Introduction of a New VariableAs in

Introduction of a New Variable
As indicated in Table 6.6, the decision variables in the model typically represent the levels of the various activities under consideration. In some situations, these activities were
selected from a larger group of possible activities, where the remaining activities were not
included in the original model because they seemed less attractive. Or perhaps these other
activities did not come to light until after the original model was formulated and solved.
Either way, the key question is whether any of these previously unconsidered activities
are sufficiently worthwhile to warrant initiation. In other words, would adding any of these
activities to the model change the original optimal solution?
Adding another activity amounts to introducing a new variable, with the appropriate
coefficients in the functional constraints and objective function, into the model. The only
resulting change in the dual problem is to add a new constraint (see Table 6.3).
After these changes are made, would the original optimal solution, along with the
new variable equal to zero (nonbasic), still be optimal for the primal problem? As for the
preceding case, an equivalent question is whether the complementary basic solution for
the dual problem is still feasible. And, as before, this question can be answered simply
by checking whether this complementary basic solution satisfies one constraint, which in
this case is the new constraint for the dual problem.
To illustrate, suppose for the Wyndor Glass Co. problem of Sec. 3.1 that a possible
third new product now is being considered for inclusion in the product line. Letting xnew
represent the production rate for this product, we show the resulting revised model as
follows:
Maximize Z 3x1 5x2 4xnew,
subject to
x1 2x2 2xnew 4
3x1 2x2 3xnew 12
3x1 2x2 xnew 18
and
x1 0, x2 0, xnew 0.
After we introduced slack variables, the original optimal solution for this problem without x
new (given by Table 4.8) was (x1, x2, x3, x4, x5) (2, 6, 2, 0, 0). Is this solution, along
with x
new 0, still optimal?
To answer this question, we need to check the complementary basic solution for the
dual problem. As indicated by the complementary optimal basic solutions property in Sec.
6.3, this solution is given in row 0 of the final simplex tableau for the primal problem,
using the locations shown in Table 6.4 and illustrated in Table 6.5. Therefore, as given in
both the bottom row of Table 6.5 and the sixth row of Table 6.9, the solution is
(y1, y2, y3, z1 c1, z2 c2) 0, 3 2 , 1, 0, 0.
(Alternatively, this complementary basic solution can be derived in the way that was illustrated in Sec. 6.3 for the complementary basic solution in the next-to-last row of Table 6.9.)
6.5 THE ROLE OF DUALITY THEORY IN SENSITIVITY ANALYSIS 253
Since this solution was optimal for the original dual problem, it certainly satisfies the
original dual constraints shown in Table 6.1. But does it satisfy this new dual constraint?
2y1 3y2 y3 4
Plugging in this solution, we see that
2(0) 33 2 (1) 4
is satisfied, so this dual solution is still feasible (and thus still optimal). Consequently, the
original primal solution (2, 6, 2, 0, 0), along with xnew 0, is still optimal, so this third
possible new product should not be added to the product line.
This approach also makes it very easy to conduct sensitivity analysis on the coefficients
of the new variable added to the primal problem. By simply checking the new dual constraint,
you can immediately see how far any of these parameter values can be changed before they
affect the feasibility of the dual solution and so the optimality of the primal solution.
Other Applications
Already we have discussed two other key applications of duality theory to sensitivity analysis, namely, shadow prices and the dual simplex method. As described in Secs. 4.7 and 6.2,
the optimal dual solution (y1 *, y2 *, . . . , ym *) provides the shadow prices for the respective
resources that indicate how Z would change if (small) changes were made in the bi (the resource amounts). The resulting analysis will be illustrated in some detail in Sec. 6.7.
In more general terms, the economic interpretation of the dual problem and of the simplex method presented in Sec. 6.2 provides some useful insights for sensitivity analysis.
When we investigate the effect of changing the bi or the aij values (for basic variables), the original optimal solution may become a superoptimal basic solution (as defined in Table 6.10) instead. If we then want to reoptimize to identify the new optimal solution, the dual simplex method (discussed at the end of Secs. 6.1 and 6.3) should be
applied, starting from this basic solution.
We mentioned in Sec. 6.1 that sometimes it is more efficient to solve the dual problem directly by the simplex method in order to identify an optimal solution for the primal problem. When the solution has been found in this way, sensitivity analysis for the
primal problem then is conducted by applying the procedure described in the next two
sections directly to the dual problem and then inferring the complementary effects on the
primal problem (e.g., see Table 6.11). This approach to sensitivity analysis is relatively
straightforward because of the close primal-dual relationships described in Secs. 6.1 and
6.3. (See Prob. 6.6-3.)

Introduction of a New Variable
As indicated in Table 6.6, the decision variables in the model typically represent the levels of the various activities under consideration. In some situations, these activities were
selected from a larger group of possible activities, where the remaining activities were not
included in the original model because they seemed less attractive. Or perhaps these other
activities did not come to light until after the original model was formulated and solved.
Either way, the key question is whether any of these previously unconsidered activities
are sufficiently worthwhile to warrant initiation. In other words, would adding any of these
activities to the model change the original optimal solution?
Adding another activity amounts to introducing a new variable, with the appropriate
coefficients in the functional constraints and objective function, into the model. The only
resulting change in the dual problem is to add a new constraint (see Table 6.3).
After these changes are made, would the original optimal solution, along with the
new variable equal to zero (nonbasic), still be optimal for the primal problem? As for the
preceding case, an equivalent question is whether the complementary basic solution for
the dual problem is still feasible. And, as before, this question can be answered simply
by checking whether this complementary basic solution satisfies one constraint, which in
this case is the new constraint for the dual problem.
To illustrate, suppose for the Wyndor Glass Co. problem of Sec. 3.1 that a possible
third new product now is being considered for inclusion in the product line. Letting xnew
represent the production rate for this product, we show the resulting revised model as
follows:
Maximize Z  3x1  5x2  4xnew,
subject to
x1  2x2  2xnew  4
3x1  2x2  3xnew  12
3x1  2x2  xnew  18
and
x1  0, x2  0, xnew  0.
After we introduced slack variables, the original optimal solution for this problem without x
new (given by Table 4.8) was (x1, x2, x3, x4, x5)  (2, 6, 2, 0, 0). Is this solution, along
with x
new  0, still optimal?
To answer this question, we need to check the complementary basic solution for the
dual problem. As indicated by the complementary optimal basic solutions property in Sec.
6.3, this solution is given in row 0 of the final simplex tableau for the primal problem,
using the locations shown in Table 6.4 and illustrated in Table 6.5. Therefore, as given in
both the bottom row of Table 6.5 and the sixth row of Table 6.9, the solution is
(y1, y2, y3, z1  c1, z2  c2) 0, 3 2 , 1, 0, 0.
(Alternatively, this complementary basic solution can be derived in the way that was illustrated in Sec. 6.3 for the complementary basic solution in the next-to-last row of Table 6.9.)
6.5 THE ROLE OF DUALITY THEORY IN SENSITIVITY ANALYSIS 253
Since this solution was optimal for the original dual problem, it certainly satisfies the
original dual constraints shown in Table 6.1. But does it satisfy this new dual constraint?
2y1  3y2  y3  4
Plugging in this solution, we see that
2(0)  33 2   (1)  4
is satisfied, so this dual solution is still feasible (and thus still optimal). Consequently, the
original primal solution (2, 6, 2, 0, 0), along with xnew  0, is still optimal, so this third
possible new product should not be added to the product line.
This approach also makes it very easy to conduct sensitivity analysis on the coefficients
of the new variable added to the primal problem. By simply checking the new dual constraint,
you can immediately see how far any of these parameter values can be changed before they
affect the feasibility of the dual solution and so the optimality of the primal solution.
Other Applications
Already we have discussed two other key applications of duality theory to sensitivity analysis, namely, shadow prices and the dual simplex method. As described in Secs. 4.7 and 6.2,
the optimal dual solution (y1 *, y2 *, . . . , ym *) provides the shadow prices for the respective
resources that indicate how Z would change if (small) changes were made in the bi (the resource amounts). The resulting analysis will be illustrated in some detail in Sec. 6.7.
In more general terms, the economic interpretation of the dual problem and of the simplex method presented in Sec. 6.2 provides some useful insights for sensitivity analysis.
When we investigate the effect of changing the bi or the aij values (for basic variables), the original optimal solution may become a superoptimal basic solution (as defined in Table 6.10) instead. If we then want to reoptimize to identify the new optimal solution, the dual simplex method (discussed at the end of Secs. 6.1 and 6.3) should be
applied, starting from this basic solution.
We mentioned in Sec. 6.1 that sometimes it is more efficient to solve the dual problem directly by the simplex method in order to identify an optimal solution for the primal problem. When the solution has been found in this way, sensitivity analysis for the
primal problem then is conducted by applying the procedure described in the next two
sections directly to the dual problem and then inferring the complementary effects on the
primal problem (e.g., see Table 6.11). This approach to sensitivity analysis is relatively
straightforward because of the close primal-dual relationships described in Secs. 6.1 and
6.3. (See Prob. 6.6-3.)

0/5000

Từ: -

Sang: -

Kết quả (Việt) 1: [Sao chép]

Sao chép!

Giới thiệu một biến mớiNhö minh hoïa trong bảng 6.6, các biến quyết định trong các mô hình thường đại diện cho mức độ của các hoạt động khác nhau đang được xem xét. Trong một số trường hợp, các hoạt động này đãchọn từ một nhóm lớn hơn có thể hoạt động, nơi các hoạt động còn lại khôngbao gồm trong các mô hình ban đầu bởi vì họ có vẻ ít hấp dẫn. Hoặc có lẽ những kháchoạt động không đến với ánh sáng cho đến sau khi mô hình ban đầu được xây dựng và giải quyết.Dù bằng cách nào, câu hỏi quan trọng là cho dù bất kỳ của các hoạt động trước đây unconsideredlà đủ đáng giá để đảm bảo sự khởi đầu. Nói cách khác, sẽ thêm bất kỳ nhữngCác hoạt động của mô hình thay đổi ban đầu giải pháp tối ưu?Thêm một hoạt động số tiền để giới thiệu một biến mới, với các thích hợpHệ số trong các chức năng khó khăn và hàm mục tiêu, vào các mô hình. Duy nhấtsự thay đổi kết quả trong vấn đề kép là thêm một hạn chế mới (xem bảng 6.3).Sau khi những thay đổi này được thực hiện, sẽ là giải pháp tối ưu ban đầu, cùng với cácbiến mới bằng 0 (nonbasic), vẫn được tối ưu cho vấn đề nguyên? Đối với cáctrường hợp trước, một câu hỏi tương đương là liệu các giải pháp cơ bản bổ sung chovấn đề kép là vẫn còn khả thi. Và, như trước đó, câu hỏi này có thể được trả lời đơn giản làbằng cách kiểm tra cho dù giải pháp cơ bản bổ sung này đáp ứng một trong những hạn chế, mà trongtrường hợp này là hạn chế mới cho vấn đề kép.Để minh họa, giả sử cho vấn đề Wyndor kính công của Sec. 3.1 mà một có thểThứ ba sản phẩm mới bây giờ được coi là để đưa vào các dòng sản phẩm. Cho phép xnewđại diện cho mức sản xuất cho sản phẩm này, chúng tôi hiển thị các mô hình cải tiến kết quả nhưsau:Tối đa hóa Z 3 x 1 5 x 2 4xnew,tùy thuộc vàox 1 2 x 2 2xnew 43 x 1 2 x 2 3xnew 123 x 1 2 x 2 xnew 18vàx 1 0, x 2 0, xnew 0.Sau khi chúng tôi giới thiệu biến slack, ban đầu giải pháp tối ưu cho vấn đề này mà không có xmới (được đưa ra bởi bảng 4.8) là (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) (2, 6, 2, 0, 0). Đây là giải pháp, dọc theovới xmới 0, vẫn còn tối ưu?Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phải kiểm tra các giải pháp cơ bản bổ sung cho cáchai vấn đề. Như được chỉ ra bởi nhà bổ sung giải pháp tối ưu cơ bản trong giây.6.3, giải pháp này được đưa ra trong hàng 0 simplex tableau cuối cùng cho vấn đề nguyên,sử dụng các vị trí Hiển thị trong bảng 6.4 và minh họa trong bảng 6.5. Do đó, như được đưa ra trongcả hai dòng dưới cùng của bảng 6.5 và dòng thứ sáu của bảng 6.9, giải pháp là(y1, y2, y3, z1 c1, z2 c2) 0, 3 2, 1, 0, 0.(Ngoài ra, giải pháp cơ bản bổ sung này có thể được bắt nguồn trong cách được minh họa trong Sec. 6.3 cho các giải pháp cơ bản bổ sung trong dòng tiếp theo để cuối cùng của bảng 6.9.)6.5 VAI TRÒ CỦA DUALITY LÝ THUYẾT TRONG PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY 253Kể từ khi giải pháp này là tối ưu cho vấn đề kép ban đầu, nó chắc chắn đáp ứng cácoriginal dual constraints shown in Table 6.1. But does it satisfy this new dual constraint?2y1 3y2 y3 4Plugging in this solution, we see that2(0) 33 2 (1) 4is satisfied, so this dual solution is still feasible (and thus still optimal). Consequently, theoriginal primal solution (2, 6, 2, 0, 0), along with xnew 0, is still optimal, so this thirdpossible new product should not be added to the product line.This approach also makes it very easy to conduct sensitivity analysis on the coefficientsof the new variable added to the primal problem. By simply checking the new dual constraint,you can immediately see how far any of these parameter values can be changed before theyaffect the feasibility of the dual solution and so the optimality of the primal solution.Other ApplicationsAlready we have discussed two other key applications of duality theory to sensitivity analysis, namely, shadow prices and the dual simplex method. As described in Secs. 4.7 and 6.2,the optimal dual solution (y1 *, y2 *, . . . , ym *) provides the shadow prices for the respectiveresources that indicate how Z would change if (small) changes were made in the bi (the resource amounts). The resulting analysis will be illustrated in some detail in Sec. 6.7.In more general terms, the economic interpretation of the dual problem and of the simplex method presented in Sec. 6.2 provides some useful insights for sensitivity analysis.Khi chúng tôi điều tra tác dụng của việc thay đổi bi hoặc các giá trị aij (đối với biến cơ bản), ban đầu giải pháp tối ưu có thể trở thành một giải pháp cơ bản superoptimal (như được xác định trong bảng 6,10) thay vào đó. Nếu chúng ta sau đó muốn reoptimize để xác định các giải pháp tối ưu mới, phương pháp simplex kép (được thảo luận ở phần cuối của giây. 6,1 và 6.3) nênáp dụng, bắt đầu từ giải pháp cơ bản này.Chúng tôi đã đề cập trong Sec. 6,1 rằng đôi khi nó là hiệu quả hơn để giải quyết vấn đề kép trực tiếp bởi simplex phương pháp để xác định một giải pháp tối ưu cho vấn đề nguyên. Khi các giải pháp đã được tìm thấy bằng cách này, phân tích độ nhạy cho cácnguyên vấn đề sau đó được thực hiện bằng cách áp dụng các thủ tục được mô tả trong hai tiếp theophần trực tiếp đến vấn đề kép và sau đó suy luận bổ sung hiệu ứng trên cácnguyên vấn đề (ví dụ:, xem bảng 6,11). Cách tiếp cận này để phân tích độ nhạy là tương đốiđơn giản bởi vì các mối quan hệ chặt chẽ nguyên kép được mô tả trong giây. 6.1 và6.3. (xem Prob. 6.6-3.)

đang được dịch, vui lòng đợi..

Kết quả (Việt) 2:[Sao chép]

Sao chép!

Giới thiệu về một biến mới
Như đã nêu trong Bảng 6.6, các biến quyết định trong các mô hình điển hình đại diện cho mức độ của các hoạt động khác nhau được xem xét. Trong một số tình huống, các hoạt động này đã được
lựa chọn từ một nhóm lớn hơn của các hoạt động có thể, nơi các hoạt động còn lại không được
bao gồm trong mô hình ban đầu, vì họ có vẻ kém hấp dẫn. Hoặc có lẽ những khác
hoạt động không đưa ra ánh sáng cho đến sau khi các mô hình ban đầu được xây dựng và giải quyết.
Dù bằng cách nào, câu hỏi chính là liệu những hoạt động trước đây unconsidered
là đủ giá trị để bảo đảm bắt đầu. Nói cách khác, sẽ bổ sung thêm bất kỳ các
hoạt động với mô hình thay đổi các giải pháp tối ưu ban đầu?
Thêm một lượng hoạt động khác để giới thiệu một biến mới, với sự thích hợp
hệ số trong những hạn chế chức năng và hàm mục tiêu, vào mô hình. Chỉ có
kết quả thay đổi trong vấn đề kép là để thêm một ràng buộc mới (xem Bảng 6.3).
Sau khi những thay đổi này được thực hiện, sẽ là giải pháp tối ưu ban đầu, cùng với
mới biến bằng zero (nonbasic), vẫn được tối ưu cho các nguyên sơ vấn đề? Đối với các
trường hợp trước đó, một câu hỏi tương đương là liệu các giải pháp cơ bản bổ sung cho
các vấn đề kép là vẫn còn khả thi. Và, như trước đây, câu hỏi này có thể được trả lời chỉ đơn giản
bằng cách kiểm tra xem liệu giải pháp cơ bản bổ sung này thoả mãn một ràng buộc, mà trong
trường hợp này là các ràng buộc mới cho các vấn đề kép.
Để minh họa, giả sử cho vấn đề Wyndor Glass Co của Sec. 3.1 rằng có thể
sản phẩm mới thứ ba bây giờ đang được xem xét để đưa vào các dòng sản phẩm. Cho xnew
đại diện cho tốc độ sản xuất cho sản phẩm này, chúng ta chỉ ra mô hình sửa đổi kết quả như
sau:
Tối đa hóa Z? 3x1? 5x2? 4xnew,
chịu
x1? 2x2? 2xnew? 4
3x1? 2x2? 3xnew? 12
3x1? 2x2? xnew? 18
và
x1? 0, x2? 0, xnew? 0.
Sau khi chúng tôi giới thiệu biến slack, các giải pháp tối ưu ban đầu cho vấn đề này mà không có x
mới (do Bảng 4.8) là (x1, x2, x3, x4, x5)? (2, 6, 2, 0, 0). Là giải pháp này, cùng
với x
mới? 0, vẫn tối ưu?
Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phải kiểm tra các giải pháp cơ bản bổ sung cho các
vấn đề kép. Như được chỉ ra bởi các bổ sung tối ưu cơ bản giải pháp bất động sản ở Sec.
6.3, giải pháp này được đưa ra trong hàng 0 của tableau simplex cuối cùng cho vấn đề nguyên thủy,
sử dụng các địa điểm thể hiện trong Bảng 6.4 và minh họa trong Bảng 6.5. Do đó, như được đưa ra trong
cả hai hàng dưới cùng của bảng 6.5 và hàng thứ sáu trong bảng 6.9, giải pháp là
(y1, y2, y3, z1 c1, z2? C2?) ?? 0,? 3 2?, 1, 0 , 0 ?.
(Ngoài ra, giải pháp cơ bản bổ sung này có thể được bắt nguồn theo cách đó được minh họa trong Sec. 6.3 cho các giải pháp cơ bản bổ sung trong vòng gần cuối hàng Bảng 6.9.)
6.5 VAI TRÒ CỦA LÝ THUYẾT TRÊN nhị nguyên nhạy PHÂN TÍCH 253
Kể từ khi giải pháp này đã được tối ưu cho các vấn đề kép ban đầu, chắc chắn nó thỏa mãn các
ràng buộc ban đầu kép thể hiện trong Bảng 6.1. Nhưng liệu nó có đáp ứng hạn chế kép mới này?
2y1? 3y2? y3? 4
Cắm trong giải pháp này, chúng ta thấy rằng
2 (0)? 3 ?? 3 2 ?? ? (1)? 4
là hài lòng, vì vậy giải pháp kép này là vẫn còn khả thi (và do đó vẫn còn tối ưu). Do đó, các
giải pháp nguyên thủy ban đầu (2, 6, 2, 0, 0), cùng với xnew? 0, vẫn còn tối ưu, vì vậy thứ ba này
sản phẩm mới có thể không được bổ sung vào dòng sản phẩm.
Cách tiếp cận này cũng làm cho nó rất dễ dàng để thực hiện phân tích độ nhạy trên các hệ số
của biến mới được thêm vào các vấn đề nguyên thủy. Bởi đơn giản là kiểm tra các hạn chế kép mới,
ngay lập tức bạn có thể xem cách xa bất kỳ của các giá trị tham số có thể được thay đổi trước khi chúng
ảnh hưởng đến tính khả thi của các giải pháp kép và do đó tối ưu của các giải pháp nguyên thủy.
Các ứng dụng khác
Đã chúng tôi đã thảo luận về hai ứng dụng quan trọng khác của thuyết nhị nguyên để phân tích độ nhạy, cụ thể là, bóng giá và các phương pháp đơn hình kép. Như đã mô tả ở Giây. 4.7 và 6.2,
các giải pháp kép tối ưu (y1 *, y2 *,..., Ym *) cung cấp các giá bóng cho tương ứng
nguồn lực mà chỉ ra làm thế nào Z sẽ thay đổi nếu (nhỏ) những thay đổi đã được thực hiện trong (các khoản tài nguyên bi ). Các kết quả phân tích sẽ được minh họa trong một số chi tiết trong Sec. 6.7.
Trong điều kiện tổng quát hơn, việc giải thích kinh tế của vấn đề kép và phương pháp trình bày trong simplex Sec. 6.2 cung cấp một số thông tin hữu ích cho việc phân tích độ nhạy cảm.
Khi chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của việc thay đổi những bi hoặc các giá trị aij (cho các biến cơ bản), các giải pháp tối ưu ban đầu có thể trở thành một giải pháp cơ bản superoptimal (như được định nghĩa trong Bảng 6.10) thay thế. Nếu sau đó chúng tôi muốn reoptimize để xác định các giải pháp tối ưu mới, phương pháp đơn hình kép (được thảo luận vào cuối Giây. 6.1 và 6.3) nên được
áp dụng, bắt đầu từ giải pháp cơ bản này.
Chúng tôi đã đề cập ở Sec. 6.1 mà đôi khi nó là hiệu quả hơn để giải quyết vấn đề kép trực tiếp bằng phương pháp đơn hình để xác định một giải pháp tối ưu cho vấn đề nguyên thủy. Khi các giải pháp đã được tìm thấy theo cách này, phân tích độ nhạy đối với các
vấn đề nguyên thủy sau đó được tiến hành bằng cách áp dụng các thủ tục được mô tả trong hai tiếp theo
bộ phận trực tiếp đến vấn đề kép và sau đó suy luận ra các hiệu ứng bổ sung về
vấn đề nguyên sơ (ví dụ, xem bảng 6.11 ). Cách tiếp cận này để phân tích độ nhạy tương đối
đơn giản vì các mối quan hệ nguyên thủy-kép gần mô tả trong Giây. 6.1 và
6.3. (Xem Prob. 6,6-3).

đang được dịch, vui lòng đợi..

Kết quả (Việt) 3:[Sao chép]

Sao chép!

đang được dịch, vui lòng đợi..

Các ngôn ngữ khác

Hỗ trợ công cụ dịch thuật: Albania, Amharic, Anh, Armenia, Azerbaijan, Ba Lan, Ba Tư, Bantu, Basque, Belarus, Bengal, Bosnia, Bulgaria, Bồ Đào Nha, Catalan, Cebuano, Chichewa, Corsi, Creole (Haiti), Croatia, Do Thái, Estonia, Filipino, Frisia, Gael Scotland, Galicia, George, Gujarat, Hausa, Hawaii, Hindi, Hmong, Hungary, Hy Lạp, Hà Lan, Hà Lan (Nam Phi), Hàn, Iceland, Igbo, Ireland, Java, Kannada, Kazakh, Khmer, Kinyarwanda, Klingon, Kurd, Kyrgyz, Latinh, Latvia, Litva, Luxembourg, Lào, Macedonia, Malagasy, Malayalam, Malta, Maori, Marathi, Myanmar, Mã Lai, Mông Cổ, Na Uy, Nepal, Nga, Nhật, Odia (Oriya), Pashto, Pháp, Phát hiện ngôn ngữ, Phần Lan, Punjab, Quốc tế ngữ, Rumani, Samoa, Serbia, Sesotho, Shona, Sindhi, Sinhala, Slovak, Slovenia, Somali, Sunda, Swahili, Séc, Tajik, Tamil, Tatar, Telugu, Thái, Thổ Nhĩ Kỳ, Thụy Điển, Tiếng Indonesia, Tiếng Ý, Trung, Trung (Phồn thể), Turkmen, Tây Ban Nha, Ukraina, Urdu, Uyghur, Uzbek, Việt, Xứ Wales, Yiddish, Yoruba, Zulu, Đan Mạch, Đức, Ả Rập, dịch ngôn ngữ.