Natural Excitation Technique (NExT)

Natural Excitation Technique (NExT)
Modal Parameter Extraction From
Operating Wind Turbines


Introduction
The Natural Excitation Technique (NExT) is a method of modal testing that allows structures to be tested in their ambient environments. Specifically, this has allowed vertical-axis wind turbines (VAWTs) to be tested during operation. The resulting modal frequencies and damping ratios are then extracted from measured response data. Knowledge of the total modal damping (structural and aeroelastic) is important for predicting fatigue life and reducing resonant responses. The concept of using natural excitation for modal testing of parked wind turbines was first suggested by Lauffer et at. [1]. The technique was developed further and used for the modal tests of the Eole turbine [2] and the Sandia 34-in turbine [3].

This report is a compilation of the new developments and results since 1990 previously reported in References 4—6. We begin with a brief overview of NExT, followed by its theoretical development and a demonstration using analytically gener- ated data. Appendix A provides additional information on frequency shifts in the analytically generated data to support the analytical demonstration. Modal tests using step relaxation and wind excitation (NExT) are compared for a parked 19-in turbine manufactured by FloWind Corporation. The results show the accuracy of NExT and uncover a damping mechanism for parked wind turbines, described in Appendix B. A rotating wind turbine, which derives substantial damping from aeroelastic interactions during operation, was tested and the modal parameters were determined as a function of’the operating rotation speed using NExT. This provides an e:aperimental technique to quantify the aeroelastic properties of wind turbines. Further, experimental results calculated using NExT are compared with analytical predictions of damping using aeroelastic theory. These measurements provide new information to refine the aeroelastic theories that predict damping.

Overview
Conventional modal analysis utilizes frequency response functions (FRFs) which require measurements of both input force and the resulting response. However, ambient wind excitation does not lend itself to FRF calculations because the input force cannot be measured. NExT is a four-step process designed to estimate modal parameters of structures excited in their operating environment.

The first step is to acquire response data from the operating structure. Sensors that can measure strain, displacement, velocity, or acceleration response are required. Long time histories of continuous data are desired, provided the operating conditions are relatively stationary.









The second step is to calculate auto- and cross-correlation functions from these time histories uaing standard techniques [7,8]. Correlation functions are commonly used to analyze randomly excited systems {8J. As the following section will show, the correlation
functions can be expressed aa summations of decaying sinusoids. Each decaying sinusoid . has a damped natural frequency and damping ratio that is identical to that of a corresponding structural mode.

The third step of NExT uses a time-domain modal identification scheme to estimate the modal parameters by treating the correlation functions as though they were free vibration responses—that is, sums of decaying sinusoids. The Polyreference technique [9] and the Eigensystem Realization Algorithm (ERA) [10] have been used as the time-domain modal identification schemes to extract modal frequencies and damping ratios.

The final step of NExT estimates mode shape using the identified modal frequencies and modal damping ratios. Previous work has been performed on mode shape extraction [2,3]; however, this report will not present any mode shape results. An activity closely related to mode shape extraction uses the identified modal parameters to synthesize the autoepectrum from each C£II19OT. Thi9 provides a means of visually verifying the accuracy of the estimated modal frequencies and damping ratios. This report will present some results from autospectrum synthesis.

Theoretical Development of NExT
A theoretical justification of NExT entails proving that a MIMO (multiple input, multiple output), multiple-mode system excited by random inputs produces autocorrelation and cross-correlation functions that are sums of decaying ainuaoida. Furthermore, these decaying sinusoids must have the same damped frequencies and damping ratios as the modes of the system. Consequently, the correlation functions will have the same form as impulse response functions and thus can be used in standard modal analysis algorithms.

The approach is to develop a general solution for a structure with a discrete spatial representation; define the cross-correlation function between two outputs; and solve for the case of random inputs. The theoretical justification of NExT can be developed for a general class of random inputs, fully complex modes, and the presence of known harmonic inputs. However, this development will be limited to the case of white-noise inputs, real modes, and no harmonics, thus allowing the reader to obtain an appreciation for the theoretical background of NExT without the added complexities of the most general case. The fully general derivation will be presented in an upcoming report.

The derivation begins by assuming the standard matrix equations of motion:

(1)
where •
[M] is the mass matrix
[C] is the damping matrix
[K] is the stiffness matrix
|f l is a vector of random forcing functions
|xJ is the vector of random displacements.









Equation (1) can be expreaaed in modal coordinates uaing a Standard modal
transformation:






where



[4•] is the modal matrix

{ q(I)) ia a vector of modal coordinates
|Q '|ia the rth mode ahape.
A premultiplication of Equation (1) by (•b] ia also performed. Since real normal modea are assumed, [M), [C], and [K] are simultaneously diagonalized. A set of scalar equations in the modal coordinated result:




where



w( is the rth modal frequency
is the rth modal damping ratio
in’ is the rth modal maas.


The solution of Equation (3), assuming a ganaral { f} and zero initial conditions, is obtained from the convolution or Duhamel integral [11]:
«'‹t› - t i ‹'i’ i r‹.›i g '(t—.› a.
1
where g ’(ID -,exp
modal frequency.

Equations (4) and (2) can now be used to obtain the solution for |xitu :




where n is the number of modes.

Equation (5) will now be specialized for a single output, xik(t , due to a single input force, fg(t), at point k.



(6)


where Q is the ith component of mode shape r.









The impulse response function between input k and output i results when f(r) in Equation (6) is a Dirac delta function at r - 0. The integration is collapsed and the following results:






The next step of the theoretical development is to form the cross-correlation function of two responses ( ix &nd X; ) due to a white-noise input at a particular input point k. Reference [12] defines the cross-correlation function Rijk(T) th t d value of the product of two responses evaluated at a time separation of T:


Substituting Equation 6) into (8 results in the following, since fk(t) is the only
random variable:








Using the definition of the autocorrelation function [12], and assuming ITU of Equation (9) is white noise, then the autocorrelation function of I is:

(10)
where nd is a constant and fi (I) is the Dirac delta function.

Substituting Equation (10 into Equation (9 , and collapsing the first integration by
using the definition of the delta function produces the following:



r



Equation (11) can be further simplified by making a change in the variable of
integration. If we let k - t — r, then the limits of integration are zero and cc. And , Equation (11) becomes:



(12)

















Using the definition of g from Equation (4) and the trig identity for the aine of a aum reaulta in all the terms involving T separating from those involving X:







Note that substitution of Equation (13) into (12) along with the corresponding formula for g‘(XQ allowa terma that depend on T to be factored out of the integral and out of the second summation (the s index , resulting in:






where and are independent of T, are functions of only the modal parameters,
the summation on s, and are shown below.



Equation (14) is the key result of this derivation. Examining Equation (14), we can aee that the crosa-correlation function is indeed a sum of decaying sinusoids, with the same characteristics ae the impulse response function of the original system (see Equation (7) ; thus, croas-correlation functions can be used as impulse response functions in time-domain modal parameter estimation schemes.



we have:

definite integral, and















To further illustrate the uaeful form of these results, define a quantity y,. such that:

(18)

Kết quả (Việt) 1:

Kích thích tự nhiên kỹ thuật (tiếp theo)Cách thức tham số khai thác từHoạt động các tua bin gióGiới thiệuKỹ thuật kích thích tự nhiên (tiếp theo) là một phương pháp kiểm tra cách thức mà cho phép các cấu trúc để được kiểm tra trong môi trường xung quanh. Cụ thể, điều này đã cho phép các tua bin gió trục thẳng đứng (VAWTs) để được kiểm tra trong thời gian hoạt động. Các tần số kết quả phương thức và tỷ lệ damping sau đó được chiết xuất từ dữ liệu đo phản ứng. Kiến thức về cách thức dao tất cả (cấu trúc và aeroelastic) là quan trọng đối với dự đoán mệt mỏi cuộc sống và giảm phản ứng cộng hưởng. Khái niệm của việc sử dụng tự nhiên kích thích cho lần đầu tiên thử nghiệm phương thức của tua bin gió chưa sử dụng đã được đề xuất bởi Lauffer et lúc. [1]. các kỹ thuật được phát triển hơn nữa và được sử dụng cho các bài kiểm tra cách thức của tua-bin Eole [2] và Sandia 34 - in tuabin [3].Báo cáo này là một trình biên dịch những phát triển mới và các kết quả từ năm 1990 trước đây báo cáo trong tài liệu tham khảo 4-6. Chúng tôi bắt đầu với một tổng quan về kế tiếp, tiếp theo là phát triển lý thuyết của nó và một cuộc biểu tình bằng cách sử dụng phân tích dữ liệu gener-ated. Phụ lục A cung cấp các thông tin bổ sung về tần số thay đổi trong dữ liệu phân tích được tạo ra để hỗ trợ các cuộc biểu tình phân tích. Cách thức các bài kiểm tra bằng cách sử dụng kích thích thư giãn và gió bước (tiếp theo) được so sánh cho một tuabin chưa sử dụng 19 - in được sản xuất bởi công ty cổ phần FloWind. Các kết quả hiển thị chính xác của tiếp theo và phát hiện ra một cơ chế damping cho tua bin gió chưa sử dụng, được mô tả trong phụ lục b Một tuốc bin gió quay, có nguồn gốc đáng kể dao từ aeroelastic tương tác trong thời gian hoạt động, đã được thử nghiệm và các thông số phương thức được xác định như là một of'the chức năng hoạt động tốc độ quay bằng cách sử dụng tiếp theo. Điều này cung cấp một kỹ thuật e:aperimental để định lượng các thuộc tính aeroelastic của tua bin gió. Hơn nữa, thử nghiệm kết quả tính toán bằng cách sử dụng tiếp theo được so sánh với phân tích dự báo của dao sử dụng lý thuyết aeroelastic. Các số đo cung cấp các thông tin mới để tinh chỉnh các lý thuyết aeroelastic dự đoán dao.Tổng quanPhân tích cách thức thông thường sử dụng tần số phản ứng chức năng (FRFs) mà yêu cầu các phép đo của cả hai lực lượng đầu vào và phản ứng kết quả. Tuy nhiên, kích thích môi trường xung quanh gió không cho vay chính nó để tính toán FRF vì lực lượng nhập không thể được đo. Tiếp theo một quá trình bốn bước thiết kế để ước tính các thông số phương thức của cấu trúc vui mừng trong môi trường hoạt động của họ.Bước đầu tiên là để có được phản ứng dữ liệu từ cấu trúc điều hành. Bộ cảm biến có thể đo lường phản ứng căng thẳng, trọng lượng rẽ nước, vận tốc, hoặc tăng tốc được yêu cầu. Dài thời gian lịch sử của các dữ liệu liên tục được mong muốn, cung cấp các điều kiện hoạt động là tương đối cố định. Bước thứ hai là để tính toán tự động và đường tương quan chức năng từ những thời gian lịch sử uaing tiêu chuẩn kỹ thuật [7,8]. Tương quan chức năng thường được sử dụng để phân tích hệ thống ngẫu nhiên vui mừng {8J. Như các phần sau đây sẽ hiển thị, các mối tương quanchức năng có thể là bày tỏ summations aa của mục nát sinusoids. Mỗi sinusoid mục nát. có một tần số năm và damping tỷ lệ là giống hệt nhau với một chế độ cấu trúc tương ứng.Bước tiếp theo, thứ ba sử dụng một chương trình tên miền thời gian xác định phương thức để ước tính các thông số phải trả lời bằng cách điều trị các chức năng tương quan như thể họ đang phản ứng miễn phí rung — có nghĩa là, số tiền của mục nát sinusoids. Kỹ thuật Polyreference [9] và Eigensystem thực hiện thuật toán (ERA) [10] đã được sử dụng như là các chương trình thời gian-miền xác định phương thức để trích xuất các phương thức tần số và damping tỷ lệ.Bước tiếp theo, cuối cùng ước tính hình dạng chế độ sử dụng tần số được xác định cách thức và phương thức tỷ lệ damping. Trước công việc đã được thực hiện trên chế độ hình dạng khai thác [2,3]; Tuy nhiên, báo cáo này sẽ không giới thiệu bất kỳ hình dạng kết quả. Một hoạt động chặt chẽ liên quan đến chế độ hình dạng khai thác sử dụng các tham số được xác định phương thức tổng hợp autoepectrum từ mỗi C£ II19OT. Thi9 cung cấp một phương tiện trực quan để xác minh tính chính xác của các tần số ước tính khoảng cách thức và giảm tỷ lệ. Báo cáo này sẽ trình bày một số kết quả từ autospectrum tổng hợp.Lý thuyết phát triển tiếp theoMột biện minh lý thuyết tới đòi hỏi phải chứng minh rằng một MIMO (nhiều đầu vào, đầu ra nhiều), nhiều chế độ hệ thống vui mừng bởi ngẫu nhiên đầu vào sản xuất autocorrelation và đường tương quan chức năng là khoản tiền của ainuaoida mục nát. Hơn nữa, Bosnia và các sinusoids mục nát phải có cùng một tần số năm và damping tỷ lệ như chế độ của hệ thống. Do đó, các chức năng tương quan sẽ có hình thức tương tự như xung phản ứng chức năng và do đó có thể được sử dụng trong các thuật toán phân tích phương thức tiêu chuẩn.Cách tiếp cận là để phát triển một giải pháp chung cho một cấu trúc với một đại diện không gian rời rạc; xác định các chức năng cross-tương quan giữa hai kết quả đầu ra; và giải quyết các trường hợp ngẫu nhiên đầu vào. Các biện minh lý thuyết của tiếp theo có thể được phát triển cho một lớp học tổng quát của ngẫu nhiên đầu vào, chế độ đầy đủ phức tạp, và sự hiện diện của đầu vào điều hòa được biết đến. Tuy nhiên, sự phát triển này sẽ được giới hạn trong các trường hợp đầu vào tiếng ồn trắng, chế độ thực, và không có hài, do đó cho phép người đọc để có được một sự đánh giá cao cho nền tảng lý thuyết của tiếp theo mà không có sự phức tạp thêm của trường hợp đặt chung. Các derivation hoàn toàn tổng hợp sẽ được trình bày trong một báo cáo sắp tới.Các derivation bắt đầu bằng cách giả sử các phương trình tiêu chuẩn ma trận chuyển động: (1)nơi •[M] là ma trận đại chúng[C] là ma trận damping[K] là ma trận cứng|f l là một véc tơ ngẫu nhiên buộc hàm|xJ là véc tơ ngẫu nhiên displacements. Phương trình (1) có thể là expreaaed trong phương thức tọa độ uaing một phương thức tiêu chuẩnchuyển đổi: nơi [4•] là ma trận phương thức {q(I)) ia một vector tọa độ phương thức|Q ' |ia rth chế độ ahape.Một premultiplication của phương trình (1) bởi (•b] ia cũng thực hiện. Kể từ khi bình thường thực modea được cho rằng, [M), [C], và [K] đồng thời diagonalized. Một tập hợp các phương trình vô hướng trong kết quả phối hợp phương thức: nơi w (là tần số phương thức rthlà tỷ lệ damping phương thức rthtrong ' là rth phương thức maas. Các giải pháp của phương trình (3), giả sử một ganaral {f} và không điều kiện ban đầu, thu được từ convolution hoặc tách rời Duhamel [11]:«'‹t› - t tôi ‹ 'i' tôi r‹.›i g ' (t —. › một.1nơi g ' (ID-, exp phương thức tần số.Phương trình (4) và (2) bây giờ có thể được sử dụng để có được giải pháp cho |xitu: trong đó n là số của chế độ.Phương trình (5) bây giờ sẽ được đặc biệt cho một sản lượng duy nhất, xik (t, do một lực lượng đầu vào duy nhất, fg(t), tại điểm k.(6)nơi Q là thành phần thứ i của chế độ hình dạng r. Chức năng phản ứng xung giữa đầu vào k và đầu ra tôi kết quả khi f(r) trong phương trình (6) là một hàm delta Dirac tại r - 0. Hội nhập bị sụp đổ và kết quả như sau: Bước tiếp theo của sự phát triển lý thuyết là để tạo thành các chức năng cross-tương quan hai phản ứng (ix & nd X;) do một đầu vào tiếng ồn trắng tại một thời điểm cụ thể đầu vào k. tham khảo [12] xác định giá trị chức năng cross-tương quan Rijk(T) th t d của các sản phẩm của hai phản ứng đánh giá tại một thời gian tách T: Thay thế phương trình 6) vào (8 kết quả trong sau đây, kể từ khi fk(t) là duy nhấtbiến ngẫu nhiên: Bằng cách sử dụng định nghĩa của các chức năng autocorrelation [12], và giả sử ITU phương trình (9) là tiếng ồn trắng, sau đó các chức năng autocorrelation của tôi là: (10)nơi nd là một hằng số và fi (I) là hàm delta Dirac.Thay thế phương trình (10 vào phương trình (9, và sụp đổ tích hợp đầu tiên bởibằng cách sử dụng định nghĩa của hàm delta sản xuất sau đây:rPhương trình (11) có thể được đơn giản hơn nữa bằng cách làm cho một sự thay đổi trong biến củahội nhập. Nếu chúng tôi cho k - t-r, sau đó các giới hạn của hội nhập là zero và cc. Và, phương trình (11) trở thành:(12) Bằng cách sử dụng định nghĩa của g từ phương trình (4) và nhận dạng trang điểm cho aine aum reaulta trong tất cả các điều khoản liên quan đến T tách từ X: liên quan đến Lưu ý rằng thay thế của phương trình (13) vào (12) cùng với công thức tương ứng cho g'(XQ allowa terma mà phụ thuộc vào T được yếu tố xác ra khỏi tích phân và ra khỏi tổng kết thứ hai (chỉ số s, kết quả là: nơi và độc lập của T, chức năng của chỉ là các thông số cách thức,Tổng kết trên s, và được thể hiện dưới đây. Phương trình (14) là kết quả quan trọng của derivation này. Việc nghiên cứu phương trình (14), chúng tôi có thể aee rằng các chức năng tương quan crosa thực sự là một số mục nát sinusoids, với cùng một đặc điểm ae chức xung phản ứng của hệ thống ban đầu (xem phương trình (7); vì vậy, croas-tương quan chức năng có thể được sử dụng như xung phản ứng chức năng trong tham số phương thức thời gian-miền dự toán đề án. Chúng tôi có: tích phân xác định, và Để thêm minh họa dưới hình thức những kết quả này uaeful, xác định một số lượng y. sao cho:(18)

Kết quả (Việt) 2:

Kỹ thuật kích thích tự nhiên (tiếp theo)
Modal Parameter Extraction Từ
hành tuabin gió Giới thiệu The Natural Excitation Kỹ thuật (tiếp theo) là một phương pháp thử nghiệm phương thức cho phép các cấu trúc được thử nghiệm trong môi trường xung quanh của họ. Cụ thể, điều này đã cho phép chuyển dọc trục tua bin gió (VAWTs) để được kiểm tra trong quá trình hoạt động. Kết quả tần số phương thức và tỷ lệ giảm xóc sau đó được chiết xuất từ phản ứng dữ liệu đo. Kiến thức tổng phương thức giảm xóc (cấu trúc và aeroelastic) là rất quan trọng cho việc dự đoán cuộc sống mệt mỏi và giảm những phản ứng cộng hưởng. Các khái niệm của việc sử dụng kích thích tự nhiên để thử nghiệm phương thức của các tua-bin gió đậu lần đầu tiên được đề xuất bởi Lauffer et tại. [1]. Kỹ thuật này đã được phát triển hơn nữa và sử dụng cho các bài kiểm tra phương thức của tuabin Eole [2] và Sandia 34 trong tuabin [3]. Báo cáo này là một bộ sưu tập của những phát triển mới và kết quả từ năm 1990 báo cáo trước đây trong tài liệu tham khảo 4-6. Chúng ta bắt đầu với một tổng quan ngắn gọn về Tiếp theo, tiếp theo là phát triển lý thuyết của nó và một trình diễn sử dụng phân tích dữ liệu ated nhìn chung. Phụ lục A cung cấp thêm thông tin về sự thay đổi tần số trong phân tích dữ liệu được tạo ra để hỗ trợ các cuộc biểu phân tích. Kiểm tra phương thức sử dụng bước thư giãn và kích thích gió (tiếp theo) được so sánh với một đậu 19 trong tua-bin sản xuất bởi Công ty Cổ phần FloWind. Kết quả cho thấy độ chính xác của NeXT và phát hiện ra một cơ chế giảm xóc cho tua bin gió chưa sử dụng, được mô tả trong Phụ lục B. A quay turbine gió, mà xuất phát từ sự tương tác đáng kể damping aeroelastic trong khi hoạt động, đã được thử nghiệm và các thông số phương thức đã được xác định là một chức năng của ' các hoạt động tốc độ luân chuyển sử dụng tiếp theo. Điều này cung cấp một e: kỹ thuật aperimental để xác định số lượng các thuộc tính aeroelastic của tuabin gió. Hơn nữa, kết quả thực nghiệm tính toán sử dụng tiếp theo là phân tích so với dự đoán của giảm xóc sử dụng lý thuyết aeroelastic. Những phép đo này cung cấp những thông tin mới để tinh chỉnh các lý thuyết aeroelastic rằng ước đoán giảm xóc. Tổng quan về phân tích phương thức thông thường sử dụng các chức năng đáp ứng tần số (FRFs) mà đòi hỏi các phép đo của cả hai lực lượng đầu vào và phản ứng của kết quả. Tuy nhiên, kích thích gió xung quanh không cho vay chính nó để tính toán FRF vì lực lượng đầu vào không thể đo lường. Tiếp theo là một quy trình bốn bước thiết kế để ước lượng các tham số phương thức của các cấu trúc kích thích trong môi trường hoạt động của họ. Bước đầu tiên là để có được các dữ liệu phản hồi từ các cơ cấu điều hành. Cảm biến có thể đo sức căng, chuyển vị, vận tốc, gia tốc hoặc phản ứng được yêu cầu. Thời gian dài lịch sử của dữ liệu liên tục được mong muốn, cung cấp các điều kiện hoạt động là tương đối tĩnh. Bước thứ hai là tính năng tự động tương và tương quan chéo từ các sử thời gian uaing kỹ thuật tiêu chuẩn [7,8]. Tương quan chức năng thường được sử dụng để phân tích các hệ thống kích thích ngẫu nhiên {8J. Là phần tiếp theo sẽ hiển thị, các tương quan chức năng có thể được thể hiện aa summations của xoang bị suy nhược. Mỗi hình sin mục nát. có một tần số tự nhiên ướt và tỷ lệ giảm xóc mà là giống như của một chế độ cấu trúc tương ứng. Bước thứ ba của tiếp theo sử dụng một chương trình nhận dạng phương thức miền thời gian để ước lượng các tham số phương thức bằng cách xử lý các chức năng tương quan như thể họ được tự do rung responses- đó là, các khoản tiền của xoang bị suy nhược. Kỹ thuật Polyreference [9] và Eigensystem Realization Algorithm (ERA) [10] đã được sử dụng như là các mô hình nhận dạng miền thời gian phương thức để giải nén tần số phương thức và tỷ lệ giảm xóc. Bước cuối cùng dự tiếp theo chế độ hình sử dụng tần số phương thức xác định và phương thức giảm xóc tỷ lệ. Nghiên cứu trước đây đã được thực hiện trên khai thác chế độ hình dạng [2,3]; Tuy nhiên, báo cáo này sẽ không đưa ra bất kỳ kết quả chế độ hình. Một hoạt động có liên quan chặt chẽ đến khai thác chế độ hình sử dụng các tham số phương thức được xác định để tổng hợp các autoepectrum từ mỗi bảng C II19OT. Thi9 cung cấp một phương tiện trực quan xác minh tính chính xác của tần số phương thức ước tính và tỷ lệ giảm xóc. Báo cáo này sẽ trình bày một số kết quả từ tổng hợp autospectrum. Phát triển lý thuyết của NeXT Một minh về lý thuyết đòi hỏi những tiếp theo chứng minh rằng một MIMO (nhiều đầu vào, đầu ra nhiều), hệ thống đa phương thức kích thích bằng đầu vào ngẫu nhiên tạo ra mối tương quan và tương quan chéo chức năng mà là khoản của mục nát ainuaoida. Hơn nữa, các xoang mục nát phải có tần số cùng nhẹ và tỷ lệ giảm xóc như các chế độ của hệ thống. Do đó, các chức năng tương quan sẽ có các hình thức tương tự như các chức năng đáp ứng xung và do đó có thể được sử dụng trong thuật toán phân tích tiêu chuẩn phương thức. Cách tiếp cận này là để phát triển một giải pháp chung cho một cấu trúc với một đại diện không gian rời rạc; xác định các chức năng tương quan chéo giữa hai kết quả đầu ra; và giải quyết cho các trường hợp đầu vào ngẫu nhiên. Các biện minh lý thuyết của tiếp theo có thể được phát triển cho một lớp học chung của đầu vào ngẫu nhiên, chế độ đầy đủ phức tạp, và sự hiện diện của các yếu tố đầu vào hài nổi tiếng. Tuy nhiên, sự phát triển này sẽ được giới hạn trong các trường hợp đầu vào nhiễu trắng, chế độ thực, và không có sóng hài, do đó cho phép người đọc để có được một sự đánh giá cao cho các cơ sở lý thuyết của NeXT mà không có sự phức tạp gia tăng của các trường hợp chung nhất. Nguồn gốc hoàn toàn nói chung sẽ được trình bày trong một báo cáo sắp tới. Các dẫn xuất bắt đầu bằng cách giả định các phương trình ma trận chuẩn về chuyển động: (1) nơi • [M] là ma trận khối lượng [C] là ma trận giảm xóc [K] là ma trận độ cứng | fl là một vector của các chức năng buộc ngẫu nhiên | XJ là vector dịch chuyển ngẫu nhiên. Phương trình (1) có thể được expreaaed trong tọa độ modal uaing một phương thức tiêu chuẩn chuyển đổi: nơi [4 •] là phương thức ma trận {q (I)) ia một vector của phương thức phối | Q '|. ia chế độ rth ahape A premultiplication của phương trình (1) cho (• b] ia cũng thực hiện từ modea bình thường thực được giả, [M, [C.)], và [K] đồng thời diagonalized. Một tập hợp các phương trình vô hướng trong kết quả phối hợp phương thức: nơi w (là tần số rth phương thức là phương thức rth giảm xóc tỷ lệ . trong 'là rth modal maas Các giải pháp của phương trình (3), giả sử một ganaral {f} và không ban đầu điều kiện, được lấy từ chập hoặc Duhamel thể thiếu [11]: «'<t> - ti <' i 'Ir <> ig.' (t -.> a. 1 nơi g '(ID -, exp tần số phương thức. phương trình (4) và (2) có thể được sử dụng để có được những giải pháp cho | xitu: . trong đó n là số chế độ Equation (5) bây giờ sẽ được chuyên môn cho một đầu ra duy nhất, xik (t, do một đơn đầu vào lực lượng, fg (t), tại điểm k. (6) trong đó Q là thành phần thứ i của chế độ hình r. Các chức năng đáp ứng xung giữa đầu vào và đầu ra k i kết quả khi f (r) trong phương trình (6) là một vùng đồng bằng Dirac chức năng tại r - 0. hội nhập là sụp đổ và kết quả như sau: Các bước tiếp theo của sự phát triển lý thuyết là hình thành các chức năng tương quan chéo của hai phản ứng (ix & nd X;) do một đầu vào nhiễu trắng tại một đầu vào cụ thể . Điểm k tham khảo [12] định nghĩa các chức năng tương quan chéo Rijk (T) lần thứ giá trị td của các sản phẩm của hai phản ứng đánh giá tại một thời điểm tách T: Thay phương trình 6) vào (8 kết quả trong những điều sau đây, kể từ khi fk (t ) là chỉ biến ngẫu nhiên: Sử dụng định nghĩa của hàm tự tương quan [12], và giả định ITU của phương trình (9) là tiếng ồn trắng, thì hàm tự tương quan của tôi là: (10) nơi nd là một hằng số và fi (I ) là hàm delta Dirac. Thay phương trình (10 vào phương trình (9, và sụp đổ đầu tiên của hội nhập bằng cách sử dụng định nghĩa của hàm delta sản xuất như sau: r phương trình (11) có thể được đơn giản hóa hơn nữa bằng cách làm cho một sự thay đổi trong các biến hội nhập. Nếu chúng ta để cho k - t - r, sau đó các giới hạn của hội nhập là zero và cc. Và, phương trình (11) trở thành: (12) Sử dụng định nghĩa của g từ phương trình (4) và bản sắc trang điểm cho Aine của một reaulta Aum trong tất cả các điều khoản liên quan đến T tách từ những người liên quan X: Lưu ý thay thế của phương trình ( 13) vào (12) cùng với các công thức tương ứng với g '(XQ allowa terma mà phụ thuộc vào T để ra được yếu tố của tích phân và ra khỏi tổng thứ hai (chỉ số s, kết quả là: ở đâu và độc lập với T, là các hàm của chỉ các thông số phương thức, tổng trên s, và được trình bày dưới đây. Phương trình (14) là kết quả quan trọng của dẫn xuất này. Xem xét các phương trình (14), chúng ta có thể AEE rằng chức năng Crosa tương quan thực sự là một khoản . xoang mục nát, với những đặc điểm giống nhau ae các chức năng đáp ứng xung của hệ thống ban đầu (xem phương trình (7), do đó, chức năng croas tương quan có thể được sử dụng như chức năng đáp ứng xung trong miền thời gian chương trình tham số phương thức ước lượng ta có: nhất định không thể thiếu và Để minh họa thêm hình thức uaeful của những kết quả, xác định một số lượng y ,. như vậy mà: (18)