Note to the Reader: In this section

Note to the Reader: In this section we describe some topics that are typically covered in an introductory course in abstract algebra. This material is somewhat more mathematically sophisticated than the material that we have discussed up to this point. For cryptographic applications, the most important topics in this section are the theory of finite fields of prime power order, which in this book are used primarily in Sections 5.7 and 5.8 in studying elliptic curve cryptography, and the theory of quotients of polynomial rings, which are used in Section 6.10 to describe the lattice-based NTRU public key cryptosystem. The reader interested in proceeding more rapidly to additional cryptographic topics may wish to omit this section at first reading and return to it when arriving at the relevant sections of Chapters 5 and 6.
As we have seen, groups are fundamental objects that appear in many areas of mathematics. A group G is a set and an operation that allows us to “multiply” two elements to obtain a third element. We gave a brief overview of the theory of groups in Section 2.5. Another fundamental object in mathematics, called a ring, is a set having two operations. These two operations are analogous to ordinary addition and multiplication, and they are linked by the distributive law. In this section we begin with a brief discussion of the general theory of rings, then we discuss how to form one ring from another by taking quotients, and we conclude by examining in some detail the case of polynomial rings.

Kết quả (Việt) 1:

Lưu ý cho người đọc: trong phần này, chúng tôi mô tả một số chủ đề thường được bảo hiểm trong một khóa học giới thiệu trong đại số trừu tượng. Vật liệu này hơi hơn về mặt toán học là tinh vi hơn so với các tài liệu mà chúng tôi đã thảo luận đến thời điểm này. Cho các ứng dụng mật mã, các chủ đề quan trọng nhất trong phần này là lý thuyết trường hữu hạn của chính quyền lực, mà trong cuốn sách này được sử dụng chủ yếu trong phần 5.7 và 5.8 trong học đường cong elip mật mã, và lý thuyết của quotients của đa thức vòng, được sử dụng trong phần 6,10 để mô tả lưới dựa trên NTRU khu vực quan trọng cryptosystem. Người đọc quan tâm đến việc tiến hành nhanh hơn để thêm các chủ đề mật mã có thể bỏ qua phần này lúc đầu tiên đọc và trở về khi đến lúc các phần có liên quan của chương 5 và 6.Như chúng ta đã thấy, nhóm là các đối tượng cơ bản xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học. Một nhóm G là một tập hợp và một hoạt động mà cho phép chúng tôi để "nhân" hai yếu tố để có được một yếu tố thứ ba. Chúng tôi đã cung cấp một tổng quan về lý thuyết nhóm trong phần 2,5. Một đối tượng cơ bản trong toán học, gọi là một vòng, là một tập hợp có hai hoạt động. Các hoạt động hai là tương tự như bình thường bổ sung và phép nhân, và họ được liên kết bởi pháp luật phân phối. Trong phần này chúng tôi bắt đầu với một cuộc thảo luận ngắn gọn của thuyết tương đối tổng vòng, sau đó chúng tôi thảo luận về làm thế nào để tạo thành một vòng khác bởi quotients tham gia, và chúng tôi kết luận bằng cách kiểm tra chi tiết một số trường hợp đa thức vòng.

Kết quả (Việt) 2:

Lưu ý để các bạn đọc: Trong phần này chúng tôi mô tả một số chủ đề thường được bao phủ trong một khóa học giới thiệu trong đại số trừu tượng. Vật liệu này có phần toán học phức tạp hơn nhiều so với các tài liệu mà chúng tôi đã thảo luận cho đến thời điểm này. Đối với các ứng dụng mật mã, các chủ đề quan trọng nhất trong phần này là những lý thuyết của trường vô hạn của tự điện nguyên tố, mà trong cuốn sách này được sử dụng chủ yếu tại các mục 5.7 và 5.8 trong nghiên cứu mật mã đường cong elliptic, và các lý thuyết về thương số của vòng đa thức, mà được sử dụng trong mục 6.10 để mô tả các NTRU công hệ mật khóa mạng dựa trên. Người đọc quan tâm trong tiến trình nhanh hơn để mã hóa các chủ đề khác có thể muốn bỏ qua phần này lúc đọc sách đầu tiên và trở lại với nó khi đến các bộ phận liên quan của Chương 5 và 6.
Như chúng ta đã thấy, các nhóm đối tượng là cơ bản xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học. Một nhóm G là một tập hợp và một hoạt động mà cho phép chúng tôi để "nhân" hai yếu tố để có được một yếu tố thứ ba. Chúng tôi đã đưa ra một cái nhìn tổng quan ngắn gọn về lý thuyết nhóm trong phần 2.5. Một đối tượng cơ bản trong toán học, được gọi là một chiếc nhẫn, là một tập hợp có hai hoạt động. Hai hoạt động này tương tự ngoài bình thường, nhân, và họ được liên kết bởi các luật phân phối. Trong phần này chúng ta bắt đầu với một cuộc thảo luận ngắn gọn về lý thuyết chung của chiếc nhẫn, sau đó chúng tôi thảo luận làm thế nào để tạo thành một vòng từ khác bằng cách lấy thương số, và chúng tôi kết luận bằng cách kiểm tra cụ thể một số trường hợp vòng đa thức.