Manifolds in Euclidean space 13UV˜

Manifolds in Euclidean space 13
U
V
˜ U
˜ V
σ σ ˜ π
π ◦ σ
S
σ ˜(U ˜)
σ(U)
Let W ˜ = W ∩ π−1(V ˜ ) ⊂ Rn. This is an open set, and it satisfies
S ∩ W ˜ = S ∩ W ∩ π−1(V ˜ ) = ˜ σ(U ˜) ∩ π−1(V ˜ ) = ˜ σ(V ˜ ) = σ(V ).
The map ϕ = (π ◦ σ)−1 ◦ π: W ˜ → V is smooth and satisfies (1.6). 
Corollary 1.7. Let σ: U → S be a chart. Then σ is an embedded parametrized manifold, and the image σ(U) is relatively open in S.
Proof. For each q0 ∈ U we choose open sets V ⊂ U and W ⊂ Rn, and a
map ϕ: W → V as in Theorem 1.7. The inverse of σ is the restriction of the
smooth map ϕ, hence in particular it is continuous. Furthermore, the union
of all these sets W is open and intersects S exactly in σ(U). Hence σ(U) is
relatively open, according to Definition 1.2.3. 
It follows from the corollary that every chart on a manifold satisfies the
condition in Definition 1.6.1 of being imbedded with open image. This does
not render that condition superfluous, however. The point is that once it is
known that S is a manifold, then the condition is automatically fulfilled for
all charts on S.
1.8 Transition maps
Since the charts in an atlas of a manifold S in Rn may overlap with each
other, it is important to study the change from one chart to another. The
map σ2 −1 ◦ σ1: x 7→ x ˜, which maps a set of coordinates x in a chart σ1 to the
coordinates of the image σ1(x) with respect to another chart σ2, is called

Kết quả (Việt) 1:

Đa tạp trong không gian Euclid 13UV˜ U˜ VΣ Σ ˜ ΠΠ ◦ ΣSΣ ˜ (U ˜)Σ(U)Hãy để W ˜ = W ∩ π−1 (V ˜) ⊂ Rn. Đây là một tập mở, và nó thỏa mãnS ∩ W ˜ = S ∩ W ∩ Π−1(V ˜) = ˜ Σ (U ˜) ∩ Π−1(V ˜) = ˜ Σ (V ˜) = Σ (V).Bản đồ ϕ = (π ◦ σ) −1 ◦ π: W ˜ → V được mịn màng và thỏa mãn (1. 6). Hệ luỵ 1.7. Hãy để σ: U → S là một biểu đồ. Sau đó σ là một đa tạp parametrized nhúng, và hình ảnh σ(U) là tương đối mở thuộc S.Bằng chứng. Đối với mỗi q0 ∈ U chúng tôi chọn mở bộ V ⊂ bạn và W ⊂ Rn, và mộtbản đồ ϕ: W → V như trong định lý 1.7. Nghịch đảo của σ là những hạn chế của cácbản đồ mịn ϕ, vì thế đặc biệt đó là liên tục. Hơn nữa, các công đoàncủa tất cả các bộ W là mở và cắt S chính xác tại σ(U). Do đó σ(U) làtương đối mở, theo định nghĩa 1.2.3. Nó sau từ các hệ luỵ mỗi biểu đồ trên một đa tạp đáp ứng cácđiều kiện trong định nghĩa 1.6.1 về được nhúng với hình ảnh mở. Điều này cókhông hiển thị tình trạng đó thừa, Tuy nhiên. Điểm có ích là một khi nóbiết rằng S là một đa tạp, sau đó các điều kiện này được tự động hoàn thành choTất cả các bảng xếp hạng trên S.1.8 chuyển tiếp bản đồKể từ khi bảng xếp hạng trong một bản đồ của một đa tạp S trong Rn có thể chồng lên nhau với mỗikhác, nó là quan trọng để nghiên cứu sự thay đổi từ một bảng xếp hạng khác. Cácbản đồ σ2 −1 ◦ σ1: x 7→ x ˜, bản đồ một tập hợp các tọa độ x trong một σ1 biểu đồ để cácCác tọa độ của σ1(x) hình ảnh đối với một biểu đồ σ2, được gọi là

Kết quả (Việt) 2:

Sự đa dạng trong không gian Euclide 13
U
V
~ U
~ V
σ σ ~ p
p ◦ σ
S
σ ~ (U ~)
σ (U)
Hãy W ~ W = ∩ π-1 (V ~) ⊂ Rn. Đây là một tập mở, và nó đáp ứng
S ∩ W ~ = S ∩ W ∩ π-1 (V ~) = ~ σ (U ~) ∩ π-1 (V ~) = ~ σ (V ~) = σ ( . V)
Các bản đồ φ = (π ◦ σ) -1 ◦ π: W ~ → V là trơn tru và đáp ứng (1.6). ?
Hệ quả 1.7. Hãy σ: U → S là một biểu đồ. Sau đó σ là một đa tạp parametrized nhúng, và σ hình ảnh (U) là tương đối cởi mở trong S.
Chứng minh. Đối với mỗi q0 ∈ U, chúng tôi chọn bộ mở V ⊂ U và W ⊂ Rn và
φ bản đồ: W → V như trong định lý 1.7. Nghịch đảo của σ là hạn chế của
φ đồ trơn, do đó đặc biệt là nó là liên tục. Hơn nữa, các công đoàn
của tất cả các bộ W được mở và cắt S chính xác trong σ (U). Do đó σ (U) là
tương đối cởi mở, theo Định nghĩa 1.2.3. ?
Sau đó từ các hệ quả tất yếu mà mỗi biểu đồ trên một đa tạp đáp ứng các
điều kiện trong định nghĩa 1.6.1 bị nhúng với hình ảnh mở. Điều này
không làm cho điều kiện cần thiết, tuy nhiên. Vấn đề là một khi nó được
biết rằng S là một đa tạp, sau đó điều kiện được tự động thực hiện cho
tất cả các bảng xếp hạng trên S.
bản đồ 1.8 Transition
Kể từ khi bảng xếp hạng trong một tập bản đồ của một đa tạp S trong Rn có thể chồng lên nhau với mỗi
khác, điều quan trọng là để nghiên cứu sự thay đổi từ một biểu đồ khác. Các
σ2 đồ -1 ◦ σ1: x 7 → x ~, mà bản đồ một tập hợp các tọa độ x trong một biểu đồ σ1 đến
tọa độ của (x) σ1 hình ảnh liên quan đến một biểu đồ với σ2, được gọi là