The reader should verify this. ▲The

The reader should verify this. ▲
The following theorem shows that the powers of a transitive relation are subsets of this
relation. It will be used in Section 9.4.
THEOREM 1 The relation R on a set A is transitive if and only if Rn ⊆ R for n = 1, 2, 3,....
P1: 1
CH09-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls May 13, 2011 15:29
9.1 Relations and Their Properties 581
Proof: We first prove the “if” part of the theorem. We suppose that Rn ⊆ R for n = 1,
2, 3,.... In particular, R2 ⊆ R. To see that this implies R is transitive, note that if (a, b) ∈ R
and (b, c) ∈ R, then by the definition of composition, (a, c) ∈ R2. Because R2 ⊆ R, this means
that (a, c) ∈ R. Hence, R is transitive.
We will use mathematical induction to prove the only if part of the theorem. Note that this
part of the theorem is trivially true for n = 1.
Assume that Rn ⊆ R, where n is a positive integer. This is the inductive hypothesis. To
complete the inductive step we must show that this implies that Rn+1 is also a subset of R.
To show this, assume that (a, b) ∈ Rn+1. Then, because Rn+1 = Rn ◦ R, there is an
element x with x ∈ A such that (a, x) ∈ R and (x, b) ∈ Rn. The inductive hypothesis, namely,
that Rn ⊆ R, implies that (x, b) ∈ R. Furthermore, because R is transitive, and (a, x) ∈ R
and (x, b) ∈ R, it follows that (a, b) ∈ R. This shows that Rn+1 ⊆ R, completing the proof.

Kết quả (Việt) 1:

Người đọc phải xác minh điều này. ▲Các định lý sau đây cho thấy rằng các quyền hạn của một mối quan hệ tương lai con nàymối quan hệ. Nó sẽ được sử dụng trong phần 9.4.Định LÝ 1 mối quan hệ R trên một tập A là tương lai nếu và chỉ nếu Rn ⊆ R n = 1, 2, 3,...P1: 1CH09-7T Rosen-2311T MHIA017-Rosen-v5.cls có thể 13, 2011 15:299.1 hệ và tài sản của họ 581Bằng chứng: Chúng tôi lần đầu tiên chứng minh "nếu" một phần của định lý. Chúng tôi giả sử rằng Rn ⊆ R n = 1,2, 3... Đặc biệt, R2 ⊆ R. Để thấy rằng điều này có nghĩa là tương lai, lưu ý rằng nếu (a, b) ∈ Rvà (b, c) ∈ R, sau đó theo định nghĩa của các thành phần, (a, c) ∈ R2. Bởi vì R2 ⊆ R, điều này có nghĩa làmà (a, c) ∈ R. do đó, R là ngoại động từ.Chúng tôi sẽ sử dụng quy nạp toán học để chứng minh duy nhất nếu là một phần của định lý. Lưu ý rằng điều nàymột phần của định lý là trivially đúng với n = 1.Giả sử rằng Rn ⊆ R, n là số nguyên dương. Đây là giả thiết quy nạp. Đểhoàn thành bước quy nạp, chúng tôi phải thể hiện rằng điều này ngụ ý rằng Rn + 1 cũng là một tập hợp con của R.Để hiển thị này, giả sử rằng (a, b) ∈ Rn + 1. Sau đó, bởi vì Rn + 1 = Rn ◦ R, đó là mộtnguyên tố x với x ∈ A mà (a, x) ∈ R và (x, b) ∈ Rn. Giả thiết quy nạp, cụ thể là,đó Rn ⊆ R, ngụ ý rằng (x, b) ∈ R. Hơn nữa, bởi vì R là tương lai, và (a, x) ∈ Rvà (x, b) ∈ R, nó sau đó (a, b) ∈ R. Điều này cho thấy rằng Rn + 1 ⊆ R, hoàn thành các bằng chứng.

Kết quả (Việt) 2:

Người đọc nên xác minh điều này. ▲
Định lý sau đây cho thấy quyền lực của một quan hệ bắc cầu là tập con của này
liên quan. Nó sẽ được sử dụng trong mục 9.4.
Định lý 1 Quan hệ R trên tập A là transitive nếu và chỉ nếu Rn ⊆ R cho n = 1, 2, 3, ....
P1: 1
CH09-7T Rosen-2311T MHIA017- Rosen-v5.cls 13 Tháng Năm 2011 15:29
9.1 Quan hệ của họ và tính 581
Proof: đầu tiên chúng ta chứng tỏ sự "nếu" một phần của định lý. Chúng tôi cho rằng Rn ⊆ R cho n = 1,
2, 3, .... Đặc biệt, R2 ⊆ R. Để thấy rằng điều này hàm ý R là bắc cầu, lưu ý rằng nếu (a, b) ∈ R
và (b, c ) ∈ R, sau đó theo định nghĩa của thành phần, (a, c) ∈ R2. Vì R2 ⊆ R, điều này có nghĩa
rằng (a, c) ∈ R. Do đó, R là bắc cầu.
Chúng tôi sẽ sử dụng quy nạp toán học để chứng minh nếu một phần của định lý. Lưu ý rằng đây
là một phần của định lý là trivially đúng với n = 1.
Giả sử rằng Rn ⊆ R, trong đó n là số nguyên dương. Đây là giả thuyết quy nạp. Để
hoàn thành các bước quy nạp chúng ta phải thấy rằng điều này hàm ý rằng Rn + 1 cũng là một tập hợp con của R.
Để hiển thị này, giả sử rằng (a, b) ∈ Rn + 1. Sau đó, vì Rn + 1 = Rn ◦ R, có một
phần tử x với x ∈ A sao cho (a, x) ∈ R và (x, b) ∈ Rn. Các giả thuyết quy nạp, cụ thể là,
rằng Rn ⊆ R, ngụ ý rằng (x, b) ∈ R. Hơn nữa, bởi vì R là bắc cầu, và (a, x) ∈ R
và (x, b) ∈ R, nó sau đó (một , b) ∈ R. Điều này cho thấy Rn + 1 ⊆ R, hoàn thành các giấy tờ chứng minh.