II. Estimators and Test Statistics

II. Estimators and Test Statistics for Cointegration Vectors in Heterogeneous Panels
When applying cointegration tests to long-run hypotheses such as PPP for aggregate panel data, a primary concern is to construct the estimators in a way that does not constrain the transitional dynamics to be similar among different countries of the panel. Instead, we would like to pool only the information concerning the long-run hypothesis of in- terest, and allow the short-run dynamics to be potentially heterogeneous. This was a central theme for the panel fully modified OLS tests that were developed in Pedroni (1996). In particular, Pedroni derived the asymptotic distributions and studied the small-sample properties of three versions of such estimators. Two of these—the residual-FM, and the adjusted-FM, pooled the data along the within-dimension, and one of these, the group-FM, pooled the data along the between-dimension. In a later version of the study, Pedroni (2000) emphasized the group-FM estimator, and found that, in contrast to the residual-FM and adjusted-FM test statis- tics, the group-FM exhibited relatively minor size distor- tions in small samples.
Kao and Chiang (1997) proposed a parametric DOLS- based panel estimator pooled along the within-dimension, and showed that it had the same asymptotic distribution as the panel FMOLS estimator studied by Pedroni (1996). Kao and Chiang also studied the small-sample properties of the panel DOLS t-statistic and compared it to a version of the adjusted-FM t-statistic that employed a first-stage OLS estimate of the cointegrating vector for the required adjust- ment term. In a series of Monte Carlo simulations, they found that the panel DOLS t-statistic had smaller size distortions than this form of the adjusted-FM t-statistic, although the distortion in both cases was still relatively large. More recently, Mark and Sul (1999) proposed a variation to the panel DOLS estimator and showed that it somewhat improved the small-sample performance, al- though even these small-sample size distortions are still fairly large. In comparing the two, Kao and Chiang’s panel DOLS estimator can be viewed as a weighted estimator, and Mark and Sul’s panel DOLS estimator can be viewed as an unweighted estimator. The asymptotics in all of these stud- ies were based on sequential limits. By contrast, Phillips and Moon (1999) developed an asymptotic theory for nonsta- tionary panels based on joint limits, and were able to show that a version of the within-dimension panel FMOLS esti- mator converges jointly in distribution.
In this study, we employ both the within-dimension and between-dimension panel FMOLS tests from Pedroni (1996, 2000). We also employ the weighted panel DOLS estimator from Kao and Chiang (1997) and the unweighted panel DOLS estimator from Mark and Sul (1999). However, both of these DOLS estimators are within-dimension esti- mators. Thus, for comparison with the between-dimension “group-mean” panel FMOLS estimator, we also introduce here an analogous between-dimension, group-mean panel DOLS estimator.
An important advantage of the between-dimension esti-
mators is that the form in which the data is pooled allows for greater flexibility in the presence of heterogeneity of the cointegrating vectors. Specifically, whereas test statistics

ences in prices, and let Vi [ limT®` E[T21(¥T j

it)

T j9 )] be the long-run covariance for this vector pro-

constructed from the within-dimension estimators are de- signed to test the null hypothesis Ho:bi 5 bo for all i against the alternative hypothesis HA:bi 5 bA Þ bo where the value bA is the same for all i, test statistics constructed from the between-dimension estimators are designed to test the null hypothesis Ho:bi 5 bo for all i against the alternative hypothesis HA:bi Þ bo, so that the values for bi are not constrained to be the same under the alternative hypothesis. Clearly, this is an important advantage for applications such as the present one, because there is no reason to believe that, if the cointegrating slopes are not equal to one, that they necessarily take on some other arbitrary common value. Another advantage of the between- dimension estimators is that the point estimates have a more useful interpretation in the event that the true cointegrating vectors are heterogeneous. Specifically, point estimates for the between-dimension estimator can be interpreted as the mean value for the cointegrating vectors. This is not true for the within-dimension estimators.
Finally, the test statistics constructed from the group- mean estimators appear to have another advantage even under the null hypothesis when the cointegrating vector is homogeneous. Specifically, Pedroni (2000) shows that they appear to suffer from much lower small-sample size distor- tion than the within-dimension estimators. A similar analy- sis of the between-dimension, group-mean panel DOLS

Kết quả (Việt) 1:

II. Estimators và kiểm tra các thống kê cho Cointegration vectơ trong không đồng nhấtKhi áp dụng thử nghiệm cointegration cho giả thuyết lâu dài như PPP cho dữ liệu bảng tổng hợp, mối quan tâm chính là xây dựng estimators trong một cách mà không hạn chế các động thái chuyển tiếp là tương tự như trong số các quốc gia khác nhau của bảng điều khiển. Thay vào đó, chúng tôi muốn bơi chỉ là các thông tin liên quan đến giả thuyết lâu dài tại terest, và cho phép các động thái chạy ngắn có khả năng có thể không đồng nhất. Đây là một chủ đề Trung tâm cho các xét nghiệm OLS bảng đầy đủ lần được phát triển trong Pedroni (1996). Đặc biệt, Pedroni có nguồn gốc phân phối tiệm cận và nghiên cứu các thuộc tính mẫu nhỏ của ba phiên bản của estimators như vậy. Hai trong số này — dư-FM, và điều chỉnh-FM, gộp lại dữ liệu dọc theo trong kích thước, và một trong các nhóm-FM, gộp lại dữ liệu dọc theo giữa kích thước. Trong một phiên bản sau này của nghiên cứu, Pedroni (năm 2000) nhấn mạnh công cụ ước tính nhóm FM, và thấy rằng, trái ngược với dư-FM và FM điều chỉnh kiểm tra tật máy statis, nhóm-FM trưng bày các kích thước tương đối nhỏ distor-tions trong mẫu nhỏ.Kao và Chiang (1997) đã đề xuất một tham số DOLS - dựa trên các bảng điều khiển công cụ ước tính gộp lại cùng trong kích thước, và cho thấy rằng nó đã có sự phân bố tiệm cận tương tự như công cụ ước tính FMOLS bảng nghiên cứu bởi Pedroni (1996). Kao và Chiang cũng nghiên cứu các thuộc tính mẫu nhỏ của bảng điều khiển DOLS t-thống kê và so sánh nó với một phiên bản của điều chỉnh-FM t-thống kê mà sử dụng một ước tính OLS giai đoạn đầu tiên của cointegrating vector trong thời hạn yêu cầu điều chỉnh-ment. Trong một loạt các mô phỏng Monte Carlo, họ thấy rằng bảng điều khiển DOLS t-thống kê có sai lệch kích thước nhỏ hơn so với hình thức này của t điều chỉnh-FM-thống kê, mặc dù các biến dạng trong cả hai trường hợp này vẫn còn tương đối lớn. Gần đây hơn, Mark Sul (1999) đã đề xuất một biến thể để ước tính DOLS bảng và cho thấy rằng nó cải thiện phần nào nhỏ-mẫu hiệu suất, al - mặc dù ngay cả những sai lệch kích thước lấy mẫu nhỏ vẫn còn khá lớn. So sánh hai, Kao, và Chiang của bảng điều khiển DOLS công cụ ước tính có thể được xem như là một ước tính trọng, và Mark và Sul của bảng điều khiển DOLS công cụ ước tính có thể được xem như là một công cụ ước tính unweighted. Asymptotics trong tất cả các ies stud dựa trên trình tự giới hạn. Ngược lại, Phillips và mặt trăng (1999) đã phát triển một lý thuyết tiệm cận cho nonsta-tionary bảng dựa trên giới hạn chung, và có thể hiển thị một phiên bản của bảng điều khiển trong kích thước FMOLS esti-mator hội tụ cùng nhau trong phân phối.Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng cả hai trong vòng-kích thước và giữa kích thước bảng FMOLS thử nghiệm từ Pedroni (1996, 2000). Chúng tôi cũng sử dụng công cụ ước tính DOLS trọng bảng từ Kao và Chiang (1997) và ước tính DOLS unweighted bảng từ Mark và Sul (1999). Tuy nhiên, cả hai trong số các estimators DOLS có trong kích thước esti-mators. Vì vậy, để so sánh với bảng điều khiển "có nghĩa là nhóm" giữa kích thước ước tính FMOLS, chúng tôi cũng giới thiệu ở đây một tương tự giữa các kích thước, nhóm-có nghĩa là bảng DOLS ước tính.Một lợi thế quan trọng của esti giữa kích thước-mators là hình thức mà trong đó các dữ liệu được gộp lại cho phép cho các linh hoạt hơn sự hiện diện của heterogeneity của vectơ cointegrating. Cụ thể, trong khi kiểm tra số liệu thống kê ences trong giá cả, và để cho Vi [limT®' E [T21(¥T j nó) T j9)] là hiệp phương sai lâu dài này vector chuyên nghiệp- được xây dựng từ estimators trong kích thước là de-ký để thử nghiệm các giả thuyết null Ho:bi 5 bo cho tất cả tôi chống lại các giả thuyết thay thế HA: bi 5 bà Þ bo nơi bA giá trị là giống nhau cho tất cả các i, kiểm tra số liệu thống kê được xây dựng từ giữa kích thước estimators thiết kế để kiểm tra giả thuyết null Ho:bi 5 bo cho tất cả tôi chống lại các giả thuyết thay thế HA : bi Þ bo, do đó các giá trị cho bi không bị ràng buộc để là giống nhau theo giả thuyết thay thế. Rõ ràng, đây là một lợi thế quan trọng đối với các ứng dụng như hiện nay, bởi vì không có lý do để tin rằng, nếu sườn cointegrating không bằng 1, họ nhất thiết phải đưa vào một số giá trị tùy ý phổ biến khác. Một ưu điểm khác của estimators giữa các kích thước là ước tính điểm có một giải thích thêm hữu ích trong trường hợp đó các vectơ cointegrating thật sự là không đồng nhất. Cụ thể, ước tính điểm cho giữa kích thước ước tính có thể được hiểu là đáng các vectơ cointegrating, có nghĩa là. Điều này là không đúng cho estimators trong kích thước.Cuối cùng, các số liệu thống kê thử nghiệm được xây dựng từ estimators có nghĩa là nhóm xuất hiện để có một ưu điểm khác thậm chí theo giả thuyết null khi cointegrating vector là đồng nhất. Cụ thể, Pedroni (năm 2000) cho thấy rằng họ dường như bị nhiều thấp hơn kích thước lấy mẫu nhỏ distor-tion hơn estimators trong kích thước. Tương tự như analy-sis của giữa các kích thước, nhóm-có nghĩa là bảng DOLS

Kết quả (Việt) 2:

II. Dự toán và thống kê thử nghiệm cho cùng hội nhập Vectors trong Panels không đồng nhất
khi áp dụng các bài kiểm tra cùng hội nhập với các giả thiết lâu dài như PPP cho các dữ liệu bảng tổng hợp, một mối quan tâm chính là xây dựng các hàm ước lượng một cách không hạn chế các động thái chuyển tiếp là tương tự nhau trong các nhóm nước của bảng điều khiển. Thay vào đó, chúng tôi muốn bơi chỉ các thông tin liên quan đến các giả thuyết dài hạn của terest trong-, và cho phép các động lực ngắn hạn là có tiềm năng không đồng nhất. Đây là chủ đề trung tâm cho các bảng điều khiển biến đổi hoàn toàn OLS kiểm tra đã được phát triển trong Pedroni (1996). Đặc biệt, Pedroni có nguồn gốc phân phối tiệm cận và nghiên cứu các tính chất nhỏ mẫu của ba phiên bản của ước lượng như vậy. Hai trong số các-dư-FM, và điều chỉnh-FM, gộp các dữ liệu cùng các thứ nguyên trong-, và một trong số này, nhóm FM, gộp dữ liệu dọc theo chiều giữa các. Trong một phiên bản sau này của nghiên cứu, Pedroni (2000) nhấn mạnh ước nhóm FM, và phát hiện ra rằng, trái ngược với dư-FM và tics điều chỉnh-FM thử nghiệm statis-, nhóm FM-trưng bày tions distor- kích thước tương đối nhỏ trong các mẫu nhỏ.
Kao và Chiang (1997) đề xuất một DOLS- dựa bảng ước lượng tham số gộp dọc trong chiều, và cho thấy rằng nó có phân bố tiệm cận giống như FMOLS bảng ước lượng nghiên cứu bởi Pedroni (1996). Kao và Chiang cũng nghiên cứu các tính chất nhỏ mẫu của bảng dols t-thống kê và so sánh nó với một phiên bản của các điều chỉnh FM-t-thống kê đó sử dụng một ước lượng OLS giai đoạn đầu tiên của vector cointegrating cho lâu Việc điều chỉnh cần thiết . Trong một loạt các mô phỏng Monte Carlo, họ thấy rằng các bảng dols thống kê t đã biến dạng kích thước nhỏ hơn so với hình thức này của điều chỉnh FM-t-thống kê, mặc dù sự biến dạng trong cả hai trường hợp vẫn còn tương đối lớn. Gần đây hơn, Mark và Sul (1999) đề xuất một biến thể để ước lượng bảng dols và cho thấy rằng nó có phần cải thiện hiệu suất nhỏ mẫu, mặc dù ngay cả những biến dạng kích thước nhỏ mẫu vẫn còn khá lớn. Khi so sánh hai, Kao và Tưởng bảng dols ước lượng có thể được xem như là một ước lượng trọng số, và Mark và Sul của ước lượng bảng dols có thể được xem như là một ước không trọng số. Các asymptotics trong tất cả các nghiên cứu này được dựa trên giới hạn tuần tự. Ngược lại, Phillips và Moon (1999) đã phát triển một lý thuyết tiệm cận cho tấm tionary nonsta- dựa trên giới hạn chung, và có thể cho thấy rằng một phiên bản của FMOLS bảng trong chiều ước tính mator hội tụ cùng nhau trong phân phối.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng cả FMOLS bảng kiểm tra trong chiều và giữa chiều từ Pedroni (1996, 2000). Chúng tôi cũng sử dụng các ước lượng bảng dols trọng từ Kao và Chiang (1997) và các trọng số bảng dols ước lượng từ Mark và Sul (1999). Tuy nhiên, cả hai dols dự toán là trong vòng chiều ước tính mators. Do đó, để so sánh với giữa chiều "nhóm trung bình" FMOLS bảng ước lượng, chúng tôi cũng giới thiệu ở đây một tương tự giữa chiều, nhóm trung bình bảng dols ước.
Một lợi thế quan trọng của giữa chiều ước tính
mators là hình thức trong đó dữ liệu được gộp cho phép linh hoạt hơn trong sự hiện diện của tính không đồng nhất của các vectơ cointegrating. Cụ thể, trong khi thống kê thử nghiệm những trải giá, và để cho Vi [limT®` E [T21 (¥ T j đó) T J9)] là hiệp biến dài hạn cho vector này trình xây dựng từ những ước lượng trong chiều đang triển ký để kiểm tra giả thuyết Ho: bi 5 bo cho tất cả i so với giả thuyết thay thế HA: bi 5 Bà Þ bo nơi Ba giá trị là như nhau cho tất cả i, thống kê thử nghiệm xây dựng từ những ước lượng giữa chiều được thiết kế để kiểm tra rỗng giả thuyết Ho: bi 5 bo cho tất cả i so với giả thuyết thay thế HA: bi Þ bo, để các giá trị cho bi không hạn chế được cùng theo giả thuyết thay thế. Rõ ràng, đây là một lợi thế quan trọng cho các ứng dụng như hiện nay một, bởi vì không có lý do để tin rằng, nếu dốc cointegrating không bằng một, họ nhất thiết phải đưa vào một số giá trị phổ biến khác tùy ý. Một ưu điểm khác của các ước lượng chiều between- là các ước lượng điểm có một giải thích hữu ích hơn trong các sự kiện mà các vectơ cointegrating đúng là không đồng nhất. Cụ thể, các ước lượng điểm cho các ước lượng giữa chiều có thể được hiểu là giá trị trung bình cho các vectơ cointegrating. Điều này là không đúng đối với người dự toán trong chiều. Cuối cùng, số liệu thống kê thử nghiệm xây dựng từ những ước lượng trung bình và nhóm xuất hiện để có một lợi thế ngay cả dưới các giả thuyết null khi vector cointegrating là đồng nhất. Cụ thể, Pedroni (2000) cho thấy rằng họ xuất hiện để bị kích thước nhỏ mẫu sự distor- thấp hơn nhiều so với dự toán trong chiều. Một những phân tích của tương tự giữa chiều, nhóm trung bình bảng dols