Wave Motion 39 (2004) 93–110Non-dis

Wave Motion 39 (2004) 93–110
Non-dispersive and dispersive electromagnetoacoustic
SH surface modes in piezoelectric media
Maurizio Romeo∗
D.I.B.E. Università, via Opera Pia 11/a, 16145 Genoa, Italy
Received 26 March 2003; received in revised form 28 May 2003; accepted 11 July 2003
Abstract
This paper deals with a detailed analysis of the electromagnetic problem for the propagation of shear horizontal (SH) surface
waves in a non-conducting piezoelectric half-space. The compatibility equations are solved in both cases of grounded surfaces
and surfaces matched with an external potential. It is shown that a unique quasi-acoustical mode exists in non-dispersive media
and the corresponding solution is worked out in a closed form having recourse to a method of complex analysis. Dispersive
half-spaces are considered accounting for a one-resonance model and the dispersion equation is numerically solved for a
matched surface. Two types of admissible surface waves are found in different frequency ranges. One mode generalises the
well-known Bleustein–Gulyaev wave, while the second one is a quasi-electromagnetic mode occurring above the characteristic
frequency of the model. Results are compared with those obtained by the quasi-static approximation.
© 2003 Elsevier B.V. All rights reserved.
1. Introduction
Since their theoretical prediction[1,2], shear horizontal (SH) surface waves on a piezoelectric half-space have been
treated under the quasi-static approximation. This amounts to neglect the effects of rapidly varying electromagnetic
fields, thus allowing to write the electric field as the gradient of a scalar potential (see, for example, Chapter 4 in[3]).
Such an approach is widely justified in a large part of actual applications concerning surface wave technology since
electromagnetic effects are often irrelevant in determining the propagation properties within the frequency ranges
of interest[4]. Of course, the quasi-static approximation results into a simplification of the governing equations for
boundary values problems in both linear and non-linear electroelasticity[5,6]and, in particular, it allows to obtain
explicit expressions for wave speed and attenuation within the linear theory.
However, recently it has been pointed out that the quasi-static approximation is not necessary in order to derive
explicit solutions to the dispersion equation[7]. This is surely true in the case of an half-space whose boundary
is electrically grounded. For boundaries matched with an external potential, full electromagnetic solutions can be
obtained as the roots of an irrational equation. The same holds for solutions which generalise the classical interfacial
wave problem[8]. In the work of Li[7], it is argued that more than one surface wave can exist and that electromagnetic
modes could be found as solutions of the irrational equation. Nevertheless, until now, no attempts have been made
to derive such solutions. In particular, the aforementioned dispersion equations must be complemented with the
∗
Fax:[phone].
E-mail address:[e-mail] (M. Romeo).
0165-2125/$ – see front matter © 2003 Elsevier B.V. All rights reserved.
doi:10.1016/j.wavemoti.2003.07.005
94 M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110
additional requirement that the amplitude decay away from the surface. Hence, the roots of the dispersion equation
do not necessarily correspond to admissible surface waves.
In addition, a relevant question arises in connection with the more realistic setting of dispersive dielectric materials.
In this case memory effects due to non-instantaneous electric response of the solid medium may be relevant (see
[9,10]). Accounting for time dispersion, one expects transition regions to occur in the frequency domain, where
speed, attenuation and penetration depth of the surface modes may suffer noticeable changes. As a consequence,
the admissibility condition could not be satisfied for some ranges of frequencies.
Due to these motivations, the present work is addressed to the solution of the dispersion equations in the full
electromagnetoelastic case for both electrically grounded or matched surfaces. The main task is a detailed analysis
of solutions compatible with the requirement of the amplitude’s decay. Concerning with matched surfaces, we
show that a closed form solution can be worked out in the case of non-dispersive media and that this solution
is unique. It generalises the well-known Bleustein–Gulyaev (B–G) wave and accounts for the slight influence of
the electromagnetic field. More interesting results are obtained in the dispersive case. Assuming that the dielectric
behaves as a Lorentz medium with a single resonance, we have found a quasi-acoustical SH surface wave at low
frequencies and a quasi-electromagnetic SH surface wave within a relatively narrow range of frequencies. Besides,
in contrast to the quasi-static approximation, no surface waves are admitted at high frequencies.
The plan of the paper is as follows. InSections 2 and 3, assuming that the sagittal plane is a plane of material
symmetry, we rederive, in the more general context of dispersive media, the compatibility conditions for SH surface
waves on a piezoelectric half-space obtained in[7]. In the case of matched surfaces, this conditions amounts to a set
of four irrational equations to be solved according to the admissibility requirements on the imaginary parts of the
wave vectors. A complex analysis method is used inSection 4to show the uniqueness of the solution in the case of
non-dispersive media and to express it in a closed form.Section 5is devoted to outline the procedure implemented in
the dispersive case, choosing a constitutive equation for the permittivity kernel based on the Lorentz one-resonance
model. Numerical results are then given inSection 6for both dispersive and non-dispersive half-spaces with different
boundary conditions. A comparison with dispersive quasi-static results is also discussed.
2. Piezoelectric dispersive half-space
We consider a homogeneous, anisotropic non-conducting and non-magnetisable dielectric solid which occupies
the half-space Bbounded by the plane surfaceS. We assume that, at least in a suitable range of frequencies, the
solid behaves like a dispersive electromagnetic medium where the dielectric response is non-local in time, while
the elastic response and the electromechanical coupling are free from time dispersive effects. More precisely we
account for a linear dependence of the electric displacement on the history of the electric field and suppose that,
for comparable times, the history of the mechanical field negligibly contributes to the current value of the electric
field. Accordingly we exploit the well-known linear theory of memory-dependent electromagnetic continua (see
Chapter 13 in[9]). Denoting, respectively, bye(x,t)andh(x,t)the electric field and the infinitesimal strain tensor,
we write the following constitutive equations for the electric displacementDand the Cauchy stress tensorT
D(x,t)=[e(x,·)](t)+Eh(x, t), (2.1)
T(x,t)=Gh(x,t)−e(x,t)E, (2.2)
whereGandEare, respectively, the elasticity (fourth-order) tensor and the piezoelectric (third-order) tensor. The
dielectric tensorin(2.1)is defined as the following linear integral operator on any vector fieldf(t)
[f(x,·)](t)=(0)f(x,t)+

∞
0


(τ)f(x,t−τ)dτ, (2.3)
where the dielectric permittivity kernel(t)is such that 

(t) →0 fort →+∞and where(0)represents the
instantaneous permittivity. The tensors G,E,comply with the usual symmetry conditions.Gis assumed to be
M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110 95
positive definite in Lin(Sym) and(0)is taken to be positive definite in Sym (see [11]). Having recourse to the
second law of thermodynamics, it can also be shown that the half-range sine transform of the kernel derivative


(t)is positive definite in Sym onR
++
[12]. Since magnetisation is absent, the magnetic induction Bis given by
B(x,t)=µ0H(x,t), whereHis the magnetic field andµ0is the magnetic permeability.
In order to satisfy the divergence free condition onBand the Faraday’s law we introduce the scalar and vector
potentialsφ(x, t),A(x,t), such that
e=−∇φ−
∂A
∂t
, B=∇ ×A. (2.4)
According to(2.1), (2.2) and (2.4)the Ampère’s law and the equation of motion
∇×H=
∂D
∂t
,ρ¨ u=∇ ·T,
take the following form
∇(∇·A)−A=−µ0
∂
∂t



∇φ+
∂A
∂t

−E∇u

(2.5)
ρ¨ u=∇ ·(G∇u)+∇ ·

∇φ+
∂A
∂t

E

(2.6)
whereρis the mass density in the half-spaceB.
Now we assume that the solid admits a six-fold axis of material symmetryaparallel to the plane surfaceS.We
choose Cartesian reference axes{e1,e2,e3}such thate3lies alongaande2be normal to the surfaceSand directed
towards the interior of the half-space. As a consequence, the non-vanishing entries of the constitutive tensors reduce
to
G11=G22,G12,G13=G23,G33,G44=G55,G66=2(G11−G12),
E31=E32,E33,E24=E15,
11=22,33,
(2.7)
where the usual six-dimensional notationGαβ,Ekα,(α,β=1,2,... ,6;k=1,2,3), has been adopted for sym-metric pairs of indices.
In order to deal with waves propagating alonge1we assume thatu,φ,A, do not depend on x3. This means that
the sagittal plane coincides with the plane of material symmetry(e1,e2)and, in view of(2.7), Eqs. (2.5) and (2.6)
decouple into the following two set of integrodifferential equations
A2,12−A1,22=−µ0
∂
∂t

11

φ,1+
∂A1
∂t

−E15u3,1

,
A1,12−A2,11=−µ0
∂
∂t

11

φ,2+
∂A2
∂t

−E15u3,2

,
ρ
∂
2
u3
∂t
2
=G55u3+E15

φ+
∂A1,1
∂t
+
∂A2,2
∂t

,
(2.8)
A3=µ0
∂
∂t

33

∂A3
∂t

−E31(u1,1+u2,2)

,
ρ
∂
2
u1
∂t
2
=G11u1,11+G12u2,21+G66(u2,12+u1,22)+E31
∂A3,1
∂t
,
ρ
∂
2
u2
∂t
2
=G12u1,12+G11u2,22+G66(u2,11+u1,21)+E31
∂A3,2
∂t
,
(2.9)
96 M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110
where commas denote partial differentiation with respect to the spatial variables.Eq. (2.9)represent the governing
system for the sagittal partus =u1e1+u2e2of the mechanical displacement an

Kết quả (Việt) 1:

Bản tin số chuyển động 39 (năm 2004) 93-110Phòng không hòa tan trong và hòa tan trong electromagnetoacousticSH bề mặt chế độ phương tiện truyền thông áp điệnMaurizio Romeo∗D.I.B.E. Università, thông qua Opera Pia 11/a, 16145 Genoa, ýNhận được 26 tháng 3 năm 2003; nhận được cải tiến thành 28 tháng 5 năm 2003; chấp nhận 11 tháng 7 năm 2003Tóm tắtBài viết này đề với một phân tích chi tiết của vấn đề điện từ cho tuyên truyền của bề mặt (SH) cắt ngangsóng trong một phòng không tiến hành áp điện một nửa-không gian. Các phương trình tương thích được giải quyết trong cả hai trường hợp của căn cứ bề mặtvà bề mặt kết hợp với một tiềm năng bên ngoài. Nó hiển thị một chế độ quasi-âm thanh duy nhất tồn tại trong phòng không hòa tan trong phương tiện truyền thôngvà các giải pháp tương ứng làm việc trong một hình thức đóng cửa có tin tưởng vào một phương pháp phân tích phức tạp. Tán sắctại nửa-toàn bộ được coi là kế toán cho một mô hình cộng hưởng một và phân tán phương trình numerically đã giải quyết cho mộtbề mặt phù hợp. Hai loại admissible sóng bề mặt được tìm thấy trong phạm vi tần số khác nhau. Một chế độ generalises cácnổi tiếng Bleustein-Gulyaev sóng, trong khi thứ hai là một chế độ quasi-điện xảy ra trên các đặc tínhtần số của các mô hình. Kết quả được so sánh với những người được xấp xỉ quasi-tĩnh.© 2003 Elsevier B.V Tất cả các quyền.1. giới thiệuKể từ khi họ dự đoán lý thuyết [1,2], cắt ngang (SH) sóng bề mặt trên một nửa áp điện, không gian cóđiều trị theo xấp xỉ quasi-tĩnh. Số tiền này để bỏ qua những ảnh hưởng của nhanh chóng thay đổi điện từlĩnh vực, do đó cho phép để viết điện trường là gradien của một tiềm năng vô hướng (xem, ví dụ, chương 4 in[3]).Một cách tiếp cận rộng rãi được chứng minh trong một phần lớn của các ứng dụng thực tế liên quan đến làn sóng bề mặt công nghệ kể từđiện từ tác dụng được thường không liên quan trong việc xác định các thuộc tính tuyên truyền trong phạm vi tần sốưa thích [4]. Tất nhiên, kết quả xấp xỉ quasi-tĩnh vào một đơn giản hóa các phương trình quản lý chogiá trị biên giới các vấn đề ở tuyến tính và phi tuyến tính electroelasticity [5,6], và đặc biệt, nó cho phép để có đượcrõ ràng biểu hiện cho làn sóng tốc độ và sự suy giảm trong lý thuyết tuyến tính.Tuy nhiên, gần đây nó đã được chỉ ra rằng xấp xỉ quasi-tĩnh là không cần thiết để có đượcgiải pháp rõ ràng cho các phương trình phân tán [7]. Điều này là chắc chắn đúng trong trường hợp của một nửa-không gian có ranh giớiđiện là căn cứ. Cho phù hợp với một tiềm năng bên ngoài ranh giới, giải pháp đầy đủ điện từ có thểthu được như là nguồn gốc của một phương trình chưa hợp lý. Giữ cùng một giải pháp mà khái interfacial cổ điểnlàn sóng các vấn đề [8]. Trong tác phẩm Li [7], đó lập luận rằng nhiều hơn một làn sóng bề mặt có thể tồn tại và rằng điện từchế độ có thể được tìm thấy như các giải pháp của phương trình chưa hợp lý. Tuy nhiên, cho đến bây giờ, không có những nỗ lực đã được thực hiệnđể lấy được giải pháp như vậy. Đặc biệt, các phương trình nói trên phân tán phải được bổ sung với các∗Fax: + 39-010-353-2777.E-mail address:[e-mail] (M. Romeo).0165-2125 / $ – xem trước vấn đề © 2003 Elsevier B.V Tất cả các quyền.Doi:10.1016/j.wavemoti.2003.07.00594 M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110yêu cầu bổ sung biên độ phân rã ra khỏi bề mặt. Do đó, các rễ của phương trình phân tánkhông nhất thiết phải tương ứng với admissible sóng bề mặt.Ngoài ra, một câu hỏi có liên quan đặt ra trong kết nối với các thiết lập trung thực hơn của hòa tan trong các vật liệu cách điện.Trong trường hợp này bộ nhớ hiệu ứng do phòng không ngay lập tức điện phản ứng của các phương tiện rắn có thể có liên quan (xem[9,10]). một kế toán cho thời gian phân tán, Hy vọng khu vực chuyển tiếp xảy ra thuộc phạm vi tần số, nơitốc độ, sự suy giảm và thâm nhập sâu của các chế độ bề mặt có thể bị thay đổi đáng chú ý. Kết quả là,điều kiện admissibility có thể không được hài lòng cho một số phạm vi tần số.Do những động lực, các công việc hiện nay được gửi đến các giải pháp của các phương trình phân tán trong đầy đủelectromagnetoelastic trường hợp cho cả hai điện căn cứ hoặc xuất hiện bề mặt. Nhiệm vụ chính là một phân tích chi tiếtgiải pháp tương thích với yêu cầu của biên độ phân rã. Liên quan đến với bề mặt phù hợp, chúng tôiHiển thị một giải pháp hình thức đóng cửa có thể được làm ra trong trường hợp phòng không hòa tan trong phương tiện truyền thông và rằng giải pháp nàylà duy nhất. Nó generalises sóng Bleustein-Gulyaev (B-G) nổi tiếng và các tài khoản cho ảnh hưởng nhỏ củatrường điện từ. Kết quả thú vị hơn thu được trong trường hợp hòa tan trong. Giả định rằng lưỡng điệncư xử như một phương tiện Lorentz với cộng hưởng duy nhất, chúng tôi đã tìm thấy một làn sóng bề mặt quasi-âm thanh SH thấptần số và một làn sóng bề mặt SH quasi-điện từ trong một phạm vi tương đối hẹp của tần số. Bên cạnh đó,trái ngược với xấp xỉ quasi-tĩnh, không có sóng bề mặt được thừa nhận ở tần số cao.Kế hoạch của giấy này là như sau. InSections 2 và 3, giả định rằng máy bay dọc là một mặt phẳng vật liệuđối xứng, chúng tôi rederive, nói chung thêm bối cảnh của hòa tan trong các phương tiện truyền thông, các điều kiện tương thích cho SH bề mặtsóng trên một nửa áp điện-không gian thu được trong [7]. Trong trường hợp của bề mặt khớp, số tiền này điều kiện cho một tập hợpbốn phương trình chưa hợp lý để được giải quyết theo các yêu cầu admissibility trên phần tưởng tượng của cácvectơ sóng. Một phương pháp phân tích phức tạp được sử dụng inSection 4to Hiển thị sự độc đáo của các giải pháp trong trường hợp củaphương tiện truyền thông phòng không hòa tan trong và để thể hiện nó trong một hình thức đóng cửa.Phần 5is dành để phác thảo các thủ tục thực hiện tronghòa tan trong trường hợp, việc lựa chọn một phương trình cơ cho hạt nhân permittivity dựa trên Lorentz cộng hưởng mộtMô hình. Số kết quả sau đó có được inSection 6for tán sắc và phòng không hòa tan trong nửa-gian với khác nhauđiều kiện biên. Một so sánh với kết quả hòa tan trong quasi-tĩnh cũng được thảo luận.2. áp điện hòa tan trong nửa-không gianChúng tôi xem xét một đồng nhất, đẳng hướng tiến hành phòng không và phòng không magnetisable lưỡng điện rắn đó chiếmBbounded không gian nửa bởi bề mặt máy bay. Chúng tôi cho rằng, ít trong một phạm vi thích hợp của tần số, cácrắn hoạt động như một phương tiện điện từ hòa tan trong các phản ứng cách điện đâu không địa phương trong thời gian, trong khiCác phản ứng đàn hồi và các khớp nối cơ điện được miễn phí từ ảnh hưởng hòa tan trong thời gian. Chính xác hơn chúng tôitài khoản cho một tuyến tính phụ thuộc vào trọng lượng rẽ nước điện về lịch sử của điện trường và giả sử rằng,cho lần so sánh, lịch sử của lĩnh vực cơ khí negligibly góp phần vào giá trị hiện tại của điện tửlĩnh vực. Theo đó chúng tôi khai thác tuyến tính lý thuyết nổi tiếng của phụ thuộc vào bộ nhớ điện từ continua (xemChương 13 in[9]). Biểu thị, tương ứng, tạm biệt (x, t) andh (x, t) điện trường và khảo căng tensor,chúng tôi viết các phương trình như sau cho điện displacementDand Cauchy căng thẳng tensorTD(x,t) = [e(x,·)](t) + Eh (x, t), (2,1)T (x, t) = Gh (x, t) −e (x, t) E, (2,2)whereGandEare, tương ứng, tensor độ đàn hồi (thứ tư-thứ tự) và tensor (thứ ba-thứ tự) áp điện. Cáccách điện tensor trong (2,1) được định nghĩa là toán tử tuyến tính sau không thể thiếu trên bất kỳ fieldf(t) vector[f(x,·)](t) = (0)f(x,t) +
∞0(Khoảng) dτ f (x, t−τ), (2,3)hạt nhân cách điện permittivity (t) ở đâu sao cho(t) →0 fort → + ∞and nơi (0) đại diện cho cácngay lập tức permittivity. Vec G, E, thực hiện theo các điều kiện bình thường đối xứng.GIS giả định làM. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110 95tích cực nhất định trong Lin(Sym) và (0) được thực hiện để được tích cực nhất định trong Sym (xem [11]). Có tin tưởng để cácluật thứ hai của nhiệt động lực học, nó cũng có thể chỉ ra rằng biến đổi tầm nửa Sin của đạo hàm hạt nhân(t) là tích cực nhất định trong Sym onR++[12]. kể từ khi magnetisation là vắng mặt, cảm ứng từ Bis được đưa ra bởiB(x,t)=µ0H(x,t), whereHis andµ0is từ trường từ tính thấm.Để đáp ứng phân kỳ miễn phí điều kiện onBand của Faraday luật chúng tôi giới thiệu vô và vectorpotentialsφ (x, t),A(x,t), như vậy màe = −∇φ−∂A∂t, B = ∇ × A. (2,4)Theo to(2.1), (2,2) và (2.4) của Ampère luật và phương trình của chuyển động∇ × H =∂D∂t, Ρ¨ u = ∇ ·T,đi theo hình thức sau đây∇(∇·A) − A = −Μ0∂∂t∇Φ +∂A∂t−E∇u(2,5)Ρ¨ u = ∇ ·(G∇u) + ∇ ·∇Φ +∂A∂tE(2.6)whereρis mật độ khối lượng trong nửa-spaceB.Bây giờ chúng tôi giả định rằng chất rắn thừa nhận một trục six-fold của vật liệu symmetryaparallel surfaceS.We máy baychọn tài liệu tham khảo Descartes trục {e1, e2, e3} như vậy alongaande2be thate3lies bình thường để surfaceSand đạo diễnĐối với nội thất của không gian một nửa. Kết quả là, các mục không biến mất của vec cơ giảmđểG11=G22,G12,G13=G23,G33,G44=G55,G66=2(G11−G12),E31 = E32, E33, E24 = E15,11 = 22, 33,(2,7)nơi bình thường chiều 6 notationGαβ, Ekα, (α, β = 1, 2,..., 6; k = 1, 2, 3), đã được áp dụng cho cặp sym-số liệu của chỉ số.Để đối phó với sóng tuyên truyền alonge1we giả sử thatu, φ, A, không phụ thuộc vào x 3. Điều này có nghĩa làmáy bay dọc trùng với mặt phẳng đối xứng vật chất (e1, e2), và trong xem of(2.7), Eqs. (2,5) và (cách 2.6)decouple vào hai tập sau phương trình integrodifferentialA2, 12−A1, 22 = −Μ0∂∂t11Φ, 1 +∂A1∂t−E15u3, 1,A1, 12−A2, 11 = −Μ0∂∂t11Φ, 2 +∂A2∂t−E15u3, 2,Ρ∂2U3∂t2= G55 u3 + E15 Φ +∂A1, 1∂t+∂A2, 2∂t,(2,8) A3 = Μ0∂∂t33∂A3∂t−E31(U1,1+U2,2),Ρ∂2U1∂t2= G11u1, 11 + G12u2, 21 + G66(u2,12+u1,22) + E31∂A3, 1∂t,Ρ∂2U2∂t2= G12u1, 12 + G11u2, 22 + G66(u2,11+u1,21) + E31∂A3, 2∂t,(2.9)96 M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110nơi dấu phẩy biểu thị một phần sự khác biệt đối với các không gian variables.Eq. (2.9) đại diện cho các quảnHệ thống cho dọc cấp trên partus = u1e1 + u2e2of trọng lượng rẽ nước cơ khí một