Definition (Order Notation). Let f(

Definition (Order Notation). Let f(x) and g(x) be functions of x taking values that are positive. We say that “f is big-O of g” and write

if there are positive constants c and C such that
f(x) ≤ cg(x) for all x ≥ C.
In particular, we write f(x) = O(1) if f(x) is bounded for all x ≥ C.
The next proposition gives a method that can sometimes be used to prove that .
Proposition 2.15. If the limit

exists (and is finite), then .
Proof. Let L be the limit. By definition of limit, for any > 0 there is a constant C such that
for all .
2.6. How hard is the discrete logarithm problem?

In particular, taking = 1, we find that
+ 1 for all x > C1.
Hence by definition, with c = L + 1 and C = C1.
Example 2.16. We have 2x3 − 3x2 + 7 = O(x3), since
.
Similarly, we have x2 = O(2x), since
.
(If you don’t know the value of this limit, use L’Hoˆpital’s rule twice.)
However, note that we may have even if the limit of
f(x)/g(x) does not exist. For example, the limit

does not exist, but
(x + 2)cos2(x) = O(x), since (x + 2)cos2(x) ≤ x + 2 ≤ 2x for all x ≥ 2.

Kết quả (Việt) 1:

Định nghĩa (thứ tự ký hiệu). Cho f (x) và g(x) là chức năng của x Lấy giá trị là rất tích cực. Chúng ta nói rằng "f là lớn-O g" và viết Nếu không có tích cực hằng số c, C sao cho cg(x) ≤ f (x) với mọi x ≥ C.Đặc biệt, chúng tôi viết f (x) = O(1) nếu f (x) được bao bọc cho mọi x ≥ C.Các đề xuất tiếp theo cho một phương pháp mà đôi khi có thể được sử dụng để chứng minh rằng.Döï Luaät 2.15. Nếu giới hạn tồn tại (và là hữu hạn), sau đó.Bằng chứng. Giả sử L là giới hạn. Theo định nghĩa của giới hạn, cho bất kỳ > 0 có là một hằng số C sao cho cho tất cả.2.6. làm thế nào cứng là vấn đề lôgarit rời rạc? Đặc biệt, dùng = 1, chúng tôi thấy rằng + 1 với mọi x > C1.Do đó theo định nghĩa, với c = L + 1 và C = C1. Ví dụ 2.16. Chúng tôi có 2 x 3 − 3 x 2 + 7 = O(x3), kể từ khi .Tương tự như vậy, chúng tôi có x 2 = O(2x), kể từ khi .(Nếu bạn không biết giá trị của giới hạn này, sử dụng quy tắc L'Hoˆpital hai lần.)Tuy nhiên, lưu ý rằng chúng tôi có thể có ngay cả khi giới hạn củaf(x)/g(x) không tồn tại. Ví dụ, giới hạn không tồn tại, nhưng(x + 2)cos2(x) = O(x), kể từ khi (x + 2)cos2(x) ≤ x + 2 ≤ 2 x cho mọi x ≥ 2.

Kết quả (Việt) 2:

Definition (Order Notation). Hãy để f (x) và g (x) là hàm của các giá trị x lấy đó là tích cực. Chúng ta nói rằng "f là big-O của g" và viết nếu có hằng số dương c và C như vậy mà f (x) ≤ cg (x) với mọi x ≥ C. Đặc biệt, chúng ta viết f (x) = O (1) nếu f (x) được bao bọc cho tất cả x ≥ C. Các đề xuất tiếp theo cho một phương pháp mà đôi khi có thể được sử dụng để chứng minh điều đó. Dự 2.15. Nếu giới hạn tồn tại (và là hữu hạn), sau đó. Proof. Hãy L là giới hạn. Theo định nghĩa của giới hạn, đối với bất kỳ> 0 thì một C liên tục như vậy mà cho tất cả. 2.6. Làm thế nào cứng là bài ​​toán logarit rời rạc? Đặc biệt, tham gia = 1, chúng ta thấy rằng + 1 với mọi x> C1. Do đó theo định nghĩa, với c = L + 1 và C = C1. Ví dụ 2.16. Chúng tôi có 2x3 - 3x2 + 7 = O (x3), kể từ khi . Tương tự như vậy, chúng ta có x2 = O (2x), kể từ khi . (Nếu bạn không biết giá trị của giới hạn này, sử dụng quy tắc L'Hopital của hai lần). Tuy nhiên , lưu ý rằng chúng tôi có thể có ngay cả khi các giới hạn của f (x) / g (x) không tồn tại. Ví dụ, giới hạn không tồn tại, nhưng (x + 2) cos2 (x) = O (x), kể từ khi (x + 2) cos2 (x) ≤ x + 2 ≤ 2x với mọi x ≥ 2.