Relations from a set A to itself ar

Relations from a set A to itself are of special interest.
DEFINITION 2 A relation on a set A is a relation from A to A.
In other words, a relation on a set A is a subset of A × A.
EXAMPLE 4 Let A be the set {1, 2, 3, 4}. Which ordered pairs are in the relation R = {(a, b) | a divides b}?
Solution: Because (a, b) is in R if and only if a and b are positive integers not exceeding 4 such
that a divides b, we see that
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.
The pairs in this relation are displayed both graphically and in tabular form in Figure 2. ▲
Next, some examples of relations on the set of integers will be given in Example 5.
EXAMPLE 5 Consider these relations on the set of integers:
R1 = {(a, b) | a ≤ b},
R2 = {(a, b) | a>b},
R3 = {(a, b) | a = b or a = −b},
R4 = {(a, b) | a = b},
R5 = {(a, b) | a = b + 1},
R6 = {(a, b) | a + b ≤ 3}.
Which of these relations contain each of the pairs (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, −1), and (2, 2)?
Remark: Unlike the relations in Examples 1–4, these are relations on an infinite set.
Solution: The pair (1, 1) is in R1, R3, R4, and R6; (1, 2) is in R1 and R6; (2, 1) is in R2, R5,
and R6; (1, −1) is in R2, R3, and R6; and finally, (2, 2) is in R1, R3, and R4. ▲
It is not hard to determine the number of relations on a finite set, because a relation on a
set A is simply a subset of A × A.
1 R 1 3
1
2
3
2 4
4
2
3
4
1
2
3
4
FIGURE 2 Displaying the Ordered Pairs in
the Relation R from Example 4.

Kết quả (Việt) 1:

Quan hệ từ một tập A chính nó đặc biệt quan tâm.Định NGHĨA 2 A mối quan hệ trên một tập A là một mối quan hệ từ A đến A.Nói cách khác, một mối quan hệ trên một tập A là tập con của một × A.Ví DỤ 4 cho A là tập {1, 2, 3, 4}. Mà ra lệnh cho cặp trong mối quan hệ R = {(a, b) | b phân chia}?Giải pháp: Vì (a, b) là ở R nếu và chỉ nếu một và b là số nguyên dương không quá 4 như vậymột b phân chia, chúng ta thấy rằngR = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.Các cặp trong mối quan hệ này được hiển thị đồ họa và trong các hình thức bảng trong hình 2. ▲Sau đó, một số ví dụ về các mối quan hệ trên tập hợp số nguyên sẽ được đưa ra trong ví dụ 5.Ví DỤ 5 Hãy xem xét các mối quan hệ trên tập hợp số nguyên:R1 = {(a, b) | ≤ b},R2 = {(a, b) | một > b},R3 = {(a, b) | một = b hoặc a = −b},R4 = {(a, b) | một = b},R5 = {(a, b) | một = b + 1},R6 = {(a, b) | một + b ≤ 3}.Có những quan hệ chứa mỗi cặp (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, −1), và (2, 2)?Ghi chú: Không giống như các mối quan hệ ở ví dụ 1-4, đây là những mối quan hệ trên một tập vô hạn.Giải pháp: Các cặp (1, 1) là R1, R3, R4 và R6; (1, 2) là R1 và R6; (2, 1) là trong R2, R5,và R6; (1, −1) trong R2, R3 và R6; và cuối cùng, (2, 2) là R1, R3 và R4. ▲Nó không phải là khó để xác định số lượng các mối quan hệ trên một tập hữu hạn, bởi vì một mối quan hệ trên mộttập A là chỉ đơn giản là một tập hợp con của một × A.1 R 1 31232 442341234Hiển thị các cặp đã ra lệnh trong HÌNH 2quan hệ R từ ví dụ 4.

Kết quả (Việt) 2:

Quan hệ từ tập A cho chính nó là mối quan tâm đặc biệt.
ĐỊNH NGHĨA 2 Một mối quan hệ trên tập A là một quan hệ từ A đến A.
Nói cách khác, một quan hệ trên tập A là một tập hợp con của A × A.
Ví dụ 4 Hãy A là tập {1, 2, 3, 4}. Những cặp thứ tự là trong quan hệ R = {(a, b) | một chia b}?
Giải pháp: Bởi vì (a, b) là R nếu và chỉ nếu a và b là các số nguyên dương không vượt quá 4 như vậy
mà phân chia b, chúng ta thấy rằng
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.
Các cặp trong mối quan hệ này được hiển thị cả đồ họa và dưới dạng bảng trong Hình 2. ▲
Tiếp theo, một số ví dụ về các mối quan hệ trên tập các số nguyên sẽ được đưa ra trong Ví dụ 5.
Ví dụ 5 Xem xét các mối quan hệ trên tập các số nguyên:
R1 = {(a, b) | a ≤ b},
R2 = {(a, b) | a> b},
R3 = {(a, b) | a = b hoặc a = -b},
R4 = {(a, b) | a = b},
R5 = {(a, b) | a = b + 1},
R6 = {(a, b) | a + b ≤ 3}.
Mà trong những mối quan hệ chứa mỗi cặp (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, -1), và (2, 2)?
Ghi chú: Không giống như các mối quan hệ trong ví dụ 1-4, đây là những mối quan hệ trên một tập vô hạn.
giải pháp: các cặp (1, 1) là trong R1, R3, R4, R6 và; (1, 2) là R1 và R6; (2, 1) là trong R2, R5,
và R6; (1, -1) là trong R2, R3 và R6; và cuối cùng, (2, 2) là trong R1, R3 và R4. ▲
Nó không phải là khó để xác định số lượng các mối quan hệ trên một tập hợp hữu hạn, vì một mối quan hệ trên
tập A đơn giản chỉ là một tập hợp con của A × A.
1 R 1 3
1
2
3
2 4
4
2
3
4
1
2
3
4
Hình 2 Hiển thị các cặp có thứ tự trong
các quan hệ R từ Ví dụ 4.