó. Sau đó chúng tôi mô tả cách giải thích kinh tế của vấn đề kép (Sec. 6.2) và đào sâu hơn vào mối quan hệ giữa các vấn đề nguyên sơ và kép (Sec. 6.3). Phần 6.5 tập trung vào vai trò của lý thuyết nhị nguyên trong phân tích độ nhạy. Các thủ tục cơ bản để phân tích sen-sitivity (được dựa trên nhận thức cơ bản của Sec. 5.3) được tóm tắt trong Sec. 6.6 và minh họa trong Sec. 6,7 $$$$$$ 230 $$$ 6.1 những bản chất nhị nguyên LÝ 231 6.1 những bản chất nhị nguyên LÝ THUYẾT $$$ Với hình thức tiêu chuẩn của chúng tôi đối với các vấn đề nguyên thủy ở bên trái (có lẽ sau khi chuyển đổi từ hình thức khác), vấn đề kép của nó có các hình thức hiển thị bên phải. $$$$$$ Primal Vấn đề n Maximize Z _ _ cjxj, j_1 chịu n _ _ aijxj bi, cho tôi _ 1, 2,. . . , M j_1 và xj _ 0, cho j _ 1, 2,. . . , N $$$$$$ kép Problem m Giảm thiểu W _ _ bi yi, i_1 chịu m _ aij yi _ cj, cho j _ 1, 2,. . . , N i_1 và yi _ 0, cho tôi _ 1, 2,. . . , M $$$$$$ Như vậy, vấn đề kép sử dụng chính xác các thông số tương tự như vấn đề nguyên thủy, nhưng tại các địa điểm khác nha-ferent. Để làm nổi bật sự so sánh, bây giờ nhìn vào những cùng hai vấn đề trong ký hiệu ma-trix (như đã giới thiệu ở phần đầu của Sec. 5,2), nơi c và y _ [y1, y2,. . . , Ym] là các vectơ hàng nhưng b và x là vectơ cột $$$ Primal Vấn đề kép Vấn đề Maximize Z _ cx, Giảm thiểu W _ yb, chịu này đều lấy rìu _ b Ya _ c và và x _ 0. y _ 0 $ $$ Để minh họa, các vấn đề về nguyên sơ và kép cho ví dụ Wyndor Glass Co của Sec. 3.1 được trình bày trong Bảng 6.1 ở cả hai hình thức đại số và ma trận $$$ Bảng nguyên thủy-kép cho lập trình tuyến tính (Bảng 6.2) cũng sẽ giúp để làm nổi bật sự tương ứng giữa hai vấn đề. Nó cho thấy tất cả các lập trình tuyến tính parame-ters (các aij, bi, và cj) và cách chúng được sử dụng để xây dựng hai vấn đề. Tất cả các đầu ings cho các vấn đề nguyên thủy đều nằm ngang, trong khi các tiêu đề cho các vấn đề kép được đọc bằng cách chuyển cuốn sách sang một bên. Đối với vấn đề nguyên thủy, mỗi cột (trừ cột Right Side) cung cấp cho các hệ số của một biến duy nhất trong những hạn chế tương ứng và sau đó trong hàm mục tiêu, trong khi mỗi hàng (ngoại trừ dưới cùng một) cung cấp cho các param-các thông cho một contraint đơn . Đối với vấn đề kép, mỗi hàng (trừ hàng Right Side) cung cấp cho các hệ số của một biến duy nhất trong những hạn chế tương ứng và sau đó trong hàm ob-jective, trong khi mỗi cột (trừ bìa phải một) cho các tham số cho một hạn chế duy nhất . Ngoài ra, các cột phải Side cung cấp cho các bên tay phải cho các vấn đề nguyên thủy và các hệ số hàm mục tiêu cho các vấn đề kép, trong khi hàng dưới cùng cho các hệ số hàm mục tiêu cho các vấn đề nguyên thủy và các bên tay phải cho các vấn đề kép $$$$$$ 232 6 tính hai mặt lý thuyết và phân tích nhạy BẢNG 6.1 vấn đề Primal và kép cho ví dụ Wyndor Glass Co. $$$ Primal vấn đề trong đại số Form Maximize Z _ _ 3x1 5x2, chịu x1 _ 4 2x2 _ 12 3x1 _ 2x2 _ 18 andx1 _ 0, x2 _ 0 $$$ Vấn đề Primal trong Matrix Mẫu Maximize Z _ [3, 5] _xx12_, chịu 1 0 x1 4 0 2 _x2_ _ 12 3 2 18 và _xx12_ _ _00 _ $$$$ $$ kép vấn đề trong đại số Form Giảm thiểu W _ 4y1 _ _ 12y2 18y3, chịu y1 _ _ 3 3y3 2y2 2y3 _ _ 5 và y1 _ 0, y2 _ 0, y3 _ 0. Hai vấn đề trong Form Matrix 4 Giảm thiểu W _ [y1, y2, y3] 12 18 chịu 1 0 [y1, y2, y3] 0 2 _ [3, 5] 3 2 và [y1, y2, y3] _ [0, 0, 0] $$$$ $$ Do đó, (1) các tham số cho một hạn chế ở một trong hai vấn đề là coeffi-cients của một biến trong các vấn đề khác và (2) các hệ số cho các mục tiêu func-tion của một trong hai vấn đề là các bên phải cho các vấn đề khác . Như vậy, có một cor-respondence trực tiếp giữa những tổ chức tại hai vấn đề, ​​như được tóm tắt trong Bảng 6.3. Những thư từ là một chìa khóa để một số ứng dụng của lý thuyết nhị nguyên, bao gồm phân tích nhạy-tivity $$$ xứ của hai vấn đề lý thuyết đối ngẫu được trực tiếp dựa trên hiểu biết cơ bản (đặc biệt đối với chèo 0) trình bày trong Sec. 5.3. Để biết tại sao, chúng tôi tiếp tục sử dụng các ký hiệu được giới thiệu ở bảng 5.10 cho hàng 0 của hoạt cảnh cuối cùng, trừ thay thế bởi Z * W * và thả các dấu sao từ z * và * y khi đề cập đến bất kỳ hoạt cảnh. Vì vậy, ở bất cứ lặp đi lặp lại được của phương pháp đơn hình cho các vấn đề nguyên thủy, những con số hiện tại trong hàng 0 được biểu hiện như thể hiện trong (một phần) hoạt cảnh được đưa ra trong Bảng 6.4. Đối với các hệ số của x1, x2,. . . , Xn, nhớ lại rằng z _ (z1, z2,..., Zn) biểu thị vector rằng phương pháp simplex thêm vào vector các hệ số ban đầu, _C, trong quá trình tiếp cận các hoạt cảnh hiện tại. (Đừng nhầm lẫn z với các giá trị của hàm mục tiêu Z.) Tương tự như vậy, kể từ khi các hệ số của ban đầu cients của xn_1, xn_2,. . . , Xn_m trong hàng 0 thì tất cả là 0, y _ (y1, y2,..., Ym) biểu thị các vec-tor rằng phương pháp simplex đã thêm vào các hệ số. Cũng nhớ lại [xem Eq. (1) trong $$$ 6.1 những bản chất nhị nguyên LÝ THUYẾT 233 BẢNG 6.2 bảng Primal-kép cho lập trình tuyến tính, được minh họa bằng ví dụ Wyndor Glass Co (a) Tổng hợp Primal Problem Hệ số: Ngay  x1 x2 xn Side Vấn đề Coefficientof : y1 a11 a12  a1n _ b1 CoefficientsforObjectiveFunction (Minimize) y2 A21 A22  a2n b2 _ _ _  ym AM1 AM2  AMN _ bm kép rightside VI VI VI  c1 c2  cn hệ số cho hàm mục tiêu (Maximize) (b) Wyndor Glass Co. Ví dụ x1 x2 y1 1 0 _ 4 y2 0 2 _ 12 y3 3 2 _ 18 VI VI 3 5 "Summary toán học" tiểu mục của Sec. 5.3] rằng hiểu biết cơ bản dẫn đến các mối quan hệ sau đây giữa các số lượng và các thông số của mô hình ban đầu: m W _ yb _ _ bi yi, i_1 m z _ Ya, vì vậy zj _ _ aijyi, cho j _ 1, 2, . . . , N $$$ i_1 Để minh họa cho những mối quan hệ với các ví dụ Wyndor, phương trình đầu tiên cho W _ 4y1 _ _ 12y2 18y3, mà chỉ là hàm mục tiêu cho các vấn đề kép thể hiện BẢNG 6.3 Sự tương ứng giữa các thực thể trong nguyên sơ và các vấn đề kép Một vấn đề Vấn đề khác Constraint i ← → Biến i Mục tiêu chức năng ← → bên phải $$$ 234 6 nhị nguyên LÝ VÀ PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY BẢNG 6.4 Ký hiệu cho các mục trong dòng 0 của một hoạt cảnh simplex Basic Hệ số: Ngay xn  xn_m Iteration Variable Eq. Z x1 x2 xn_1 xn_2 Side Bất kỳ Z (0) 1 z1 _ c1 z2 _ c2  zn _ cn y1 y2 ym W ở phía trên hộp bên phải của bảng 6.1. Tập thứ hai của phương trình đó cho z1 _ _ y1 3y3 và z2 _ _ 2y2 2y3, đó là những mặt trái của những hạn chế chức năng cho vấn đề kép này. Như vậy, bằng cách trừ đi bên phải của các ràng buộc _ (c1 và c2 _ 3 _ 5), (z1 _ c1) và (z2 _ c2) có thể được hiểu như là các biến dư thừa cho những hạn chế chức năng $$$ Các chính còn lại là để thể hiện những gì các phương pháp simplex cố gắng để thực hiện (ac-trí theo các thử nghiệm tối ưu) về các biểu tượng này. Cụ thể, nó tìm kiếm một tập hợp các biến ba-sic, và các giải pháp BF tương ứng, như vậy mà tất cả các hệ số trong hàng 0 là không âm. Sau đó nó dừng lại với giải pháp tối ưu này. Sử dụng các ký hiệu trong bảng 6.4, mục tiêu này được thể hiện một cách tượng trưng như sau: Điều kiện để tính tối ưu: zj _ _ cj 0 cho j _ 1, 2,. . . , N, yi _ 0 cho tôi _ 1, 2,. . . , M $$$ Sau khi chúng ta thay thế các biểu hiện trước đó để zj, các điều kiện để tối ưu nói rằng phương pháp đơn hình có thể được giải thích như tìm kiếm các giá trị cho y1, y2,. . . , Ym như vậy mà m W _ _ biyi, i_1 chịu m _ _ aijyi cj, cho j _ 1, 2,. . . , N i_1 và yi _ 0, cho tôi _ 1, 2,. . . , M $$$ Nhưng, ngoại trừ thiếu một mục tiêu cho W, vấn đề này chính là vấn đề kép! Để hoàn thành việc xây dựng, bây giờ chúng ta khám phá những gì còn thiếu khách quan nên được $$$ Vì W chỉ là giá trị hiện tại của Z, và vì mục tiêu cho các vấn đề nguyên thủy là tối đa hóa Z, một phản ứng đầu tiên tự nhiên là W mà nên tối đa cũng có. Tuy nhiên, điều này là không chính xác cho các f