Since the work of Gauss, number the

Since the work of Gauss, number theorists have been interested in analogues of Z where
concepts from arithmetic can also be developed. The example we will look at in this handout
is the Gaussian integers:
Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}.
Excluding the last two sections of the handout, the topics we will study are extensions
of common properties of the integers. Here is what we will cover in each section:
(1) the norm on Z[i]
(2) divisibility in Z[i]
(3) the division theorem in Z[i]
(4) the Euclidean algorithm Z[i]
(5) Bezout’s theorem in Z[i]
(6) unique factorization in Z[i]
(7) modular arithmetic in Z[i]
(8) applications of Z[i] to the arithmetic of Z
(9) primes in Z[i]
1. The Norm
In Z, size is measured by the absolute value. In Z[i], we use the norm.
Definition 1.1. For α = a + bi ∈ Z[i], its norm is the product
N(α) = αα = (a + bi)(a − bi) = a
2 + b
2
.
For example, N(2 + 7i) = 22 + 72 = 53. For m ∈ Z, N(m) = m2
. In particular, N(1) = 1.
Thinking about a + bi as a complex number, its norm is the square of its usual absolute
value:
|a + bi| =
p
a
2 + b
2, N(a + bi) = a
2 + b
2 = |a + bi|
2
.
The reason we prefer to deal with norms on Z[i] instead of absolute values on Z[i] is that
norms are integers (rather than square roots), and the divisibility properties of norms in Z
will provide important information about divisibility properties in Z[i]. This is based on
the following algebraic property of the norm.

Kết quả (Việt) 1:

Kể từ khi công việc của Gauss, số lượng các nhà lý thuyết đã được quan tâm trong analogues của Z đâukhái niệm từ số học cũng có thể được phát triển. Ví dụ, chúng tôi sẽ xem xét trong bản tin nàylà các số nguyên Gauss:Z [i] = {a + bi: a, b ∈ Z}.Ngoại trừ các phần hai của bản tin, các chủ đề mà chúng ta sẽ nghiên cứu đang mở rộngtính phổ biến của các số nguyên. Dưới đây là những gì chúng tôi sẽ bao gồm trong mỗi phần:(1) định mức trên Z [i](2) divisibility trong Z [i](3) định lý phân chia trong Z [i](4) các thuật toán Euclid Z [i](5) Bezout của định lý trong Z [i](6) duy nhất factorization trong Z [i](7) học đại số mô-đun trong Z [i](8) các ứng dụng của Z [i] để cấp số Z(9) các số nguyên tố trong Z [i]1. định mứcTrong Z, kích thước được đo bằng giá trị tuyệt đối. Z [i], chúng tôi sử dụng các định mức.Định nghĩa 1.1. Với α = a + bi ∈ Z [i], chuẩn mực của nó là sản phẩmN(α) = αα = (a + bi)(a − bi) = một2 + b2.Ví dụ: N (2 + 7i) = 22 + 72 = 53. Cho m ∈ Z, N(m) = m2. Đặc biệt, N(1) = 1.Suy nghĩ về a + bi là một số phức, chuẩn mực của nó là hình vuông của nó tuyệt đối bình thườnggiá trị:|a + bi| =pmột2 + b2, N (a + bi) = một2 + b2 = |a + bi|2.Đó là lý do chúng tôi chọn để đối phó với các chỉ tiêu trên Z [i] thay vì giá trị tuyệt đối trên Z [i]định mức là số nguyên (thay vì hình vuông rễ), và các thuộc tính divisibility của các chỉ tiêu trong Zsẽ cung cấp các thông tin quan trọng về tài sản divisibility tại Z [i]. Điều này dựa trênbất động sản đại số sau định mức.

Kết quả (Việt) 2:

Kể từ khi công việc của Gauss, lý thuyết số đã được quan tâm tương tự của Z mà
khái niệm từ số học cũng có thể được phát triển. Ví dụ chúng ta sẽ xem xét trong Bản tin này
là các số nguyên Gaussian:
Z [i] = {a + bi: a, b ∈ Z}.
Ngoại trừ hai phần cuối của tờ rơi, các chủ đề chúng ta sẽ nghiên cứu những phần mở rộng
tài sản chung của các số nguyên. Dưới đây là những gì chúng tôi sẽ bao gồm trong mỗi phần:
(1) các chỉ tiêu trên Z [i]
(2) chia hết trong Z [i]
(3) định lý bộ phận trong Z [i]
(4) Euclide thuật toán Z [i]
(5) định lý bézout trong Z [i]
(6) Phân tích nhân duy nhất trong Z [i]
(7) số học modula trong Z [i]
(8) ứng dụng của Z [i] đến số học của Z
(9) các số nguyên tố trong Z [i]
1. Norm
Trong Z, kích thước được đo bằng giá trị tuyệt đối. Trong Z [i], chúng tôi sử dụng các tiêu chuẩn.
Định nghĩa 1.1. Đối với α = a + bi ∈ Z [i], định mức của nó là sản phẩm
N (α) = αα = (a + bi) (a - bi) = a
2 + b
2
.
Ví dụ, N (2 + 7i) = 22 + 72 = 53. Đối với m ∈ Z, N (m) = m2
. Trong đó, N (1) = 1.
Suy nghĩ về a + bi là số phức, định mức của nó là vuông tuyệt đối thông thường của nó
giá trị:
| a + ​​bi | =
P
một
2 + b
2, N (a + bi) = a
2 + b
2 = | a + ​​bi |
2
.
Lý do chúng tôi muốn để đối phó với các chỉ tiêu trên Z [i] thay vì giá trị tuyệt đối trên Z [i] là
chỉ tiêu là các số nguyên (chứ không phải là rễ vuông), và các tính chất chia hết của định mức trong Z
sẽ cung cấp thông tin quan trọng về tính chất chia hết trong Z [i]. Điều này được dựa trên
thuộc tính đại số sau đây của chuẩn.