Proof: Note that R∗ contains R by d

Proof: Note that R∗ contains R by definition. To show tat R∗ is the transitive closure of R we must also show that R∗ is transitive and that R∗⊆S whenever S is a transitive relation that
contains R.
First, we show that R∗ is transitive. If (a, b)∈R∗ and(b, c)∈R∗, then there are paths from a to b and from b to c in R. We obtain a path from a to c by starting with the path from a to b and following it with the path from b to c. Hence,(a, c)∈R∗. It follows that R∗ is transitive.
Now suppose that S is a transitive relation containing R. Because S is transitive,Sn also is
transitive (the reader should verify this) and Sn⊆S (by Theorem 1 of Section 9.1)

Kết quả (Việt) 1:

Bằng chứng: Lưu ý rằng R∗ có chứa R theo định nghĩa. Để hiển thị tat R∗ là đóng cửa từ lóng của R chúng tôi cũng phải cho thấy rằng R∗ là ngoại động từ và R∗⊆S rằng bất cứ khi nào S là một mối quan hệ tương lai đóchứa R.Đầu tiên, chúng tôi cho rằng R∗ là ngoại động từ. Nếu (a, b) ∈R∗ và ∈R∗ (b, c), sau đó, có các đường đi từ một đến b và b c trong R. Chúng ta có được một đường đi từ một đến c bằng cách bắt đầu với các đường đi từ một b và sau đó với con đường từ b đến c. vì thế, (a, c) ∈R∗. Sau R∗ là ngoại động từ.Bây giờ giả sử S là một mối quan hệ tương lai có chứa R. Bởi vì S là ngoại động từ, Sn cũng làngoại (người đọc nên xác minh điều này) và Sn⊆S (theo định lý 1 của phần 9.1)

Kết quả (Việt) 2:

Bằng chứng: Lưu ý rằng R * chứa R theo định nghĩa. Để hiển thị tất R * là việc đóng cửa bắc của R, chúng tôi cũng phải thấy rằng R * là transitive và R mà * ⊆S bất cứ khi nào S là một quan hệ bắc cầu mà
chứa R.
Đầu tiên, chúng tôi cho thấy rằng R * bắc cầu. Nếu (a, b) ∈R * và (b, c) ∈R *, sau đó có đường đi từ a đến b và từ b tới c trong R. Chúng tôi có được một đường đi từ a đến c bằng cách bắt đầu với con đường từ một đến b và sau đó bằng đường dẫn từ b đến c. Do đó, (a, c) ∈R *. Nó sau đó R * là transitive.
Bây giờ giả sử S là một quan hệ bắc cầu chứa R. Vì S là transitive, Sn cũng là
transitive (người đọc cần xác minh điều này) và Sn⊆S (bởi Định lý 1 mục 9.1)