3.2 EOQMC Problems with Constraints

3.2 EOQMC Problems with Constraints 31
where b is the maximum demand rate that may be handled. While the nonlinear
knapsack problem that results from maximizing either (3.4) or (3.13) over all x ∈
{Bn ∩ (3.14)} is in general difficult (the recognition version in either case is N PComplete), we can solve the continuous relaxations reasonably easily, as shown
in [2].
For the EOQMC with the demand rate constraint, for example, an optimal solution to the continuous relaxation will exist at an extreme point, where extreme
points correspond to either binary vectors that are feasible for (3.14), or solutions in
which (3.14) is tight and at most one xj variable is strictly between zero and one.
The binary solutions generated in the algorithm for solving the unconstrained EOQMC that are feasible for (3.14) dominate all other binary vectors that are feasible
for the constraint. Thus, we need to consider these solutions along with an optimal
solution when (3.14) is tight in order to solve the continuous relaxation of the constrained problem. Fortunately, when (3.14) is tight, the square root terms in (3.4)
and (3.13) become fixed constants. Thus, when the constraint is tight, the problem
becomes a simple continuous linear knapsack problem, which is solved by inserting items into the knapsack in nonincreasing order of rj values until the capacity
is exhausted. Clearly this solution contains at most one fractional xj , and a solution that is feasible for the binary restrictions can be obtained by simply setting the
value of this fractional variable to zero. This rounding down heuristic is shown to be
asymptotically optimal in the number of items in [2], under mild assumptions on the
distributions of parameter values and the behavior of the capacity (and production
rate, for the EPQMC) as n → ∞. Because the continuous relaxation is relatively
tight (and it has an optimal solution with at most one fractional variable), solution
via customized branch-and-bound is generally quite effective.

Kết quả (Việt) 2:

3.2 EOQMC Vấn đề với hạn chế 31
đó b là tốc độ tối đa nhu cầu mà có thể bị xử lý. Trong khi các phi tuyến
vấn đề ba lô mà kết quả từ việc tối đa hóa một trong hai (3.4) hoặc (3.13) trên tất cả các x ∈
{Bn ∩ (3.14)} là nói chung khó khăn (các phiên bản được công nhận trong cả hai trường hợp là N PComplete), chúng ta có thể giải quyết các relaxations liên tục hợp lý một cách dễ dàng, như thể hiện
trong [2].
Đối với các EOQMC với ràng buộc tỷ lệ nhu cầu, ví dụ, một giải pháp tối ưu cho việc nới lỏng liên tục sẽ tồn tại ở một điểm cực đoan, nơi cực
điểm tương ứng với một trong hai vectơ nhị phân có tính khả thi cho (3.14 ), hoặc các giải pháp trong
đó (3.14) là chặt chẽ và nhiều nhất là một biến xj là nghiêm giữa không và một.
Các giải pháp nhị phân được tạo ra trong các thuật toán để giải quyết các EOQMC không bị giới hạn có tính khả thi cho (3.14) thống trị tất cả các vector nhị phân khác được khả thi
cho ràng buộc. Như vậy, chúng ta cần phải xem xét các giải pháp này cùng với một tối ưu
giải pháp khi (3.14) là chặt chẽ để giải quyết việc nới lỏng liên tục của các vấn đề hạn chế. May mắn thay, khi (3.14) là chặt chẽ, các từ ngữ gốc vuông trong (3.4)
và (3.13) trở thành hằng số cố định. Vì vậy, khi các ràng buộc là chặt chẽ, vấn đề
sẽ trở thành một vấn đề tuyến tính liên tục ba lô đơn giản, được giải quyết bằng cách chèn mục vào chiếc ba lô trong nonincreasing thứ tự của các giá trị rj cho đến khả năng
cạn kiệt. Rõ ràng giải pháp này có chứa ít nhất một trong xj phân đoạn, và một giải pháp khả thi cho các hạn chế nhị phân có thể có được bằng cách đơn giản là thiết lập các
giá trị của biến phân đoạn này không. Đây heuristic, làm tròn xuống là thể hiện được
tiệm cận tối ưu trong số các mục trong [2], theo các giả định nhẹ trên
phân phối các giá trị tham số và hành vi của các năng lực (và sản
suất, cho EPQMC) khi n → ∞. Bởi vì việc nới lỏng liên tục là tương đối
chặt chẽ (và nó có một giải pháp tối ưu với ít nhất một biến phân đoạn), giải pháp
thông qua tuỳ chỉnh ngành và bị ràng buộc nói chung là khá hiệu quả.