Then SABC = 1 1 1 . 2 hcAB ≤ 2 lcAB

Then SABC = 1 1 1 .
2 hcAB ≤ 2 lcAB ≤ √
3
Let A and B be those of the given points for which the distance between them is minimal. Then inside the circle with diameter AB there are no given points. Let C be the remaining point — the vertex of the greatest angle that subtends segment AB. Then inside the circle passing through points A, B and C there are no given points.

Suppose that we have obtained a closed broken line. Then AB is the longest link of this broken line and AC and BD are the links neighbouring to AB. Then AC < AB, i.e., B is not the point closest to A and BD < AB, i.e., A is not the point closest to B. Therefore, points A and B cannot be connected. Contradiction.

Let O be the given point. Let us draw lines containing the sides of the polygon and select among them the one which is the least distant from point O. Let this line contain side AB. Let us prove that the base of the perpendicular dropped from O to AB belongs to side AB itself. Suppose that the base of the perpendicular dropped from O to line AB is point P lying outside segment AB. Since O belongs to the interior of the convex polygon, segment OP intersects side CD at point Q. Clearly, OQ < OP and the distance from O to line CD is smaller than OQ. Therefore, line CD is less distant from point O than line AB. This contradicts the choice of line AB.

Let BE be the longest diagonal of pentagon ABCDE. Let us prove then that from segments BE, EC and BD one can construct a triangle. To this end, it suffices to verify that BE < EC + BD. Let O be the intersection point of diagonals BD and EC. Then

BE < BO + OE < BD + EC.

Let O1 and O2 be the centers of homotheties, each with coefficient k, sending polygon M to polygons M1 and M2, respectively. Then a point from M the most distant from line O1O2 is not covered by polygons M1 and M2.

Suppose that not all of the given points lie on one line. Through every pair of given points draw a line (there are finitely many of such lines) and select the least nonzero distance from the given points to these lines. Let the least distance be the one from point A to line BC, where points B and C are among given ones.

On line BC, there lies one more of the given points, D. Drop perpendicular AQ from point A to line BC. Two of the points B, C and D lie to one side of point Q, let these be C and D. Let, for definiteness, CQ < DQ (Fig. 31).

Kết quả (Việt) 1:

Sau đó SABC = 1 1 1. 2 hcAB ≤ 2 lcAB ≤ √ 3 Giả sử A và B là những điểm nhất định mà khoảng cách giữa chúng là tối thiểu. Sau đó bên trong vòng tròn với đường kính AB có không có các điểm nhất định. Giả sử C là điểm còn lại — đỉnh góc lớn nhất subtends phân đoạn AB. Sau đó trong vòng tròn đi qua điểm A, B và C có không có các điểm nhất định. Giả sử rằng chúng tôi đã có được một đóng cửa bị phá vỡ dòng. Sau đó AB là liên kết dài nhất của dòng này bị hỏng và AC và BD là các liên kết lân cận để AB. Sau đó AC < AB, ví dụ, B không phải là điểm gần nhất a và BD < AB, ví dụ, A không phải là điểm gần nhất với B. Vì vậy, điểm A và B không thể được kết nối. Mâu thuẫn. Hãy để O là điểm nhất định. Hãy để chúng tôi vẽ các đường có chứa các cạnh của đa giác và chọn trong số đó có một mà là xa ít nhất là từ điểm O. Hãy để dòng này chứa bên AB. Chúng ta hãy chứng minh rằng cơ sở vuông góc giảm từ O đến AB thuộc về bên AB chính nó. Giả sử rằng các cơ sở của vuông góc giảm từ O đến dòng AB là điểm P nằm ngoài đoạn AB. Kể từ khi O thuộc về nội thất của đa giác lồi, đoạn OP cắt mặt đĩa CD ở điểm Q. rõ ràng, OQ < OP và khoảng cách từ O đến đường thẳng CD nhỏ hơn OQ. Do đó, đường thẳng CD là ít xa xôi từ điểm O so với đường AB. Điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn của đường AB. Để CÓ là đường chéo dài nhất của Lầu năm góc ABCDE. Chúng ta hãy chứng minh sau đó mà từ các phân đoạn ĐƯỢC, EC và BD một có thể xây dựng một hình tam giác. Cuối cùng, nó suffices để xác minh rằng < EC + BD. Hãy để O là giao điểm của đường chéo BD và EC. Sau đó< BO + OE < BD + EC. Hãy để O1 và O2 là các trung tâm của homotheties, với coefficient k, gửi đa giác M đến đa giác M1 và M2, tương ứng. Sau đó, một điểm M xa nhất từ dòng O1O2 không được bao phủ bởi đa giác M1 và M2. Giả sử rằng không phải tất cả các điểm nhất định nằm trên cùng một dòng. Qua mỗi cặp cho điểm vẽ một đường (có finitely nhiều dòng như vậy) và chọn khoảng cách ít nhất nonzero từ những điểm nhất định để những dòng này. Để khoảng cách ít nhất là một từ điểm A đến dòng trước công nguyên, nơi điểm B và C được trong số cho những người thân.Trên dòng BC, có nằm ở một trong nhiều điểm nhất định, mất thả AQ vuông góc từ điểm A đến dòng BC. Hai trong số các điểm B, C và D nói dối với một bên của điểm Q, để cho chúng là C và D. Cho phép, cho definiteness, CQ < DQ (hình 31).

Kết quả (Việt) 2:

Sau đó SABC = 1 1 1.
2 hcAB ≤ 2 lcAB ≤ √
3
Hãy A và B là những người của điểm nhất định mà khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. Sau đó, bên trong vòng tròn có đường kính AB không có điểm nhất định. Cho C là điểm còn lại - đỉnh của góc lớn nhất mà giữa tạo đoạn thẳng AB. Sau đó, bên trong vòng tròn đi qua điểm A, B và C không có điểm nhất định.

Giả sử rằng chúng ta đã có được một dòng đóng gãy. Sau đó AB là liên kết dài nhất của dòng bị hỏng này và AC và BD là các liên kết lân cận để AB. Sau đó, AC <AB, tức là, B không phải là điểm gần nhất với A và BD <AB, tức là, A không phải là điểm gần nhất với B. Vì vậy, các điểm A và B không thể được kết nối. Mâu thuẫn.

Hãy O là điểm nhất định. Hãy để chúng tôi rút ra các dòng có chứa các cạnh của đa giác và chọn trong số đó có một mà là ít nhất cách xa điểm O. Hãy dòng này chứa bên AB. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng các cơ sở của các vuông góc giảm từ O đến AB thuộc về bên AB chính nó. Giả sử rằng các cơ sở của các vuông góc giảm từ O đến đường AB là điểm P nằm phân khúc bên ngoài AB. Kể từ O thuộc về nội thất của đa giác lồi, phân khúc OP cắt cạnh CD tại điểm Q. Rõ ràng, OQ <OP và khoảng cách từ O đến đường CD là nhỏ hơn so với OQ. Do đó, dòng CD là ít xa từ điểm O là đường AB. Điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn của dòng AB.

Hãy ĐƯỢC có đường chéo dài nhất của ngũ giác ABCDE. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng sau đó từ các phân đoạn BE, EC và BD ta có thể xây dựng một tam giác. Để kết thúc này, nó su FFI ces để xác minh rằng BE <EC + BD. Hãy O là giao điểm của đường chéo BD và EC. Sau đó,

BE <BO + OE <BD + EC.

Hãy O1 và O2 là trung tâm của homotheties, mỗi COE ffi cient k, gửi đa giác M để đa giác M1 và M2, tương ứng. Sau đó, một điểm từ M xa nhất từ dòng O1O2 là không được đa giác M1 và M2.

Giả sử rằng không phải tất cả các điểm nhất định nằm trên một dòng. Qua mỗi cặp điểm nhất định vẽ một đường (có hữu hạn nhiều ngành, nghề đó) và chọn các khoảng cách khác không nhất từ các điểm trao cho những dòng này. Hãy để cho khoảng cách ít nhất là một trong những từ điểm A đến đường BC, nơi các điểm B và C là một trong những người đưa ra.

On line BC, có nằm một nhiều điểm nhất định, D. Drop vuông góc với AQ từ điểm A đến đường BC. Hai trong số các điểm B, C và D nằm về một phía của điểm Q, hãy để những là C và D. Cho, cho tính xác định, CQ <DQ (Hình. 31).